Rotationskroppar

Kurs: M0066M Förkunskaper: Integraler

---

1. Inledning

När en kurva eller ett område i planet roterar kring en axel skapas en tredimensionell kropp. Vi kan beräkna både volymen och ytan av denna kropp med hjälp av integraler.

Geometrisk intuition

Tänk dig att du snurrar en kurva kring en axel — som när man svänger en lasso eller snurrar en penna mellan fingrarna. Den “svepande” rörelsen skapar en 3D-form.

Kurva	Rotationskropp
Rät linje parallell med axeln	Cylinder
Halvcirkel kring sin diameter	Sfär
Rät linje som skär axeln	Kon
Cirkel kring en extern axel	Torus (munkring)

---

2. Rotationsvolym

Definition

Definition: Rotationsvolym

En rotationsvolym är volymen av den tredimensionella kropp som uppstår då ett område i planet roterar kring en axel.

Det finns två huvudmetoder för att beräkna rotationsvolymer:

1. Skivmetoden — bygger upp kroppen av tunna cirkulära skivor
2. Skalmetoden — bygger upp kroppen av tunna cylindriska skal

---

Skivmetoden

Skivmetoden — illustration

Vänster: 2D-området under kurvan $y=f(x)$ med en tunn skiva markerad
Höger: 3D-kroppen uppbyggd av cirkulära skivor efter rotation kring x-axeln

SATS: Skivmetoden (rotation kring x-axeln)

Om området under kurvan $y=f(x)$ för $a\le x\le b$ roterar kring x-axeln, ges volymen av: $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

Härledning:

1. Dela upp intervallet $[a,b]$ i tunna skivor med tjocklek $dx$
2. Varje skiva är approximativt en cylinder med radie $r=f(x)$ och höjd $dx$
3. Volymen av en skiva: $dV=\pi r^2\cdot dx=\pi [f(x){]}^{2}dx$
4. Summera (integrera) alla skivor

SATS: Skivmetoden (rotation kring y-axeln)

Om kurvan $x=g(y)$ för $c\le y\le d$ roterar kring y-axeln: $V=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$

Receptbok: Skivmetoden

Steg 1: Identifiera rotationsaxeln och funktionen

Steg 2: Bestäm integrationsgränserna

Steg 3: Ställ upp integralen:

• Kring x-axeln: $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$
• Kring y-axeln: $V=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$

Steg 4: Beräkna integralen

Exempel: Sfärens volym

Rotera halvcirkeln $y=\sqrt{R^2-x^2}$ kring x-axeln.

$V=\pi {\int }_{-R}^R(\sqrt{R^2-x^2}{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx$

$=\pi {\left[R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-R}^R=\pi \cdot \frac{4R^3}{3}=\boxed{\frac{4\pi R^3}{3}}$

Exempel: Konens volym

Rotera linjen $y=\frac{r}{h}x$ för $0\le x\le h$ kring x-axeln.

$V=\pi {\int }_0^h{\left(\frac{r}{h}x\right)}^{2}dx=\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\boxed{\frac{\pi r^{2}h}{3}}$

---

Skalmetoden

Skalmetoden — illustration

Vänster: 2D-området med en vertikal remsa markerad (bredd $dx$, höjd $f(x)$, avstånd $x$ från y-axeln)
Höger: Cylindriskt skal som bildas när remsan roterar kring y-axeln

SATS: Skalmetoden (rotation kring y-axeln)

Om området under kurvan $y=f(x)$ för $a\le x\le b$ (där $a\ge 0$) roterar kring y-axeln: $V=2\pi {\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx$

Härledning:

1. Dela upp området i tunna vertikala remsor med bredd $dx$
2. Varje remsa sveper ut ett cylindriskt skal vid rotation
3. Skalets volym: $dV=2\pi \cdot \text{(radie)}\cdot \text{(ho¨jd)}\cdot \text{(tjocklek)}$
4. Radie = $x$, höjd = $f(x)$, tjocklek = $dx$
5. $dV=2\pi x\cdot f(x)dx$

SATS: Skalmetoden (rotation kring x-axeln)

Om kurvan $x=g(y)$ för $c\le y\le d$ roterar kring x-axeln: $V=2\pi {\int }_c^{d}y\cdot g(y)dy$

Exempel: "Vinglaset"

Rotera $y=x^2$ för $0\le x\le 2$ kring y-axeln.

$V=2\pi {\int }_0^{2}x\cdot x^{2}dx=2\pi {\int }_0^2{x}^{3}dx=2\pi {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=\boxed{8\pi }$

Exempel: $y=\sqrt{x}$ kring y-axeln

Rotera $y=\sqrt{x}$ för $0\le x\le 4$ kring y-axeln.

