---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - tenta
  - matematik
  - envariabelanalys
status: utkast
datum: 2019-10-30
typ: tenta
aliases:
  - Tenta M0047M 2019-10-30
---
> **Kurs:** [[M0065M]] — Envariabelanalys 1
> **Datum:** 2019-10-30
> **Källa:** originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_191030full.pdf, m0047m_191030sols.pdf)
> *M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.*

> [!abstract] Översikt
> - Uppgift 1: induktionsbevis för den teleskoperande summan $\sum \dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{n}{n + 1}$ och dess gränsvärde
> - Uppgift 2: tre gränsvärden, en faktorisering, ett rotkonjugat och en division med $x^2$
> - Uppgift 3: identiteten $\arctan e^x + \arctan e^{-x} = \dfrac{\pi}{2}$ via derivatan, samt en MATLAB-plott
> - Uppgift 4: tangenten till Pascals snigel i punkten $(1, \sqrt3)$ med implicit derivering
> - Uppgift 5: kurvundersökning av $xe^{-x^2}$
> - Uppgift 6: relaterade hastigheter, adiabatisk expansion $pV^{\gamma} = C$

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. **Lösning** är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

## 1. En teleskoperande summa genom induktion

Formeln
$$
\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{n}{n + 1}
$$
gäller för alla alla positiva heltal $n$.

(a) Bevisa detta (exempelvis med induktion). *(4p)*

(b) Vad kommer summan att gå mot när $n$ går mot oändligheten? *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Ett bevis med [[Matematisk induktion|induktion]] om en ändlig summa ([[Talföljder och summor]]), följt av ett [[Oegentliga gränsvärden|gränsvärde då $n\to\infty$]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Basfallet är $n = 1$. Anta att formeln gäller för $n = p$ och skriv summan till $p + 1$ som summan till $p$ plus termen $\dfrac{1}{(p + 1)(p + 2)}$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Efter induktionsantagandet ska du förenkla $\dfrac{p}{p + 1} + \dfrac{1}{(p + 1)(p + 2)}$. Täljaren blir $p(p + 2) + 1 = (p + 1)^2$.

> [!note]- Lösning
> **(a) Basfall.** För $n = 1$ är
> $$
> \text{VL} = \dfrac{1}{1\cdot 2} = \dfrac12 = \dfrac{1}{1 + 1} = \text{HL}
> $$
>
> **Induktionssteg.** Anta att formeln gäller för något heltal $p\ge 1$, dvs. att
> $$
> \sum_{k=1}^{p}\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{p}{p + 1} \qquad\text{(induktionsantagandet)}
> $$
> Då är
> $$
> \begin{aligned}
> \sum_{k=1}^{p+1}\dfrac{1}{k(k + 1)} &= \sum_{k=1}^{p}\dfrac{1}{k(k + 1)} + \dfrac{1}{(p + 1)(p + 2)} = \dfrac{p}{p + 1} + \dfrac{1}{(p + 1)(p + 2)}\\
> &= \dfrac{p(p + 2) + 1}{(p + 1)(p + 2)} = \dfrac{(p + 1)^2}{(p + 1)(p + 2)} = \dfrac{p + 1}{(p + 1) + 1}
> \end{aligned}
> $$
> vilket är formeln för $n = p + 1$. Enligt induktionsprincipen gäller
> $$
> \boxed{\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{n}{n + 1} \text{ för alla heltal } n\ge 1}
> $$
>
> **Alternativt bevis utan induktion.** Partialbråksuppdelningen $\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac1k - \dfrac{1}{k + 1}$ gör summan teleskoperande:
> $$
> \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac1k - \dfrac{1}{k + 1}\right) = \left(1 - \dfrac12\right) + \left(\dfrac12 - \dfrac13\right) + \dots + \left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n + 1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}
> $$
>
> **(b)**
> $$
> \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k + 1)} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n + 1} = \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{1 + \frac1n} = \boxed{1}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 2. Tre gränsvärden

Bestäm följande gränsvärden, om de existerar:

(a)
$$
\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3 - x^2 - x - 2}{x - 2}.
$$
*(1p)*

