---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "3.1–3.3"
tags:
  - matematik
  - linjär-algebra
  - mekanik
  - kinematik
  - vektorer
förkunskaper:
  - "[[Kinematik]]"
  - "[[Kryssprodukt]]"
status: true
aliases:
  - Vektorer och rörelse
  - 2D-rörelse
  - Rörelse i planet
---

> **Kapitel:** 3.1–3.3 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Kinematik]], [[Kryssprodukt]]

---

## 1. Vektorer i rörelse

### 1.1 Definition

> [!abstract] Definition: Positionsvektor
> Positionsvektorn $\vec{r}$ pekar från origo till objektets aktuella position i rummet:
>
> $$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$$
>
> Här är $\hat{i}$, $\hat{j}$ och $\hat{k}$ enhetsvektorer (längd 1) längs $x$-, $y$- och $z$-axlarna.

### 1.2 Hastighets- och accelerationsvektor

Precis som i 1D är hastigheten derivatan av positionen — men nu deriveras hela vektorn komponentvis:

$$\boxed{\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (v_x,\ v_y,\ v_z)}$$

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (a_x,\ a_y,\ a_z)$$

> [!tip] Nyckelinsikt: Komponentuppdelning
>
> Du kan behandla varje komponent **helt oberoende**. $x$-rörelsen påverkas bara av $x$-komponenten av kraften, $y$-rörelsen bara av $y$-komponenten, och så vidare. Det här gör 2D/3D-problem hanterbara.

### 1.3 Fart — beloppet av hastighetsvektorn

Farten är längden (beloppet) av hastighetsvektorn — Pythagoras sats i 3D:

$$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

> [!example]- Exempel: Fart från komponenter
>
> En fågel flyger med hastighetsvektorn $\vec{v} = (3,\ 4,\ 0)\ \text{m/s}$.
>
> Farten är:
> $$v = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{m/s}$$

---

## 2. Rörelsens komponenter är oberoende

### 2.1 Konsekvens

Om ett objekt kastas horisontellt med startfart $v_0$ i $x$-led och tyngdkraften verkar i $y$-led:

- **$x$-led:** Ingen kraft → konstant hastighet: $x = v_0 t$
- **$y$-led:** Tyngdkraften → konstant acceleration: $y = -\frac{1}{2}g t^2$

De två komponenterna räknas ut separat och kombineras sedan till en bana.

> [!warning] Vanligt misstag: Blanda komponenter
>
> Blanda aldrig $x$- och $y$-komponenter i samma ekvation. Skriv alltid upp $x$- och $y$-ekvationerna separat.

---

## 3. Hastighetsvektorn och ändring av riktning

### 3.1 Acceleration utan fartändring

> [!abstract] Nyckelinsikt
> Acceleration kan uppstå **utan att farten ändras**, enbart genom att riktningen ändras. En bil som kör i en rondell med konstant fart 50 km/h accelererar hela tiden — mot rondelens centrum.

Förändringen av hastighetsvektorn:

$$\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 \implies \vec{a}_{medel} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

Accelerationsvektorn pekar i riktningen av $\Delta\vec{v}$ — inte nödvändigtvis i rörelsens riktning.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=597|10.2 Vectors]]

## Se även

- [[Kinematik]] — rörelse i 1D, grundläggande samband
- [[Cirkelrörelse]] — radiell och tangentiell acceleration, $n$-$t$-koordinater
- [[Relativ rörelse]] — hastigheter relativt olika referenssystem

---

## Resurser

### Videor
- [Khan Academy — 2D Motion](https://www.khanacademy.org/science/physics/two-dimensional-motion) — vektorer och rörelse i planet

### Wikipedia
- [Kinematics](https://en.wikipedia.org/wiki/Kinematics)
- [Velocity](https://en.wikipedia.org/wiki/Velocity)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 3.1–3.3
- Fysika upplaga 5, kap 3