$V=2\pi {\int }_0^{4}x\cdot \sqrt{x}dx=2\pi {\left[\frac{2}{5}{x}^{5/2}\right]}_0^4=\boxed{\frac{128\pi }{5}}$

---

Område mellan två kurvor

Rotation mellan två kurvor — illustration

Vänster: Området mellan $f(x)$ (röd, övre) och $g(x)$ (blå, undre)
Höger: “Brickor” med hål — yttre radie $R=f(x)$, inre radie $r=g(x)$

SATS: Rotation av område mellan två kurvor

Om området mellan $y=f(x)$ (övre) och $y=g(x)$ (undre) roterar kring x-axeln: $V=\pi {\int }_a^b\left([f(x){]}^2-[g(x){]}^2\right)dx$

Geometrisk tolkning: Tvärsnitten är “brickor” (annuli) — skivor med hål i mitten.

• Yttre radie: $R=f(x)$
• Inre radie: $r=g(x)$
• Brickans area: $\pi R^2-\pi r^2=\pi (f^2-g^2)$

Exempel: Mellan $y=x$ och $y=x^2$

Området mellan $y=x$ och $y=x^2$ för $0\le x\le 1$ roterar kring x-axeln.

$V=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx=\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\boxed{\frac{2\pi }{15}}$

---

Rotation kring andra linjer

Rotation kring förskjutna axlar — illustration

Vänster: Rotation kring $y=c$ — radien är $|f(x)-c|$
Höger: Rotation kring $x=k$ — radien är $|k-x|$

SATS: Rotation kring linjen $y=c$

Om kurvan $y=f(x)$ roterar kring den horisontella linjen $y=c$: $V=\pi {\int }_a^b[f(x)-c{]}^{2}dx$

Nyckel: Radien är nu avståndet från kurvan till rotationsaxeln, dvs. $|f(x)-c|$.

SATS: Rotation kring linjen $x=k$

Om kurvan $y=f(x)$ (med $x\le k$) roterar kring den vertikala linjen $x=k$: $V=2\pi {\int }_a^b(k-x)\cdot f(x)dx$

Nyckel: Radien i skalmetoden är nu $k-x$.

Exempel: Rotation kring $y=-1$

Rotera $y=x^2$ för $0\le x\le 1$ kring linjen $y=-1$.

Avståndet från kurvan till axeln: $x^2-(-1)=x^2+1$

$V=\pi {\int }_0^1(x^2+1{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right]}_0^1=\boxed{\frac{28\pi }{15}}$

---

Metodval: skiv- eller skalmetoden?

Jämförelse av metoderna — illustration

Vänster: Skivmetoden — skivor vinkelräta mot rotationsaxeln
Höger: Skalmetoden — cylindriska skal runt rotationsaxeln

Snabbguide: När ska man använda vilken metod?

Situation	Rekommenderad metod
Rotation kring x-axeln, $y=f(x)$ given	Skivmetoden
Rotation kring y-axeln, $y=f(x)$ given	Skalmetoden
Rotation kring y-axeln, $x=g(y)$ given	Skivmetoden (integrera m.a.p. $y$)
Rotation kring x-axeln, $x=g(y)$ given	Skalmetoden (integrera m.a.p. $y$)
Funktionen svår att invertera	Välj metod som undviker inversionen

Tumregel:

• Skivmetoden: Integrationsvariabeln är längs rotationsaxeln
• Skalmetoden: Integrationsvariabeln är vinkelrätt mot rotationsaxeln

---

Klassiskt exempel: Gabriels horn

Gabriels horn — det omöjliga hornet

Rotera $y=\frac{1}{x}$ för $x\ge 1$ kring x-axeln.

Volym (ändlig): $V=\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx=\pi {\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^{\infty }=\pi (0-(-1))=\boxed{\pi }$

Yta (oändlig): $A=2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx>2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx=\infty$

Paradox: Ändlig volym ($V=\pi$) men oändlig yta ($A=\infty$)

“Hornet kan fyllas med färg, men aldrig målas!“

---

3. Rotationsyta

Definition och härledning

Rotationsyta — illustration

Steg 1: Kurvan med ett litet bågelement $ds$
Steg 2: Bågelementet roterar och bildar ett mantelband
Steg 3: Den kompletta rotationsytan

Definition: Rotationsyta

En rotationsyta är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en axel. Vi beräknar arean av denna yta.

Härledning: Rotationsareans formel

Idé: Dela upp kurvan i små bågelement och summera mantelarean av de cylindrar som bildas.

1. Ett litet bågelement har längd $ds$
2. Vid rotation bildar det en cylindermantel med radie $|f(x)|$ och höjd $ds$
3. Mantelarean: $dA=2\pi \cdot |f(x)|\cdot ds$
4. Bågelängden: $ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$
5. Integrera: $A=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

---

Formler för rotationsarea

SATS: Rotationsarea (rotation kring x-axeln)

Om kurvan $y=f(x)$ för $a\le x\le b$ roterar kring x-axeln: $A=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

SATS: Rotationsarea (rotation kring y-axeln)

Om kurvan $x=g(y)$ för $c\le y\le d$ roterar kring y-axeln: $A=2\pi {\int }_c^d|g(y)|\sqrt{1+[g^{\prime }(y){]}^2}dy$

OBS!