(b)
$$
\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 3x}.
$$
*(2p)*

(c)
$$
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{7x^6\ln x - 2x\sin x}{3x^2\cos x - x^3e^x}.
$$
*(2p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Gränsvärden]] av typerna $\left[\frac00\right]$ och $[\infty - \infty]$; (a) löses med [[Polynom och faktorisering|faktorisering]], (b) med rotkonjugat och (c) med standardgränsvärden.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > (a) $x = 2$ är ett nollställe till täljaren, så $x - 2$ är en faktor. (b) Förläng med $\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 3x}$. (c) Dividera täljare och nämnare med $x^2$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > (a) $x^3 - x^2 - x - 2 = (x - 2)(x^2 + x + 1)$. (b) Täljaren blir $6x$; bryt ut $\sqrt{x^2} = |x| = x$ i nämnaren. (c) Använd $x^a\ln x\to 0$ och $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Täljaren är $8 - 4 - 2 - 2 = 0$ i $x = 2$, så polynomdivision med $x - 2$ ger
> $$
> x^3 - x^2 - x - 2 = (x - 2)(x^2 + x + 1)
> $$
> och
> $$
> \lim_{x\to 2}\dfrac{(x - 2)(x^2 + x + 1)}{x - 2} = \lim_{x\to 2}(x^2 + x + 1) = 4 + 2 + 1 = \boxed{7}
> $$
>
> **(b)** Förläng med rotkonjugatet:
> $$
> \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 3x} = \dfrac{(x^2 + 3x) - (x^2 - 3x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \dfrac{6x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 3x}}
> $$
> För $x > 0$ är $\sqrt{x^2} = x$, så
> $$
> \dfrac{6x}{x\left(\sqrt{1 + \frac3x} + \sqrt{1 - \frac3x}\right)} = \dfrac{6}{\sqrt{1 + \frac3x} + \sqrt{1 - \frac3x}}\to\dfrac{6}{1 + 1}
> $$
> då $x\to\infty$, eftersom roten är kontinuerlig. Alltså
> $$
> \boxed{\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 3x}\right) = 3}
> $$
>
> **(c)** Dividera täljare och nämnare med $x^2$:
> $$
> \dfrac{7x^6\ln x - 2x\sin x}{3x^2\cos x - x^3e^x} = \dfrac{7x^4\ln x - 2\cdot\dfrac{\sin x}{x}}{3\cos x - xe^x}
> $$
> Då $x\to 0^+$ går $x^4\ln x\to 0$ (standardgränsvärde), $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$, $\cos x\to 1$ och $xe^x\to 0$. Alltså
> $$
> \boxed{\lim_{x\to 0^+}\dfrac{7x^6\ln x - 2x\sin x}{3x^2\cos x - x^3e^x} = \dfrac{0 - 2}{3 - 0} = -\dfrac23}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. En arcustangensidentitet

(a) Visa att
$$
\arctan e^x + \arctan e^{-x} = \dfrac{\pi}{2}, \quad x\in\mathbb{R}.
$$
*(4p)*

(b) Beskriv med kod/kommandon hur denna likhet skulle kunna visas grafiskt i MATLAB. *(1p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Derivering av [[Arcusfunktioner]] med kedjeregeln ([[Deriveringsregler]]), och sedan att en funktion med derivatan noll på ett intervall är konstant där ([[Medelvärdessatsen]]).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Bilda $f(x) = \arctan e^x + \arctan e^{-x}$ och visa att $f'(x) = 0$ för alla $x$. Bestäm sedan konstanten genom att beräkna $f$ i en lämplig punkt.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Förläng $\dfrac{e^{-x}}{1 + e^{-2x}}$ med $e^{2x}$: det blir $\dfrac{e^x}{e^{2x} + 1}$. Välj $x = 0$, där $\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$.

> [!note]- Lösning
> **(a)** Låt $f(x) = \arctan e^x + \arctan e^{-x}$, $x\in\mathbb{R}$. Kedjeregeln ger
> $$
> f'(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}} + \dfrac{-e^{-x}}{1 + e^{-2x}} = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}} - \dfrac{e^{-x}\cdot e^{2x}}{(1 + e^{-2x})\cdot e^{2x}} = \dfrac{e^x}{1 + e^{2x}} - \dfrac{e^x}{e^{2x} + 1} = 0
> $$
> för alla $x$. Eftersom $\mathbb{R}$ är ett intervall ger medelvärdessatsen att $f$ är konstant, $f(x) = C$. Med $x = 0$:
> $$
> C = f(0) = \arctan 1 + \arctan 1 = 2\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}
> $$
> Alltså
> $$
> \boxed{\arctan e^x + \arctan e^{-x} = \dfrac{\pi}{2} \text{ för alla } x\in\mathbb{R}}
> $$
>
> **(b)** Plotta vänsterledet över ett intervall och se att grafen är den vågräta linjen på höjden $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571$, till exempel:
>
> ```matlab
> x = -10:0.01:10;
> y = atan(exp(x)) + atan(exp(-x));
> plot(x, y, x, pi/2*ones(size(x)), '--')
> axis([-10 10 0 2])
> ```
>
> De två kurvorna sammanfaller. (Lärarens förslag är samma kod utan den streckade jämförelselinjen.)
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Tangent till Pascals snigel

