--- kurs: - M0066M tags: - matematik - analys - envariabelanalys - rotationsvolym - rotationsyta förkunskaper: - "[[Integraler]]" status: true aliases: - Rotation av funktioner - Rotationsvolym - Rotationsyta --- > **Kurs:** M0066M > **Förkunskaper:** [[Integraler]] --- ## 1. Inledning När en kurva eller ett område i planet **roterar** kring en axel skapas en tredimensionell kropp. Vi kan beräkna både **volymen** och **ytan** av denna kropp med hjälp av integraler. > [!note]- Geometrisk intuition > > > Tänk dig att du snurrar en kurva kring en axel — som när man svänger en lasso eller snurrar en penna mellan fingrarna. Den "svepande" rörelsen skapar en 3D-form. > > |Kurva|Rotationskropp| > |:--|:--| > |Rät linje parallell med axeln|**Cylinder**| > |Halvcirkel kring sin diameter|**Sfär**| > |Rät linje som skär axeln|**Kon**| > |Cirkel kring en extern axel|**Torus** (munkring)| --- ## 2. Rotationsvolym ### Definition > [!info]- Definition: Rotationsvolym > > En **rotationsvolym** är volymen av den tredimensionella kropp som uppstår då ett område i planet roterar kring en axel. > > Det finns två huvudmetoder för att beräkna rotationsvolymer: > > 1. **Skivmetoden** — bygger upp kroppen av tunna cirkulära skivor > 2. **Skalmetoden** — bygger upp kroppen av tunna cylindriska skal --- ### Skivmetoden > [!tip]- Skivmetoden — illustration > > > **Vänster:** 2D-området under kurvan $y = f(x)$ med en tunn skiva markerad > **Höger:** 3D-kroppen uppbyggd av cirkulära skivor efter rotation kring x-axeln > [!info]- SATS: Skivmetoden (rotation kring x-axeln) > > Om området under kurvan $y = f(x)$ för $a \leq x \leq b$ roterar kring x-axeln, ges volymen av: $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$$ > > **Härledning:** > > 1. Dela upp intervallet $[a, b]$ i tunna skivor med tjocklek $dx$ > 2. Varje skiva är approximativt en cylinder med radie $r = f(x)$ och höjd $dx$ > 3. Volymen av en skiva: $dV = \pi r^2 \cdot dx = \pi [f(x)]^2\,dx$ > 4. Summera (integrera) alla skivor > [!info]- SATS: Skivmetoden (rotation kring y-axeln) > > Om kurvan $x = g(y)$ för $c \leq y \leq d$ roterar kring y-axeln: $$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2\,dy$$ > [!tip]- Receptbok: Skivmetoden > > **Steg 1:** Identifiera rotationsaxeln och funktionen > > **Steg 2:** Bestäm integrationsgränserna > > **Steg 3:** Ställ upp integralen: > > - Kring x-axeln: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$ > - Kring y-axeln: $V = \pi \int_c^d [g(y)]^2\,dy$ > > **Steg 4:** Beräkna integralen > [!example]- Exempel: Sfärens volym > > Rotera halvcirkeln $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ kring x-axeln. > > $$V = \pi \int_{-R}^{R} (\sqrt{R^2 - x^2})^2\,dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx$$ > > $$= \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi \cdot \frac{4R^3}{3} = \boxed{\frac{4\pi R^3}{3}}$$ > [!example]- Exempel: Konens volym > > Rotera linjen $y = \frac{r}{h}x$ för $0 \leq x \leq h$ kring x-axeln. > > $$V = \pi \int_0^h \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \boxed{\frac{\pi r^2 h}{3}}$$ --- ### Skalmetoden > [!tip]- Skalmetoden — illustration > > > **Vänster:** 2D-området med en vertikal remsa markerad (bredd $dx$, höjd $f(x)$, avstånd $x$ från y-axeln) > **Höger:** Cylindriskt