Arbete och kinetisk energi

Kapitel: 6.1–6.4, 7.1–7.4 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Newtons lagar, Integraler

---

1. Mekaniska energiprincipen

1.1 Den grundläggande satsen

Mekaniska energiprincipen

Den totala mekaniska energin bevaras om inga “övriga” (icke-konservativa) krafter utför arbete:

$K_1+V_{g1}+V_{e1}=K_2+V_{g2}+V_{e2}+W_{\text{o¨vr}}$

utan övriga krafter:

$K_1+V_1=K_2+V_2$

Termer som räknas som “övriga krafter” och ger $W_{\text{o¨vr}}\ne 0$: friktion, luftmotstånd, motorer, muskler.

Intuition: Energibokföring

Energi kan inte skapas eller förstöras — bara omvandlas. Mekanisk energiprincipen är ett “bokslut” mellan olika energiformer. Friktion omvandlar kinetisk energi till värme, varför den hamnar på höger sida som en “kostnad”.

---

2. Energiformer

2.1 Kinetisk energi

Definition: Kinetisk energi

Rörelseenergi för ett föremål med massa $m$ och fart $v$:

$\boxed{K=\frac{1}{2}m{v}^2}$

Notera att $v$ är kvadrerad — dubbla hastigheten ger fyra gånger så mycket kinetisk energi.

2.2 Gravitationspotentiell energi

Definition: Gravitationspotentiell energi

Energi lagrad i ett föremåls läge i ett gravitationsfält:

$V_g=mgh$

där $h$ är höjden mätt från en vald referensnivå.

Välj referensnivån ($h=0$) så att beräkningarna blir så enkla som möjligt — det spelar ingen roll var du sätter den, bara att du är konsekvent.

2.3 Elastisk energi (fjäder)

Definition: Elastisk potentiell energi

Energi lagrad i en deformerad fjäder:

$V_e=\frac{1}{2}k{x}^2$

där $k$ är fjäderkonstanten (N/m) och $x$ är utdragningen från jämviktsläget.

---

3. Arbete

3.1 Definition

Definition: Mekaniskt arbete

Arbete är hur energi överförs till eller från ett system via en kraft.

Konstant kraft:

$W=\vec{F}\cdot \vec{s}=Fs\cos \varphi$

där $\varphi$ är vinkeln mellan kraftriktningen och förflyttningen.

Tre viktiga specialfall:

Vinkel $\varphi$	Arbete	Tolkning
$0°$	$W=Fs>0$	Kraft i rörelseriktningen — energi tillförs
$90°$	$W=0$	Kraft vinkelrätt mot rörelsen — inget arbete
$180°$	$W=-Fs<0$	Kraft mot rörelsen — energi bortförs

3.2 Varierande kraft

$W={\int }_{s_1}^{s_2}\vec{F}\cdot d\vec{s}$

3.3 Arbete-energisatsen

Arbete-energisatsen

Det totala arbetet på ett objekt är lika med förändringen i dess kinetiska energi:

$\boxed{W_{netto}=\Delta K=K_2-K_1}$

---

4. Hookes lag och fjäderarbete

4.1 Hookes lag

Definition: Hookes lag

En fjäders återställande kraft är proportionell mot utdragningen:

$F=-kx$

Minustecknet visar att kraften alltid pekar mot jämviktsläget.

4.2 Arbete för att töja en fjäder

$W={\int }_{x_1}^{x_2}kxdx=\frac{1}{2}k{x}_2^2-\frac{1}{2}k{x}_1^2$

Från jämviktsläget till utdragning $x$: $W=\frac{1}{2}k{x}^2=V_e$

Exempel: Boll fälls från en höjd

En boll med massan $m=0,5\text{kg}$ fälls från höjden $h=5,0\text{m}$. Ingen luftmotstånd. Vad är farten precis innan den träffar marken?

Välj referensnivå vid marken. Tillstånd 1 = toppen, tillstånd 2 = marken.

Energibevarande ($W_{\text{o¨vr}}=0$):

$K_1+V_{g1}=K_2+V_{g2}$

$0+mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+0$

$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9,82\times 5,0}\approx 9,9\text{m/s}$

---

5. Effekt

5.1 Definition

Definition: Effekt

Effekt är arbete per tidsenhet — hur snabbt energi överförs:

$P=\frac{W}{t}=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}$

Enhet: Watt $[\text{W}]=\text{J/s}$

Om kraft och hastighet är parallella:

$P=Fv$

Exempel: Effekt mot luftmotstånd

En bil kör med farten $v=30\text{m/s}$ mot ett luftmotstånd på $F_{luft}=500\text{N}$.

Effekten som behövs bara för att övervinna luftmotståndet:

$P=Fv=500\times 30=15000\text{W}=15\text{kW}$

---

Läsning

• Chapter 6 Work and Kinetic Energy

Se även

• Newtons lagar — kraftperspektiv på rörelse
• Friktion — friktionens roll som förlust av mekanisk energi
• Rörelsemängd och impuls — alternativt perspektiv på kraftens verkan
• Termodynamikens första lag — energibevarande i termodynamiken

---

Resurser

Videor

• Khan Academy — Work and Energy — arbete, kinetisk energi och energibevarande

Wikipedia

• Work (physics)
• Kinetic energy
• Potential energy

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 6–7
• Fysika upplaga 5, kap 6–7

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-11-14, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-11-14 – MEK6

Mekaniska energiprincipen (Energisatsen)

$K_1+U_{g1}+U_{e1}=K_2+U_{g2}+U_{e2}+W_{\text{o¨vr}}$

Arbete av övriga krafter: $W_{\text{o¨vr}}=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}$ (friktionskraft, luftmotstånd, spännkraft m.fl.)

6.1 Arbete

$W=\vec{F}\cdot d\vec{s}=F\cdot s\cdot \cos \varphi$

Skalärprodukten kan tolkas som kraftens komponent i sträckans riktning (eller vice versa). Om kraften är motriktad mot sträckan → negativt arbete.

6.2 Arbete-energisatsen (härledning)

Från rörelselagen vid konstant acc: $v_2^2=v_1^2+2as$, ger $a=\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}$.

NII multiplicerat med sträcka $s$: $\sum F_x\cdot s=m\cdot \frac{v_2^2-v_1^2}{2}⟹W=K_2-K_1$

6.3 Arbete vid varierande kraft – Fjäder

Hookes lag: $F=-kx$

Arbete från $x_1$ till $x_2$: $W={\int }_{x_1}^{x_2}kxdx=\frac{k{x}_2^2}{2}-\frac{k{x}_1^2}{2}$

Från ospänt läge ($x_1=0$): $W=\frac{k{x}^2}{2}=U_e$

6.4 Effekt

$P=\frac{W}{t}=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}$

Enhet: Watt (W) = J/s. Vid parallell kraft och hastighet: $P=F\cdot v$.