Elementära funktioners derivator

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata

---

Med deriveringsreglerna kan vi derivera sammansatta uttryck, men bara om vi redan känner derivatorna av byggstenarna: potenser, exponential- och logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner och deras inverser. Tabellen nedan är den listan. Varje rad kommer ur ett standardgränsvärde, och härledningarna visar vilket.

---

1. Tabell

Funktion	Derivata
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$1/x$
${\log }_{a}x$	$1/(x\ln a)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1/{\cos }^{2}x$
$\arcsin x$	$1/\sqrt{1-x^2}$
$\arccos x$	$-1/\sqrt{1-x^2}$
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$

Potensregeln $x^n\mapsto n{x}^{n-1}$ gäller för alla reella exponenter när $x>0$ (se avsnitt 2). De trigonometriska formlerna förutsätter att vinklar mäts i radianer.

---

2. Exponential- och logaritmfunktioner

Talet $e$ är den bas som gör att tangenten till $y=a^x$ i $x=0$ har lutningen $1$. Ur det följer hela raden av derivator för exponential- och logaritmfunktioner.

Härledning: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ och $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

För $f(x)=a^x$ är

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=a^x{f}^{\prime }(0).$$

Derivatan är alltså proportionell mot funktionen själv. För $a=e$ är $f^{\prime }(0)=1$ per definition, så $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. För andra baser skriver vi om $a^x=e^{x\ln a}$ och får med kedjeregeln

$$\frac{d}{dx}{a}^x=\frac{d}{dx}{e}^{x\ln a}=\ln a\cdot e^{x\ln a}=a^x\ln a.$$

Som biprodukt får vi standardgränsvärdena $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1$ och $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=\ln a$.

Härledning: $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$

Först standardgränsvärdet $\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+k)}{k}=1$: sätt $h=\ln (1+k)$, alltså $k=e^h-1$, och $h\to 0$ när $k\to 0$. Då är

$$\frac{\ln (1+k)}{k}=\frac{h}{e^h-1}\to 1.$$

För $x>0$ ger logaritmlagarna och substitutionen $k=h/x$

$$\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}=\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}=\frac{\ln (1+k)}{k}\cdot \frac{1}{x}\to \frac{1}{x}.$$

Eftersom ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ följer $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$. Samma resultat fås ur inversens derivata, eftersom $\ln$ är inversen till $e^x$.

Härledning: $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$ för reella $a$ och $x>0$

Skriv $x^a=e^{a\ln x}$. Kedjeregeln ger

$$\frac{d}{dx}{x}^a=\frac{a}{x}{e}^{a\ln x}=\frac{a}{x}{x}^a=a{x}^{a-1}.$$

---

3. Trigonometriska funktioner

Derivatorna av sinus och cosinus bygger på två standardgränsvärden (vinkeln i radianer):

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1,\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos h}{h}=0.$$

Härledning: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ och $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

Additionsformeln $\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ ger

$$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}-\sin x\cdot \frac{1-\cos h}{h}⟶\cos x\cdot 1-\sin x\cdot 0=\cos x.$$

På samma sätt ger $\cos (x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h$

$$\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}=-\sin x\cdot \frac{\sin h}{h}-\cos x\cdot \frac{1-\cos h}{h}⟶-\sin x.$$

Härledning: $(\tan x{)}^{\prime }$

Kvotregeln ger

$$\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.$$

Med trigonometriska ettan blir täljaren $1$; delar vi i stället upp bråket får vi $1+{\tan }^{2}x$. Båda formerna är användbara:

$$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x.$$

På samma sätt ger reciprocitetsregeln

$$\frac{d}{dx}\cot x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x},\frac{d}{dx}\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x},\frac{d}{dx}\frac{1}{\sin x}=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}.$$

---

4. Hyperboliska funktioner

För de hyperboliska funktionerna följer allt direkt ur $(e^{\pm x}{)}^{\prime }=\pm e^{\pm x}$:

$$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x,\frac{d}{dx}\tanh x=1-{\tanh }^{2}x.$$

Till exempel är $\frac{d}{dx}\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Lägg märke till att $\cosh$ saknar det minustecken som $\cos$ har.

---

5. Logaritmisk derivering

$$\boxed{\frac{d}{dx}\ln |f(x)|=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}},f(x)\ne 0.$$

För $f>0$ är det kedjeregeln; för $f<0$ är $\ln |f|=\ln (-f)$ och derivatan $\frac{-f^{\prime }}{-f}$, samma sak. Specialfallet $f(x)=x$ ger $(\ln |x|{)}^{\prime }=1/x$ för alla $x\ne 0$.