skal som bildas när remsan roterar kring y-axeln > [!info]- SATS: Skalmetoden (rotation kring y-axeln) > > Om området under kurvan $y = f(x)$ för $a \leq x \leq b$ (där $a \geq 0$) roterar kring y-axeln: $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$$ > > **Härledning:** > > 1. Dela upp området i tunna vertikala remsor med bredd $dx$ > 2. Varje remsa sveper ut ett cylindriskt skal vid rotation > 3. Skalets volym: $dV = 2\pi \cdot \text{(radie)} \cdot \text{(höjd)} \cdot \text{(tjocklek)}$ > 4. Radie = $x$, höjd = $f(x)$, tjocklek = $dx$ > 5. $dV = 2\pi x \cdot f(x)\,dx$ > [!info]- SATS: Skalmetoden (rotation kring x-axeln) > > Om kurvan $x = g(y)$ för $c \leq y \leq d$ roterar kring x-axeln: $$V = 2\pi \int_c^d y \cdot g(y)\,dy$$ > [!example]- Exempel: "Vinglaset" > > Rotera $y = x^2$ för $0 \leq x \leq 2$ kring **y-axeln**. > > $$V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2\,dx = 2\pi \int_0^2 x^3\,dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \boxed{8\pi}$$ > [!example]- Exempel: $y = \sqrt{x}$ kring y-axeln > > Rotera $y = \sqrt{x}$ för $0 \leq x \leq 4$ kring y-axeln. > > $$V = 2\pi \int_0^4 x \cdot \sqrt{x}\,dx = 2\pi \left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^4 = \boxed{\frac{128\pi}{5}}$$ --- ### Område mellan två kurvor > [!tip]- Rotation mellan två kurvor — illustration > > > **Vänster:** Området mellan $f(x)$ (röd, övre) och $g(x)$ (blå, undre) > **Höger:** "Brickor" med hål — yttre radie $R = f(x)$, inre radie $r = g(x)$ > [!info]- SATS: Rotation av område mellan två kurvor > > Om området mellan $y = f(x)$ (övre) och $y = g(x)$ (undre) roterar kring x-axeln: $$V = \pi \int_a^b \left([f(x)]^2 - [g(x)]^2\right) dx$$ > > **Geometrisk tolkning:** Tvärsnitten är "brickor" (annuli) — skivor med hål i mitten. > > - Yttre radie: $R = f(x)$ > - Inre radie: $r = g(x)$ > - Brickans area: $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(f^2 - g^2)$ > [!example]- Exempel: Mellan $y = x$ och $y = x^2$ > > Området mellan $y = x$ och $y = x^2$ för $0 \leq x \leq 1$ roterar kring x-axeln. > > $$V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \boxed{\frac{2\pi}{15}}$$ --- ### Rotation kring andra linjer > [!tip]- Rotation kring förskjutna axlar — illustration > > > **Vänster:** Rotation kring $y = c$ — radien är $|f(x) - c|$ > **Höger:** Rotation kring $x = k$ — radien är $|k - x|$ > [!info]- SATS: Rotation kring linjen $y = c$ > > Om kurvan $y = f(x)$ roterar kring den horisontella linjen $y = c$: $$V = \pi \int_a^b [f(x) - c]^2\,dx$$ > > **Nyckel:** Radien är nu avståndet från kurvan till rotationsaxeln, dvs. $|f(x) - c|$. > [!info]- SATS: Rotation kring linjen $x = k$ > > Om kurvan $y = f(x)$ (med $x \leq k$) roterar kring den vertikala linjen $x = k$: $$V = 2\pi \int_a^b (k - x) \cdot f(x)\,dx$$ > > **Nyckel:** Radien i skalmetoden är nu $k - x$. > [!example]- Exempel: Rotation kring $y = -1$ > > Rotera $y = x^2$ för $0 \leq x \leq 1$ kring linjen $y = -1$. > > Avståndet från kurvan till axeln: $x^2 - (-1) = x^2 + 1$ > > $$V = \pi \int_0^1 (x^2 + 1)^2\,dx = \pi \left[\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1 = \boxed{\frac{28\pi}{15}}$$ --- ### Metodval: skiv- eller skalmetoden? > [!tip]- Jämförelse av metoderna — illustration > > > **Vänster:** Skivmetoden — skivor