Gränsvärden

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner

---

1. Grunddefinition

Vi skriver

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L}$$

om $f(x)$ kan göras godtyckligt nära $L$ genom att välja $x$ tillräckligt nära $a$, men med $x\ne a$.

Note

Gränsvärdet beror på hur funktionen beter sig nära punkten, inte nödvändigtvis på värdet $f(a)$.

Hävbar situation

För

$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

gäller för $x\ne 2$ att $f(x)=x+2$, så

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$

även om uttrycket inte är definierat i $x=2$.

---

2. Räkneregler

Om ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ och ${\lim }_{x\to a}g(x)=M$ gäller bland annat:

$$\underset{x\to a}{\lim }(f+g)=L+M,\underset{x\to a}{\lim }(fg)=LM$$

och

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\text{om }M\ne 0.$$

För kontinuerliga funktioner kan man ofta använda direkt insättning.

---

3. Ensidiga gränsvärden

De ensidiga gränsvärdena skrivs

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x),\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x).$$

Ett tvåsidigt gränsvärde existerar precis när båda ensidiga existerar och är lika:

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L}$$

När gränsvärdet inte finns

För $f(x)=\frac{|x|}{x}$ fås

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$$

så det tvåsidiga gränsvärdet existerar inte.

---

4. Standardgränsvärden

Följande är särskilt viktiga:

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$$ $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1}$$ $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1}$$ $$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e}$$

Typiskt användningsmönster

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3=3$$

---

5. Vanliga tekniker

Vanliga verktyg

• faktorisera och förkorta
• multiplicera med konjugat
• dela med högsta potens vid $x\to \infty$
• använd standardgränsvärden
• använd Taylors formel eller L’Hôpitals regel när kursen kommit dit

Instängningsregeln

Eftersom $-1\le \sin (1/x)\le 1$ gäller

$$-|x|\le x\sin (1/x)\le |x|.$$

Båda yttertermerna går mot $0$, alltså

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (1/x)=0.$$

---

6. Oegentliga gränsvärden och asymptoter

Om

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

har grafen ofta en vertikal asymptot $x=a$.

Om

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=L$$

har grafen en horisontell asymptot $y=L$.

---

Läsning

• 1.2 Limits of Functions
• 1.3 Limits at Infinity

Se även

• Kontinuitet
• Derivata
• Taylors formel

Resurser

• 3Blue1Brown: Limits
• Wikipedia: Limit of a function