Rotationsareaformeln innehåller faktorn $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$, vilket ofta leder till svårare integraler än volymberäkningar!

Exempel: Sfärens yta

Rotera halvcirkeln $y=\sqrt{R^2-x^2}$ kring x-axeln.

$f^{\prime }(x)=\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}$, så $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}$

$A=2\pi {\int }_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\cdot \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=2\pi R\cdot 2R=\boxed{4\pi R^2}$

---

Pappos-Guldins regler

Pappos-Guldin — illustration

Vänster: Principen — ett område med tyngdpunkt T roterar kring en axel
Höger: Torusen — en cirkel med radie $r$ roterar på avstånd $R$ från axeln

SATS: Pappos-Guldins första regel (volym)

Om ett plant område med area $A$ roterar kring en extern axel, ges volymen av: $V=2\pi \bar{r}\cdot A$

där $\bar{r}$ är avståndet från områdets tyngdpunkt till rotationsaxeln.

Intuition: Volymen = arean × sträckan som tyngdpunkten färdas (omkretsen $2\pi \bar{r}$).

SATS: Pappos-Guldins andra regel (area)

Om en kurva med båglängd $s$ roterar kring en extern axel, ges rotationsarean av: $A=2\pi \bar{r}\cdot s$

Exempel: Torusens volym och yta

En cirkel med radie $r$ roterar kring en axel på avstånd $R$ (där $R>r$).

• Cirkelns area: $A=\pi r^2$, omkrets: $s=2\pi r$, tyngdpunktens avstånd: $\bar{r}=R$

Volym: $V=2\pi R\cdot \pi r^2=\boxed{2{\pi }^{2}R{r}^2}$

Area: $A=2\pi R\cdot 2\pi r=\boxed{4{\pi }^{2}Rr}$

---

4. Sammanfattning

Formelsammanfattning

Rotationsvolym — alla formler

Metod	Rotation kring	Formel
Skivmetoden	x-axeln	$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$
Skivmetoden	y-axeln	$V=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$
Skalmetoden	y-axeln	$V=2\pi {\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx$
Skalmetoden	x-axeln	$V=2\pi {\int }_c^{d}y\cdot g(y)dy$
Mellan kurvor	x-axeln	$V=\pi {\int }_a^b([f{]}^2-[g{]}^2)dx$
Kring $y=c$	—	$V=\pi {\int }_a^b[f(x)-c{]}^{2}dx$

Rotationsyta — alla formler

Rotation kring	Formel
x-axeln	$A=2\pi {\int }_a^b\Vert f(x)\Vert \sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$
y-axeln	$A=2\pi {\int }_c^d\Vert g(y)\Vert \sqrt{1+[g^{\prime }(y){]}^2}dy$

Pappos-Guldin:

• Volym: $V=2\pi \bar{r}\cdot A$
• Area: $A=2\pi \bar{r}\cdot s$

---

Vanliga misstag

Vid volymberäkning

1. Glömmer $\pi$ — Skivmetoden har alltid $\pi$ utanför integralen!
2. Fel radie — Vid rotation kring $y=c$, är radien $|f(x)-c|$, inte $f(x)$
3. Blandar metoder — Använd inte skiv- och skalmetoden i samma integral
4. Glömmer kvadraten — Det ska vara $[f(x){]}^2$, inte $f(x)$

Vid areaberäkning

1. Glömmer båglängdsfaktorn — Det ska vara $\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}$, inte bara $1$
2. Fel derivata — Kontrollera $f^{\prime }(x)$ noggrant
3. Glömmer $2\pi$ — Faktorn $2\pi$ ska alltid vara med
4. Blandar ihop volym och area — Volym har $\pi r^2$, area har $2\pi r$

---

Klassiska resultat

Tabell: Volymer och ytor av rotationskroppar

Kropp	Volym	Yta (mantel)
Sfär (radie $R$)	$\frac{4\pi R^3}{3}$	$4\pi R^2$
Cylinder (radie $r$, höjd $h$)	$\pi r^{2}h$	$2\pi rh$
Kon (radie $r$, höjd $h$, sidhöjd $s$)	$\frac{\pi r^{2}h}{3}$	$\pi rs$
Torus (radier $R$, $r$)	$2{\pi }^{2}R{r}^2$	$4{\pi }^{2}Rr$

---

Läsning

• 7.1 Volumes by Slicing — Solids of Revolution
• 7.2 More Volumes by Slicing

Se även

• Integraler
• Parametriserade kurvor
• Integraler