---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - matematik
  - analys
  - envariabelanalys
  - derivata
  - extremvärde
  - monotoni
förkunskaper:
  - "[[Derivata]]"
  - "[[Kontinuitet]]"
status: true
aliases:
  - Extremvärden
  - Monotoni
  - Kritiska punkter
---

> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Derivata]], [[Kontinuitet]]

---

## 1. Kritiska punkter och extremvärden

> [!abstract] Definition
> En kritisk punkt är ett tal $c$ där $f'(c)=0$ eller där $f'(c)$ inte existerar.

Lokala extremvärden måste sökas bland [[Kritiska punkter|kritiska punkter]] och eventuella ändpunkter.

> [!warning]
> Villkoret $f'(c)=0$ räcker inte i sig för att ge ett extremvärde.
> Funktionen $f(x)=x^3$ har $f'(0)=0$, men inget lokalt extremvärde i $0$.

---

## 2. Derivatans tecken och monotoni

> [!important]
> Om $f'(x)>0$ på ett intervall är $f$ strängt växande där.
> Om $f'(x)<0$ på ett intervall är $f$ strängt avtagande där.

Detta gör teckentabeller mycket användbara.

> [!example]- Första derivatatestet
> Om $f'$ byter tecken från positivt till negativt vid $c$, har $f$ ett lokalt maximum.
>
> Om $f'$ byter tecken från negativt till positivt vid $c$, har $f$ ett lokalt minimum.

---

## 3. Andraderivatatest

Om $f'(c)=0$ och $f''$ finns nära $c$, gäller:

$$
\boxed{f''(c)>0 \Rightarrow \text{lokalt minimum}}
$$

$$
\boxed{f''(c)<0 \Rightarrow \text{lokalt maximum}}
$$

Om $f''(c)=0$ ger testet inget säkert svar.

> [!example]- Exempel
> För $f(x)=x^2$ gäller $f'(0)=0$ och $f''(0)=2>0$, alltså har funktionen lokalt minimum i $x=0$.

---

## 4. Globala extremvärden på slutna intervall

För en kontinuerlig funktion på $[a,b]$ garanterar [[Kontinuitet|extremvärdessatsen]] att största och minsta värdet existerar.

> [!important] Metod
> 1. Hitta kritiska punkter i intervallets inre
> 2. Beräkna $f$ i alla kritiska punkter
> 3. Beräkna $f(a)$ och $f(b)$
> 4. Jämför alla värden

---

## 5. Konvexitet och inflexionspunkter

Andraderivatan beskriver hur grafen böjer:

- $f''(x)>0$ → grafen är konvex
- $f''(x)<0$ → grafen är konkav

En inflexionspunkt uppstår när konvexiteten byter tecken.

---

## 6. Typiska användningar

Detta koncept används när man:

- kurvskissar funktioner
- löser optimeringsproblem
- avgör största och minsta värden
- förbereder approximationer med [[Taylors formel]]

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=258|4.4 Extreme Values]]

## Se även

- [[Derivata]]
- [[Kontinuitet]]
- [[Taylors formel]]

## Resurser

- [Khan Academy: Increasing and decreasing intervals](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-analytical-applications-new/ab-3-1)
- [Wikipedia: Maxima and minima](https://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima)