---
kurs:
  - M0066M
tags:
  - matematik
  - analys
  - integral
förkunskaper:
  - "[[Integraler]]"
  - "[[Oegentliga gränsvärden]]"
status: true
aliases:
  - Oegentliga integraler
---
> **Kurs:** M0066M
> **Förkunskaper:** [[Integraler]], [[Oegentliga gränsvärden]]

---

Används när integrationsintervallet är obegränsat eller integranden är obegränsad.

## Obegränsat intervall

$$
\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx
$$

## Singularitet i integranden

Om $f$ är obegränsad nära $b$:

$$
\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_a^{b-\epsilon} f(x)\,dx
$$

## Konvergens vs divergens

Integralen **konvergerar** om gränsvärdet är ändligt, annars **divergerar** den.

> [!example]- Viktigt
> $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ konvergerar $\iff p>1$.
> $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ konvergerar $\iff p<1$.

## Jämförelsekriterium

Om $0\le f(x)\le g(x)$ och $\int g$ konvergerar, så gör $\int f$ det också.

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=385|6.5 Improper Integrals]]

## Se även

- [[Integraler]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]