Väntevärde

Kurs: S0008M Förkunskaper: Sannolikhetsfunktion, Frekvensfunktion

---

Väntevärdet $E(\xi )$ är fördelningens tyngdpunkt — det värde vi i genomsnitt får i det långa loppet om försöket upprepas många gånger. Vi beräknar det som summan, eller integralen, av varje värde vägt med sin sannolikhet.

---

1. Definitionen

Väntevärdet betecknas $E(\xi )$ eller kort $\mu$.

Diskret stokastisk variabel, med sannolikhetsfunktionen $p_{\xi }(x)$:

$$\boxed{E(\xi )=\sum _{x}x{p}_{\xi }(x)}$$

Kontinuerlig stokastisk variabel, med frekvensfunktionen $f_{\xi }(x)$:

$$\boxed{E(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_{\xi }(x)dx}$$

Summan i det diskreta fallet blir en integral i det kontinuerliga — samma mönster som för sannolikheterna själva.

---

2. Två tolkningar

Långsiktigt medelvärde

Väntevärdet ska tolkas som det medelvärde vi får efter ett stort antal oberoende observationer av $\xi$. Gör vi $n$ observationer hamnar värdet $x$ ungefär $n{p}_{\xi }(x)$ gånger, så medelvärdet blir ungefär

$$\frac{1}{n}\sum _{x}x\cdot n{p}_{\xi }(x)=\sum _{x}x{p}_{\xi }(x)=E(\xi )$$

Masscentrum

Tänk på sannolikhetsfördelningen som en massfördelning på reella axeln, med massan $p_{\xi }(x)$ i punkten $x$. Då är $E(\xi )$ masscentrum, eller tyngdpunkten: punkten där stolpdiagrammet skulle balansera.

Masstolkningen gör det lätt att uppskatta väntevärdet direkt ur en skiss, och för symmetriska fördelningar ligger det i symmetripunkten.

Väntevärdet behöver inte vara ett möjligt värde

En tärning har $E(\xi )=3,5$, men ger aldrig $3,5$ prickar. Väntevärdet är inte heller samma sak som det mest sannolika värdet.

---

3. Väntevärdet av en funktion

Ska vi räkna väntevärdet av $g(\xi )$ behöver vi inte först ta fram fördelningen för $g(\xi )$. Det räcker att vikta $g(x)$ med $\xi$:s sannolikheter:

$$E(g(\xi ))=\sum _{x}g(x)p_{\xi }(x)\text{respektive}E(g(\xi ))={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f_{\xi }(x)dx$$

Med $g(x)=x^2$ ger det $E({\xi }^2)$, som behövs för variansen. Linjära funktioner, $E(a\xi +b)=aE(\xi )+b$, behandlas i Linjära funktioner av stokastiska variabler.

---

4. Kända fördelningar

Väntevärdena för de vanliga fördelningarna står i formelbladet och behöver inte räknas fram varje gång.

Fördelning	$E(\xi )$
$\text{Bin}(n,p)$	$np$
$\text{Hyp}(N,n,p)$	$np$
$\text{Po}(\lambda )$	$\lambda$
$\text{ffg}(p)$	$1/p$
rektangelfördelning på $[a,b]$	$(a+b)/2$
$\text{Exp}(\lambda )$	$1/\lambda$
$N(\mu ,\sigma )$	$\mu$

---

5. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 5, övning 3 — Vad betyder $\lambda =4$?

Antalet kunder $\xi$ som anländer till ett systembolag under en 3-minutersperiod är Poissonfördelat med $\lambda =4$. Parametern anger det förväntade antalet kunder per period: $E(\xi )=\lambda =4$. Hur kan tolkningen “medelvärdet efter ett stort antal oberoende observationer av $\xi$” motiveras utifrån definitionen av väntevärde? Tolka också väntevärdet som masscentrum.

Lösning

Långsiktigt medelvärde. Observerar vi $n$ oberoende 3-minutersperioder blir värdet $x$ ungefär $n{p}_{\xi }(x)$ gånger, eftersom den relativa frekvensen närmar sig sannolikheten. Medelvärdet av observationerna blir då ungefär

$$\frac{1}{n}\sum _{x}x\cdot n{p}_{\xi }(x)=\sum _{x}x{p}_{\xi }(x)=E(\xi )=4$$

Figuren visar det i en simulering: medelvärdet svänger kraftigt i början men lägger sig vid $4$ när antalet perioder växer.

Masscentrum. Lägg massan $p_{\xi }(x)$ i varje punkt $x$ på tallinjen. Stolpdiagrammet för $\text{Po}(4)$ balanserar i $x=4$ — till vänster ligger få värden nära, till höger fler värden men längre ut (se figuren i övning 1 under lektion 6 nedan).

Resonemangsuppgift — det finns inget facit att jämföra med.

Lektion 6, övning 1 — Kunder till systembolaget, igen

Antalet kunder som anländer till ett systembolag under en 3-minutersperiod är $\xi \in \text{Po}(4)$.

a) Skissa fördelningens utseende med ett stolpdiagram.

b) Ställ upp ett uttryck för det förväntade antalet kunder under en 3-minutersperiod, $E(\xi )$. Hur ska väntevärdet tolkas?

c) Använd formelsamlingen för att bestämma väntevärdet och variansen.

d) Vad innebär varians och standardavvikelse?

e) Bestäm det sannolikaste värdet för $\xi$ och jämför med väntevärdet.

Lösning

a)

b) Definitionen med Poissons sannolikhetsfunktion:

$$E(\xi )=\sum _{x=0}^{\infty }x\cdot \frac{4^x}{x!}{e}^{-4}$$

Tolkning: räknar vi kunder under väldigt många 3-minutersperioder blir medelantalet per period ungefär $E(\xi )$.

c) För $\text{Po}(\lambda )$ är både väntevärde och varians $\lambda$:

$$E(\xi )=\boxed{4},V(\xi )=\boxed{4},\sigma =\sqrt{4}=2$$

d) Variansen är den förväntade kvadratiska avvikelsen från väntevärdet, $V(\xi )=E((\xi -\mu {)}^2)$. Standardavvikelsen $\sigma =\sqrt{V(\xi )}$ har samma enhet som $\xi$ (här antal kunder) och mäter hur mycket $\xi$ i genomsnitt avviker från $\mu$.

e) Kvoten mellan två grannar är $\frac{p(x)}{p(x-1)}=\frac{4}{x}$. Den är större än $1$ för $x<4$ och lika med $1$ för $x=4$, så $p(3)=p(4)\approx 0,195$ är de största. De mest sannolika värdena är $\boxed{3\text{ och }4}$, och väntevärdet $4$ sammanfaller med det ena.

Facit: b) $E(\xi )={\sum }_{x=0}^{\infty }x\cdot 4^x{e}^{-4}/x!$, c) $E(\xi )=4$, $V(\xi )=4$, $\sigma =2$, e) de mest sannolika värdena är 3 och 4.

---

Se även

• Varians och standardavvikelse
• Sannolikhetsfunktion
• Frekvensfunktion
• Mest sannolika värde
• Linjära funktioner av stokastiska variabler

Resurser

• Khan Academy: Expected value
• Wikipedia: Väntevärde

---

← ffg-fördelning · S0008M · Varians och standardavvikelse →