Finn tangenten till kurvan (Pascals snigel/limaçon)
$$
\left(x^2 + y^2 - 2x\right)^2 = x^2 + y^2
$$
genom punkten $\left(1, \sqrt3\right)$. *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Implicit derivering]]: kurvan är inte en funktionsgraf, men lokalt kring punkten är $y = y(x)$.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Kontrollera först att punkten ligger på kurvan. Derivera båda leden med avseende på $x$ (kedjeregeln på $y^2$ ger $2yy'$) och sätt in $x = 1$, $y = \sqrt3$ innan du löser ut $y'$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $2(x^2 + y^2 - 2x)(2x + 2yy' - 2) = 2x + 2yy'$. I punkten är $x^2 + y^2 - 2x = 2$, så ekvationen blir $8\sqrt3\,y' = 2 + 2\sqrt3\,y'$.

> [!note]- Lösning
> **Punkten ligger på kurvan:** $\left(1 + 3 - 2\right)^2 = 4 = 1 + 3$.
>
> **Implicit derivering.** Med $y = y(x)$ ger derivering av båda leden
> $$
> 2\left(x^2 + y^2 - 2x\right)\left(2x + 2yy' - 2\right) = 2x + 2yy'
> $$
> I $(1, \sqrt3)$ är $x^2 + y^2 - 2x = 2$ och $2x - 2 = 0$, så
> $$
> 2\cdot 2\cdot 2\sqrt3\,y' = 2 + 2\sqrt3\,y' \iff 6\sqrt3\,y' = 2 \iff y' = \dfrac{1}{3\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{9}
> $$
> **Tangenten.** Enpunktsformeln ger
> $$
> y - \sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{9}(x - 1) \iff y = \dfrac{\sqrt3}{9}x + \dfrac{8\sqrt3}{9}
> $$
> $$
> \boxed{y = \dfrac{\sqrt3}{9}(x + 8)}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 5. Kurvan $xe^{-x^2}$

Bestäm nollställen, lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan
$$
y = f(x) = xe^{-x^2}.
$$
Skissera kurvan samt ange i vilka intervall funktionen är växande/avtagande respektive konvex/konkav (*Eng: concave up/concave down*). *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Grafritning och asymptoter|Kurvundersökning]]: symmetri, gränsvärden, [[Extremvärden|teckenschema för derivatan]] och [[Andraderivata och konvexitet|andraderivatan]].
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Funktionen är udda, så det räcker att studera $x\ge 0$. För $x\to\infty$: sätt $t = x^2$ och använd standardgränsvärdet $\dfrac{t^a}{e^t}\to 0$. Derivera med produktregeln.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$ och $f''(x) = (4x^3 - 6x)e^{-x^2} = 2x(2x^2 - 3)e^{-x^2}$.