Formeln gör det möjligt att derivera variabel bas upphöjt till variabel exponent, där varken potens- eller exponentialregeln gäller. För $f>0$ ger $y=f^g$ att $\ln y=g\ln f$, och derivering av båda sidor ger

$$\frac{y^{\prime }}{y}=g^{\prime }\ln f+g\frac{f^{\prime }}{f}⟹y^{\prime }=\left(g^{\prime }\ln f+\frac{g{f}^{\prime }}{f}\right)f^g.$$

Exempel — derivatan av $5^{2x+1}$

Vi deriverar $y=5^{2x+1}$.

Lösning

Skriv om med $e$. $\ln y=(2x+1)\ln 5$, så $y=e^{(2x+1)\ln 5}$.

Kedjeregeln.

$$y^{\prime }=e^{(2x+1)\ln 5}\cdot 2\ln 5=\boxed{2\ln 5\cdot 5^{2x+1}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

6. Arcusfunktioner

Derivatorna av $\arcsin$, $\arccos$ och $\arctan$ i tabellen härleds med regeln för inversa funktioners derivata; se även Arcusfunktioner. De är algebraiska, trots att funktionerna själva är transcendenta, och därför dyker de upp som primitiva funktioner till rationella uttryck och rotuttryck.

Vanliga fel

• $(a^x{)}^{\prime }=x{a}^{x-1}$. Potensregeln gäller när exponenten är konstant. Med variabel exponent är det $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$.
• $(x^x{)}^{\prime }=x\cdot x^{x-1}$ eller $x^x\ln x$. Båda är fel; varken bas eller exponent är konstant. Skriv $x^x=e^{x\ln x}$ (eller derivera logaritmiskt).
• Grader i stället för radianer. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ bygger på $\sin h/h\to 1$, som bara gäller i radianer.
• Tappa inre derivatan i logaritmen. $(\ln (x^2+1){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$, inte $\frac{1}{x^2+1}$.

---

7. Lösta övningar

Föreläsning 19, exempel 2 — kritisk punkt för $x^x$

Vi bestämmer alla kritiska punkter till $f(x)=x^x$, $x>0$.

Lösning

Skriv om. $\ln y=x\ln x$, så $y=e^{x\ln x}$.

Derivera med kedje- och produktregeln:

$$f^{\prime }(x)=e^{x\ln x}\left(1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}\right)=x^x(1+\ln x).$$

Lös $f^{\prime }(x)=0$. $x^x>0$, så $f^{\prime }(x)=0⟺1+\ln x=0⟺\ln x=-1$:

$$\boxed{x=\frac{1}{e}}$$

Funktionsvärdet där är $f(1/e)=(1/e{)}^{1/e}=e^{-1/e}\approx 0,692$. Eftersom $f^{\prime }<0$ för $x<1/e$ och $f^{\prime }>0$ för $x>1/e$ är det ett minimum.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 19, exempel 5 — tangenter genom origo

Vi bestämmer de tangenter till kurvorna $y=e^x$ respektive $y=\ln x$ som går genom origo. Ingen av kurvorna går själv genom origo.

Lösning

$y=e^x$. Tangenten i $(a,e^a)$ är $y-e^a=e^a(x-a)$. Den går genom origo om

$$0-e^a=e^a(0-a)⟺e^a=a{e}^a⟺a=1,$$

så tangenten är $y-e=e(x-1)$, dvs $\boxed{y=ex}$.

$y=\ln x$. Tangenten i $(b,\ln b)$ är $y-\ln b=\frac{1}{b}(x-b)$. Den går genom origo om

$$0-\ln b=\frac{1}{b}(0-b)⟺\ln b=1⟺b=e,$$

så tangenten är $\boxed{y=\frac{x}{e}}$.

Rimlighetskoll. Kurvorna är varandras spegelbilder i $y=x$, och det är tangenterna också: $y=ex$ speglad blir $x=ey$, alltså $y=x/e$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 19, exempel 6 — trigonometrisk kvot

Vi beräknar $\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)$.

Lösning

Kvotregeln.

$$\frac{-\sin x(1+\sin x)-\cos x\cdot \cos x}{(1+\sin x{)}^2}=\frac{-\sin x-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{(1+\sin x{)}^2}.$$

Trigonometriska ettan gör täljaren till $-(1+\sin x)$, och en faktor förkortas bort:

$$\boxed{-\frac{1}{1+\sin x}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Läsning

• 2.5 Derivatives of Trigonometric Functions
• 3.3 The Natural Logarithm and Exponential Functions

Se även

• Deriveringsregler
• Arcusfunktioner
• Hyperboliska funktioner
• Inversa funktioners derivata
• Exponentialfunktioner och logaritmer