vinkelräta mot rotationsaxeln > **Höger:** Skalmetoden — cylindriska skal runt rotationsaxeln > [!warning] Snabbguide: När ska man använda vilken metod? > > |Situation|Rekommenderad metod| > |:--|:--| > |Rotation kring **x-axeln**, $y = f(x)$ given|**Skivmetoden**| > |Rotation kring **y-axeln**, $y = f(x)$ given|**Skalmetoden**| > |Rotation kring **y-axeln**, $x = g(y)$ given|**Skivmetoden** (integrera m.a.p. $y$)| > |Rotation kring **x-axeln**, $x = g(y)$ given|**Skalmetoden** (integrera m.a.p. $y$)| > |Funktionen svår att invertera|Välj metod som undviker inversionen| > > **Tumregel:** > > - **Skivmetoden:** Integrationsvariabeln är _längs_ rotationsaxeln > - **Skalmetoden:** Integrationsvariabeln är _vinkelrätt_ mot rotationsaxeln --- ### Klassiskt exempel: Gabriels horn > [!note]- Gabriels horn — det omöjliga hornet > > > Rotera $y = \frac{1}{x}$ för $x \geq 1$ kring x-axeln. > > **Volym (ändlig):** $$V = \pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \pi \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty} = \pi(0 - (-1)) = \boxed{\pi}$$ > > **Yta (oändlig):** $$A = 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\,dx > 2\pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \infty$$ > > **Paradox:** Ändlig volym ($V = \pi$) men oändlig yta ($A = \infty$) > > > _"Hornet kan fyllas med färg, men aldrig målas!"_ --- ## 3. Rotationsyta ### Definition och härledning > [!tip]- Rotationsyta — illustration > > > **Steg 1:** Kurvan med ett litet bågelement $ds$ > **Steg 2:** Bågelementet roterar och bildar ett mantelband > **Steg 3:** Den kompletta rotationsytan > [!info]- Definition: Rotationsyta > > En **rotationsyta** är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en axel. Vi beräknar arean av denna yta. > [!success]- Härledning: Rotationsareans formel > > **Idé:** Dela upp kurvan i små bågelement och summera mantelarean av de cylindrar som bildas. > > 1. Ett litet bågelement har längd $ds$ > 2. Vid rotation bildar det en cylindermantel med radie $|f(x)|$ och höjd $ds$ > 3. Mantelarean: $dA = 2\pi \cdot |f(x)| \cdot ds$ > 4. Bågelängden: $ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$ > 5. Integrera: $A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$ --- ### Formler för rotationsarea > [!info]- SATS: Rotationsarea (rotation kring x-axeln) > > Om kurvan $y = f(x)$ för $a \leq x \leq b$ roterar kring x-axeln: $$A = 2\pi \int_a^b |f(x)| \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$ > [!info]- SATS: Rotationsarea (rotation kring y-axeln) > > Om kurvan $x = g(y)$ för $c \leq y \leq d$ roterar kring y-axeln: $$A = 2\pi \int_c^d |g(y)| \sqrt{1 + [g'(y)]^2}\,dy$$ > [!warning]- OBS! > > Rotationsareaformeln innehåller faktorn $\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$, vilket ofta leder till **svårare integraler** än volymberäkningar! > [!example]- Exempel: Sfärens yta > > Rotera halvcirkeln $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ kring x-axeln. > > $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$, så $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$ > > $$A = 2\pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}\,dx = 2\pi R \cdot 2R = \boxed{4\pi R^2}$$ --- ### Pappos-Guldins regler > [!tip]- Pappos-Guldin — illustration > > > **Vänster:** Principen — ett område med [[Masscentrum|tyngdpunkt]] T roterar kring en axel > **Höger:** Torusen — en cirkel med radie $r$ roterar på avstånd $R$ från axeln > [!info]- SATS: Pappos-Guldins första regel (volym) > > Om ett plant område med area $A$ roterar kring en extern axel, ges volymen av: $$V = 2\pi \bar{r} \cdot A$$ > > där $\bar{r}$ är avståndet från områdets tyngdpunkt till rotationsaxeln. > > **Intuition:** Volymen = arean × sträckan som tyngdpunkten färdas (omkretsen $2\pi\bar{r}$). > [!info]- SATS: Pappos-Guldins andra regel (area) > > Om en kurva med båglängd $s$ roterar kring en extern axel, ges rotationsarean av: $$A = 2\pi \bar{r} \cdot s$$ > [!example]- Exempel: Torusens volym och yta > > En cirkel med radie $r$ roterar kring en axel på avstånd $R$ (där $R > r$). > > - Cirkelns area: $A = \pi r^2$, omkrets: $s = 2\pi r$, tyngdpunktens avstånd: $\bar{r} = R$ > > **Volym:** $V = 2\pi R \cdot \pi r^2 = \boxed{2\pi^2 R r^2}$ > > **Area:** $A = 2\pi R \cdot 2\pi r = \boxed{4\pi^2 R r}$ --- ## 4. Sammanfattning ### Formelsammanfattning > [!note]- Rotationsvolym — alla formler > > |Metod|Rotation kring|Formel| > |:--|:--|:--| > |Skivmetoden|x-axeln|$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$| > |Skivmetoden|y-axeln|$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2\,dy$| > |Skalmetoden|y-axeln|$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$| > |Skalmetoden|x-axeln|$V = 2\pi \int_c^d y \cdot g(y)\,dy$| > |Mellan kurvor|x-axeln|$V = \pi \int_a^b ([f]^2 - [g]^2)\,dx$| > |Kring $y = c$|—|$V = \pi \int_a^b [f(x) - c]^2\,dx$| > [!note]- Rotationsyta — alla formler > > |Rotation kring|Formel| > |:--|:--| > |x-axeln|$A = 2\pi \int_a^b \|f(x)\| \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$| > |y-axeln|$A = 2\pi \int_c^d \|g(y)\| \sqrt{1 + [g'(y)]^2}\,dy$| > > **Pappos-Guldin:** > > - Volym: $V = 2\pi \bar{r} \cdot A$ > - Area: $A = 2\pi \bar{r} \cdot s$ --- ### Vanliga misstag > [!warning]- Vid volymberäkning > > 1. **Glömmer $\pi$** — Skivmetoden har alltid $\pi$ utanför integralen! > 2. **Fel radie** — Vid rotation kring $y = c$, är radien $|f(x) - c|$, inte $f(x)$ > 3. **Blandar metoder** — Använd inte skiv- och skalmetoden i samma integral > 4. **Glömmer kvadraten** — Det ska vara $[f(x)]^2$, inte $f(x)$ > [!warning]- Vid areaberäkning > > 1. **Glömmer båglängdsfaktorn** — Det ska vara $\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$, inte bara $1$ > 2. **Fel [[Derivata|derivata]]** — Kontrollera $f'(x)$ noggrant > 3. **Glömmer $2\pi$** — Faktorn $2\pi$ ska alltid vara med > 4. **Blandar ihop volym och area** — Volym har $\pi r^2$, area har $2\pi r$ --- ### Klassiska resultat > [!note]- Tabell: Volymer och ytor av rotationskroppar > > |Kropp|Volym|Yta (mantel)| > |:--|:--|:--| > |Sfär (radie $R$)|$\frac{4\pi R^3}{3}$|$4\pi R^2$| > |Cylinder (radie $r$, höjd $h$)|$\pi r^2 h$|$2\pi rh$| > |Kon (radie $r$, höjd $h$, sidhöjd $s$)|$\frac{\pi r^2 h}{3}$|$\pi r s$| > |Torus (radier $R$, $r$)|$2\pi^2 R r^2$|$4\pi^2 R r$| --- ## Läsning - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=415|7.1 Volumes by Slicing — Solids of Revolution]] - [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=424|7.2 More Volumes by Slicing]] ## Se även - [[Integraler]] - [[Parametriserade kurvor]] - [[Integraler]]