> [!note]- Lösning
> **Symmetri och nollställen.** $f(-x) = -xe^{-x^2} = -f(x)$, så $f$ är udda och grafen är symmetrisk kring origo. Eftersom $e^{-x^2} > 0$ har $f$ samma tecken som $x$, och
> $$
> \boxed{\text{enda nollstället är } x = 0}
> $$
>
> **Asymptoter.** Med $t = x^2$ (så $x = \sqrt t$ för $x > 0$):
> $$
> \lim_{x\to\infty}xe^{-x^2} = \lim_{t\to\infty}\dfrac{t^{1/2}}{e^t} = 0
> $$
> enligt standardgränsvärdet, och av uddheten går $f(x)\to 0$ även då $x\to -\infty$. $f$ är kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter:
> $$
> \boxed{\text{asymptot } y = 0 \text{ då } x\to\pm\infty}
> $$
>
> **Derivata.**
> $$
> f'(x) = e^{-x^2} + x\cdot(-2x)e^{-x^2} = (1 - 2x^2)e^{-x^2} = -2\left(x - \dfrac{1}{\sqrt2}\right)\left(x + \dfrac{1}{\sqrt2}\right)e^{-x^2}
> $$
> med nollställen $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt2}$.
>
> | | $x < -\frac{1}{\sqrt2}$ | $-\frac{1}{\sqrt2}$ | $-\frac{1}{\sqrt2} < x < \frac{1}{\sqrt2}$ | $\frac{1}{\sqrt2}$ | $x > \frac{1}{\sqrt2}$ |
> |---|---|---|---|---|---|
> | $1 - 2x^2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $e^{-x^2}$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |
> | $f(x)$ | $\searrow$ | lok. min | $\nearrow$ | lok. max | $\searrow$ |
>
> Med $f\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt2}e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{2e}}\approx 0{,}429$:
> $$
> \boxed{\text{lok. max } f\!\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2e}}, \quad \text{lok. min } f\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt2}\right) = -\dfrac{1}{\sqrt{2e}}}
> $$
> Eftersom $f\to 0$ i båda ändarna är de också globala. $f$ är växande på $\left[-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2}\right]$ och avtagande på $\left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt2}\right]$ och $\left[\frac{1}{\sqrt2}, \infty\right)$.
>
> **Andraderivata.**
> $$
> f''(x) = -4xe^{-x^2} + (1 - 2x^2)(-2x)e^{-x^2} = (4x^3 - 6x)e^{-x^2} = 4x\left(x - \sqrt{\dfrac32}\right)\left(x + \sqrt{\dfrac32}\right)e^{-x^2}
> $$
> med nollställen $x = 0$ och $x = \pm\sqrt{3/2}\approx\pm 1{,}225$.
>
> | | $x < -\sqrt{\frac32}$ | $-\sqrt{\frac32}$ | $-\sqrt{\frac32} < x < 0$ | $0$ | $0 < x < \sqrt{\frac32}$ | $\sqrt{\frac32}$ | $x > \sqrt{\frac32}$ |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $4x$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $x - \sqrt{\frac32}$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $x + \sqrt{\frac32}$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
> | $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
> | $f(x)$ | konkav | infl. | konvex | infl. | konkav | infl. | konvex |
>
> $f''$ byter tecken i alla tre punkterna. Med $f\left(\pm\sqrt{3/2}\right) = \pm\sqrt{\dfrac32}\,e^{-3/2}\approx\pm 0{,}273$:
> $$
> \boxed{\text{inflexionspunkter } (0, 0) \text{ och } \left(\pm\sqrt{\dfrac32}, \pm\sqrt{\dfrac32}\,e^{-3/2}\right)}
> $$
> $f$ är konvex på $\left(-\sqrt{\frac32}, 0\right)$ och $\left(\sqrt{\frac32}, \infty\right)$ och konkav på $\left(-\infty, -\sqrt{\frac32}\right)$ och $\left(0, \sqrt{\frac32}\right)$.
>
> **Skiss.** Kurvan kommer in från $y = 0$ under $x$-axeln långt till vänster, sjunker till minimum $\left(-\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$, stiger genom origo (inflexionspunkt, lutning $1$) till maximum $\left(\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$ och avtar sedan mot $y = 0$ ovanför $x$-axeln.
>
> ![[tenta191030-uppgift5-kurva.png|520]]
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 6. Adiabatisk expansion

När luft expanderar adiabatiskt (dvs. utan värmeutbyte med omgivningen) uppfyller trycket $p$ och volymen $V$ sambandet
$$
pV^{\gamma} = C \ \text{(konstant)}, \quad \gamma = \dfrac75.
$$
Vid en viss tidpunkt är trycket 5 bar, volymen 28 dm³ och volymen ökande med hastigheten 2 dm³/s. Hur snabbt ändras trycket vid denna tidpunkt? *(5p)*

*Totalpoäng: 5*

> [!tip]- Ledtråd 1
> Relaterade hastigheter: [[Implicit derivering]] av ett samband med avseende på tiden.
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Se $p = p(t)$ och $V = V(t)$ som funktioner av tiden och derivera $pV^{\gamma} = C$ med produkt- och kedjeregeln.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > $p'V^{\gamma} + p\gamma V^{\gamma - 1}V' = 0$ ger $p' = -\gamma\dfrac{pV'}{V}$.

> [!note]- Lösning
> Med $p = p(t)$ och $V = V(t)$ ger derivering av $pV^{\gamma} = C$ med avseende på $t$:
> $$
> p'V^{\gamma} + p\cdot\gamma V^{\gamma - 1}V' = 0 \iff p' = -\dfrac{\gamma pV^{\gamma - 1}V'}{V^{\gamma}} = -\gamma\dfrac{pV'}{V}
> $$
> Vid tidpunkten är $p = 5$ bar, $V = 28$ dm³ och $V' = 2$ dm³/s:
> $$
> p' = -\dfrac75\cdot\dfrac{5\cdot 2}{28} = -\dfrac{14}{28} = -\dfrac12 \text{ bar/s}
> $$
> $$
> \boxed{\text{trycket minskar med } \dfrac12 \text{ bar/s}}
> $$
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[M0065M]]
- [[Matematisk induktion]]
- [[Talföljder och summor]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Oegentliga gränsvärden]]
- [[Polynom och faktorisering]]
- [[Arcusfunktioner]]
- [[Deriveringsregler]]
- [[Medelvärdessatsen]]
- [[Implicit derivering]]
- [[Extremvärden]]
- [[Grafritning och asymptoter]]
- [[Andraderivata och konvexitet]]