---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Sannolikhetsfunktion]]"
  - "[[Frekvensfunktion]]"
status: utkast
aliases:
  - Förväntat värde
  - Populationsmedelvärde
  - E(ξ)
  - Expected value
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Sannolikhetsfunktion]], [[Frekvensfunktion]]

---

Väntevärdet $E(\xi)$ är fördelningens tyngdpunkt — det värde vi i genomsnitt får i det långa loppet om försöket upprepas många gånger. Vi beräknar det som summan, eller integralen, av varje värde vägt med sin sannolikhet.

---

## 1. Definitionen

Väntevärdet betecknas $E(\xi)$ eller kort $\mu$.

**Diskret** [[Stokastisk variabel|stokastisk variabel]], med [[Sannolikhetsfunktion|sannolikhetsfunktionen]] $p_\xi(x)$:

$$
\boxed{E(\xi) = \sum_{x} x\,p_\xi(x)}
$$

**Kontinuerlig** stokastisk variabel, med [[Frekvensfunktion|frekvensfunktionen]] $f_\xi(x)$:

$$
\boxed{E(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_\xi(x)\,dx}
$$

Summan i det diskreta fallet blir en integral i det kontinuerliga — samma mönster som för sannolikheterna själva.

---

## 2. Två tolkningar

> [!tip] Långsiktigt medelvärde
> Väntevärdet ska tolkas som det medelvärde vi får efter ett stort antal oberoende observationer av $\xi$. Gör vi $n$ observationer hamnar värdet $x$ ungefär $n\,p_\xi(x)$ gånger, så medelvärdet blir ungefär
> $$
> \dfrac{1}{n}\sum_x x\cdot n\,p_\xi(x) = \sum_x x\,p_\xi(x) = E(\xi)
> $$

> [!tip] Masscentrum
> Tänk på sannolikhetsfördelningen som en massfördelning på reella axeln, med massan $p_\xi(x)$ i punkten $x$. Då är $E(\xi)$ masscentrum, eller tyngdpunkten: punkten där stolpdiagrammet skulle balansera.

Masstolkningen gör det lätt att uppskatta väntevärdet direkt ur en skiss, och för symmetriska fördelningar ligger det i symmetripunkten.

> [!warning] Väntevärdet behöver inte vara ett möjligt värde
> En tärning har $E(\xi) = 3{,}5$, men ger aldrig $3{,}5$ prickar. Väntevärdet är inte heller samma sak som [[Mest sannolika värde|det mest sannolika värdet]].

---

## 3. Väntevärdet av en funktion

Ska vi räkna väntevärdet av $g(\xi)$ behöver vi inte först ta fram fördelningen för $g(\xi)$. Det räcker att vikta $g(x)$ med $\xi$:s sannolikheter:

$$
E\big(g(\xi)\big) = \sum_x g(x)\,p_\xi(x) \qquad\text{respektive}\qquad E\big(g(\xi)\big) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_\xi(x)\,dx
$$

Med $g(x) = x^2$ ger det $E(\xi^2)$, som behövs för [[Varians och standardavvikelse|variansen]]. Linjära funktioner, $E(a\xi + b) = aE(\xi) + b$, behandlas i [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]].

---

## 4. Kända fördelningar

Väntevärdena för de vanliga fördelningarna står i formelbladet och behöver inte räknas fram varje gång.

| Fördelning | $E(\xi)$ |
|---|---|
| $\text{Bin}(n,p)$ | $np$ |
| $\text{Hyp}(N,n,p)$ | $np$ |
| $\text{Po}(\lambda)$ | $\lambda$ |
| $\text{ffg}(p)$ | $1/p$ |
| rektangelfördelning på $[a,b]$ | $(a+b)/2$ |
| $\text{Exp}(\lambda)$ | $1/\lambda$ |
| $N(\mu,\sigma)$ | $\mu$ |

---

## 5. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 5, övning 3 — Vad betyder $\lambda = 4$?
> Antalet kunder $\xi$ som anländer till ett systembolag under en 3-minutersperiod är Poissonfördelat med $\lambda = 4$. Parametern anger det *förväntade* antalet kunder per period: $E(\xi) = \lambda = 4$. Hur kan tolkningen "medelvärdet efter ett stort antal oberoende observationer av $\xi$" motiveras utifrån definitionen av väntevärde? Tolka också väntevärdet som masscentrum.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Långsiktigt medelvärde.** Observerar vi $n$ oberoende 3-minutersperioder blir värdet $x$ ungefär $n\,p_\xi(x)$ gånger, eftersom den relativa frekvensen närmar sig sannolikheten. Medelvärdet av observationerna blir då ungefär
> > $$
> > \dfrac{1}{n}\sum_x x\cdot n\,p_\xi(x) = \sum_x x\,p_\xi(x) = E(\xi) = 4
> > $$
> > Figuren visar det i en simulering: medelvärdet svänger kraftigt i början men lägger sig vid $4$ när antalet perioder växer.
> >
> > ![[lek05-lopande-medelvarde.png|460]]
> >
> > **Masscentrum.** Lägg massan $p_\xi(x)$ i varje punkt $x$ på tallinjen. Stolpdiagrammet för $\text{Po}(4)$ balanserar i $x = 4$ — till vänster ligger få värden nära, till höger fler värden men längre ut (se figuren i övning 1 under lektion 6 nedan).
> >
> > *Resonemangsuppgift — det finns inget facit att jämföra med.*

> [!example]- Lektion 6, övning 1 — Kunder till systembolaget, igen
> Antalet kunder som anländer till ett systembolag under en 3-minutersperiod är $\xi\in\text{Po}(4)$.
>
> a) Skissa fördelningens utseende med ett stolpdiagram.
>
> b) Ställ upp ett uttryck för det förväntade antalet kunder under en 3-minutersperiod, $E(\xi)$. Hur ska väntevärdet tolkas?
>
> c) Använd formelsamlingen för att bestämma väntevärdet och variansen.
>
> d) Vad innebär varians och standardavvikelse?
>
> e) Bestäm det sannolikaste värdet för $\xi$ och jämför med väntevärdet.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)**
> >
> > ![[lek06-poisson4-vantevarde.png|480]]
> >
> > **b)** Definitionen med [[Poissonfördelning|Poissons]] sannolikhetsfunktion:
> > $$
> > E(\xi) = \sum_{x=0}^{\infty} x\cdot\dfrac{4^x}{x!}e^{-4}
> > $$
> > Tolkning: räknar vi kunder under väldigt många 3-minutersperioder blir medelantalet per period ungefär $E(\xi)$.
> >
> > **c)** För $\text{Po}(\lambda)$ är både väntevärde och varians $\lambda$:
> > $$
> > E(\xi) = \boxed{4}, \qquad V(\xi) = \boxed{4}, \qquad \sigma = \sqrt4 = 2
> > $$
> >
> > **d)** Variansen är den förväntade kvadratiska avvikelsen från väntevärdet, $V(\xi) = E\big((\xi-\mu)^2\big)$. Standardavvikelsen $\sigma = \sqrt{V(\xi)}$ har samma enhet som $\xi$ (här antal kunder) och mäter hur mycket $\xi$ i genomsnitt avviker från $\mu$.
> >
> > **e)** Kvoten mellan två grannar är $\dfrac{p(x)}{p(x-1)} = \dfrac{4}{x}$. Den är större än $1$ för $x < 4$ och lika med $1$ för $x = 4$, så $p(3) = p(4) \approx 0{,}195$ är de största. De mest sannolika värdena är $\boxed{3 \text{ och } 4}$, och väntevärdet $4$ sammanfaller med det ena.
> >
> > *Facit: b) $E(\xi) = \sum_{x=0}^\infty x\cdot 4^x e^{-4}/x!$, c) $E(\xi) = 4$, $V(\xi) = 4$, $\sigma = 2$, e) de mest sannolika värdena är 3 och 4.*

---

## Se även

- [[Varians och standardavvikelse]]
- [[Sannolikhetsfunktion]]
- [[Frekvensfunktion]]
- [[Mest sannolika värde]]
- [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]]

## Resurser

- [Khan Academy: Expected value](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library)
- [Wikipedia: Väntevärde](https://sv.wikipedia.org/wiki/V%C3%A4ntev%C3%A4rde)


---

← [[ffg-fördelning]] · [[S0008M]] · [[Varians och standardavvikelse]] →