Generaliserade integraler

Kurs: M0066M Förkunskaper: Integraler, Oegentliga gränsvärden

---

Används när integrationsintervallet är obegränsat eller integranden är obegränsad.

Obegränsat intervall

$${\int }_a^{\infty }f(x)dx=\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_a^{R}f(x)dx$$

Singularitet i integranden

Om $f$ är obegränsad nära $b$:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-ϵ}f(x)dx$$

Konvergens vs divergens

Integralen konvergerar om gränsvärdet är ändligt, annars divergerar den.

Viktigt

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^p}$ konvergerar $⟺p>1$. ${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}$ konvergerar $⟺p<1$.

Jämförelsekriterium

Om $0\le f(x)\le g(x)$ och $\int g$ konvergerar, så gör $\int f$ det också.

Läsning

• 6.5 Improper Integrals

Se även

• Integraler
• Oegentliga gränsvärden