---
kurs:
  - M0065M
  - M0066M
tags:
  - envariabelanalys
  - integral
  - antiderivata
  - riemannsumma
förkunskaper:
  - "[[Gränsvärden och kontinuitet]]"
  - "[[Högre ordningens derivator]]"
status: true
aliases:
  - Integral
  - Bestämd integral
  - Riemannintegral
  - Antiderivata
---
> **Kurs:** M0065M, M0066M
> **Förkunskaper:** [[Gränsvärden och kontinuitet]], [[Högre ordningens derivator]]

---

## 1. Grundidé

**Integralen** är ett centralt begrepp i analysen och kan tolkas på flera sätt:

- som **area** under en kurva,
- som en **gräns av summor** (Riemannsummor),
- som sambandet mellan en funktion och dess **antiderivata**.

Integraler används bland annat för att beräkna area, volym, arbete, massa och båglängd.

---

## 2. Bestämd och obestämd integral

### 2.1 Bestämd integral

Låt $f(x)$ vara definierad på intervallet $[a,b]$. Den **bestämda integralen** definieras som

$$
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x
$$

där $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$ och $x_k^*$ är en punkt i det $k$:te delintervallet.

> [!note] Geometrisk tolkning
> Om $f(x) \ge 0$ på $[a,b]$ motsvarar $\int_a^b f(x)\,dx$ arean mellan kurvan $y=f(x)$ och $x$-axeln.
> Om kurvan ligger under $x$-axeln räknas bidraget negativt.

### 2.2 Obestämd integral

En funktion $F(x)$ kallas **antiderivata** eller **[[Primitiv funktion och obestämd integral|primitiv funktion]]** till $f(x)$ om

$$
F'(x) = f(x).
$$

Den obestämda integralen skrivs då som

$$
\int f(x)\,dx = F(x) + C,
$$

där $C \in \mathbb{R}$ är integrationskonstanten.

---

## 3. Analysens fundamentalsats

> [!info]- SATS: Analysens fundamentalsats, del 1
> Låt $f$ vara kontinuerlig på $[a,b]$ och definiera
> $$
> F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.
> $$
> Då är $F$ deriverbar och
> $$
> F'(x) = f(x).
> $$

> [!info]- SATS: Analysens fundamentalsats, del 2
> Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ och $F$ är en antiderivata till $f$, så gäller
> $$
> \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \bigl[F(x)\bigr]_a^b.
> $$

> [!tip] Kärnidén
> Derivering och integrering är i den här meningen varandras inverser.

---

## 4. Räkneregler

> [!note]- Konstant faktor
> $$
> \int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx
> $$

> [!note]- Summa och differens
> $$
> \int \bigl(f(x) \pm g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx
> $$

> [!note]- Uppdelning av integrationsintervall
> $$
> \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx
> $$

> [!note]- Omkastade gränser
> $$
> \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx
> $$

> [!note]- Samma övre och undre gräns
> $$
> \int_a^a f(x)\,dx = 0
> $$

---

## 5. Standardprimitiver

| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ | Villkor |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | $x \neq 0$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ | |
| $e^{kx}$ | $\dfrac{1}{k}e^{kx} + C$ | $k \neq 0$ |
| $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ | $a>0$, $a\neq 1$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | |
| $\tan x$ | $-\ln|\cos x| + C$ | |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ | |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ | |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | $|x|<1$ |

---

## 6. Vanliga integrationsmetoder

### 6.1 Variabelsubstitution

> [!info]- SATS: Substitutionsregeln
> Om $u=g(x)$ och $du=g'(x)\,dx$, så gäller
> $$
> \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
> $$

> [!example]- Exempel: [[Variabelbyte i integraler|substitution]]
> Beräkna
> $$
> \int x e^{x^2}\,dx.
> $$
> Sätt $u=x^2$, då är $du=2x\,dx$ och $x\,dx = \tfrac12 du$.
> Därför fås
> $$
> \int x e^{x^2}\,dx = \frac12 \int e^u\,du = \frac12 e^u + C = \frac12 e^{x^2} + C.
> $$

### 6.2 Partiell integration

> [!info]- SATS: [[Partiell integration]]
> $$
> \int u\,dv = uv - \int v\,du.
> $$

> [!example]- Exempel: partiell integration
> Beräkna
> $$
> \int x e^x\,dx.
> $$
> Välj $u=x$ och $dv=e^x\,dx$. Då är $du=dx$ och $v=e^x$, så
> $$
> \int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = e^x(x-1)+C.
> $$

### 6.3 Partialbråksuppdelning

> [!note]- Metodidé
> En rationell funktion $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ med $\deg P < \deg Q$ kan ofta delas upp i enklare bråk som är lättare att integrera.

> [!example]- Exempel: partialbråk
> Beräkna
> $$
> \int \frac{1}{x^2-1}\,dx.
> $$
> Faktorisera $x^2-1=(x-1)(x+1)$ och skriv
> $$
> \frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.
> $$
> Detta ger $A=\tfrac12$ och $B=-\tfrac12$, alltså
> $$
> \int \frac{1}{x^2-1}\,dx = \frac12 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.
> $$

---

## 7. Oegentliga integraler

### 7.1 Oändliga integrationsgränser

> [!note]- Definition
> Om $f$ är kontinuerlig på $[a,\infty)$ definieras
> $$
> \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)\,dx.
> $$
> Om gränsvärdet existerar och är ändligt sägs integralen **konvergera**.

> [!info]- SATS: $p$-integralen
> $$
> \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx
> \begin{cases}
> \text{konvergerar} & \text{om } p>1,\\
> \text{divergerar} & \text{om } p\le 1.
> \end{cases}
> $$

### 7.2 Obegränsad integrand

> [!note]- Definition
> Om $f$ har en singularitet i $x=a$ och är kontinuerlig på $(a,b]$, definieras
> $$
> \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.
> $$

---

## 8. Vanliga tillämpningar

> [!note]- Area mellan två kurvor
> Om $f(x) \ge g(x)$ på $[a,b]$, så är arean
> $$
> A = \int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
> $$

> [!note]- Rotationsvolym kring $x$-axeln
> $$
> V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx
> $$

> [!note]- Båglängd
> $$
> L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx
> $$

> [!note]- Arbete med variabel kraft
> $$
> W = \int_a^b F(x)\,dx
> $$

---

## 9. Snabbreferens

| Metod | När den passar |
|---|---|
| Direkt integration | När integranden finns i tabellen över standardprimitiver |
| Substitution | När uttrycket innehåller en sammansatt funktion |
| Partiell integration | Vid produkter som blir enklare efter derivering |
| Partialbråk | För rationella funktioner |

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=313|Chapter 5 Integration]]

## Se även

- [[Gränsvärden och kontinuitet]]
- [[Differentialekvationer]]
- [[Rotation]]