---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - envariabelanalys
  - derivata
förkunskaper:
  - "[[Gränsvärden]]"
  - "[[Kontinuitet]]"
status: true
aliases:
  - Derivatan
  - Derivering
---
> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Gränsvärden]], [[Kontinuitet]]

---

## 1. Definition

> [!abstract] Definition
> Derivatan av $f$ i punkten $a$ definieras av
> $$
> \boxed{f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}
> $$

Derivatan mäter funktionens **momentana förändringshastighet**.

Den alternativa formen

$$
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
$$

är ofta praktisk.

---

## 2. Geometrisk och fysisk tolkning

- geometriskt: tangentens lutning i punkten $(a,f(a))$
- fysiskt: momentan hastighet om $f$ beskriver läge som funktion av tid

Tangentens ekvation är

$$
\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}
$$

> [!example]- Exempel
> Om $f(x)=x^2$ och $a=3$, så är $f'(x)=2x$ och $f'(3)=6$.
> Tangenten blir
> $$
> y=9+6(x-3)=6x-9.
> $$

---

## 3. Standardregler

| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstantregel | $(c)'=0$ |
| Potensregel | $(x^n)'=nx^{n-1}$ |
| Summaregel | $(f+g)'=f'+g'$ |
| Produktregel | $(fg)'=f'g+fg'$ |
| Kvotregel | $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| Kedjeregel | $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)$ |

> [!tip]
> [[Kedjeregeln]] kan sammanfattas som: **yttre derivata gånger inre derivata**.

> [!example]- Kedjeregel
> $$
> \frac{d}{dx}e^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2}
> $$

---

## 4. Deriverbarhet och kontinuitet

> [!important]
> Om $f$ är deriverbar i $a$, så är $f$ också kontinuerlig i $a$.

Omvändningen gäller däremot inte alltid.

> [!example]- Klassiskt motexempel
> Funktionen $f(x)=|x|$ är kontinuerlig i $0$, men inte deriverbar där eftersom vänster- och högerderivatan är olika.

---

## 5. Vanliga derivator

| Funktion | Derivata |
|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ |

Högre derivator används sedan i [[Taylors formel]] och analys av [[Extremvärden]].

---

## 6. Varför derivatan är central

Med derivatan kan man:

- avgöra om en funktion växer eller avtar
- hitta lokala och globala extremvärden
- approximera funktioner med tangenter och [[Taylors formel]]
- koppla ihop förändring och area via [[Integraler]]

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=117|2.1 Tangent Lines]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=122|2.2 The Derivative]]

## Se även

- [[Kontinuitet]]
- [[Extremvärden]]
- [[Taylors formel]]
- [[Integraler]]

## Resurser

- [3Blue1Brown: The derivative](https://youtu.be/WUvTyaaNkzM)
- [Khan Academy: Derivative as a concept](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical-applications-new/ab-2-1)
- [Wikipedia: Derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative)