Fördelningsfunktion

Kurs: S0008M Förkunskaper: Sannolikhetsfunktion

---

Fördelningsfunktionen anger sannolikheten att en stokastisk variabel är högst $x$, $F_{\xi }(x)=P(\xi \le x)$. Den är definierad för alla reella $x$, både för diskreta och kontinuerliga variabler, och växer från $0$ till $1$.

---

1. Definitionen

För en stokastisk variabel $\xi$ är fördelningsfunktionen

$$\boxed{F_{\xi }(x)=P(\xi \le x),-\infty <x<\infty }$$

Den beskriver samma fördelning som sannolikhetsfunktionen, men kumulativt: $F_{\xi }(x)$ är all massa som ligger till vänster om eller i punkten $x$.

---

2. Egenskaper

• $F_{\xi }$ är växande: flyttar vi $x$ åt höger kan massan till vänster bara öka.
• $F_{\xi }(x)\to 0$ när $x\to -\infty$ och $F_{\xi }(x)\to 1$ när $x\to \infty$.
• För en diskret variabel är $F_{\xi }$ en trappstegsfunktion som hoppar i varje möjligt värde $x$, och hoppet är lika stort som $P(\xi =x)$.

---

3. Mellan sannolikhetsfunktion och fördelningsfunktion

Från sannolikhetsfunktionen summerar vi:

$$F_{\xi }(x)=\sum _{k\le x}{p}_{\xi }(k)$$

Omvänt, för en variabel som bara antar heltal, är sannolikhetsfunktionen hoppen:

$$p_{\xi }(x)=F_{\xi }(x)-F_{\xi }(x-1)$$

Sannolikheter för intervall

$$P(a<\xi \le b)=F_{\xi }(b)-F_{\xi }(a)$$

Var noga med olikheterna när $\xi$ är diskret. För heltalsvärda $\xi$ är $P(\xi <k)=F_{\xi }(k-1)$, $P(\xi \ge k)=1-F_{\xi }(k-1)$ och $P(\xi >k)=1-F_{\xi }(k)$.

Tabellerna ger $F$, inte $p$

Binomial- och Poissontabellerna i kursboken är tabeller över fördelningsfunktionen. Enskilda sannolikheter får vi som skillnader, $P(\xi =x)=F(x)-F(x-1)$. Miniräknarens binomcdf och poissoncdf ger också $F$.

Vanliga fel

• $\le$ eller $<$ för diskreta variabler. $P(\xi <3)=F_{\xi }(2)$ för en heltalsvariabel, inte $F_{\xi }(3)$. För kontinuerliga variabler spelar det ingen roll.
• “Minst” blir komplement. $P(\xi \ge 3)=1-F_{\xi }(2)$ för heltal, inte $1-F_{\xi }(3)$.
• Tabellen ger $F$. Värdet i tabellen är den kumulativa sannolikheten; $P(\xi =k)$ får man som $F(k)-F(k-1)$.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 4, övning 5 — Tre jobb till en entreprenör

En entreprenör lägger anbud på tre olika jobb, $A$, $B$ och $C$. Sannolikheterna att få dem är $P(A)=0,5$, $P(B)=0,8$ och $P(C)=0,3$, oberoende av varandra. Låt $\xi$ = totala antalet jobb entreprenören får.

a) Vilka värden kan $\xi$ anta?

b) Bestäm sannolikhetsfunktionen och fördelningsfunktionen, och rita dem.

c) Beräkna $P(0<\xi \le 2)$.

Lösning

a) $\xi$ kan anta värdena $0,1,2,3$.

b) Varje värde är en union av disjunkta händelser, och varje snitt räknas med produktregeln för oberoende händelser:

$$\begin{array}{rl}p(0)& =P(A^c\cap B^c\cap C^c)=0,5\cdot 0,2\cdot 0,7=0,07\\ p(1)& =P(A\cap B^c\cap C^c)+P(A^c\cap B\cap C^c)+P(A^c\cap B^c\cap C)\\ & =0,5\cdot 0,2\cdot 0,7+0,5\cdot 0,8\cdot 0,7+0,5\cdot 0,2\cdot 0,3=0,38\\ p(2)& =P(A^c\cap B\cap C)+P(A\cap B^c\cap C)+P(A\cap B\cap C^c)\\ & =0,5\cdot 0,8\cdot 0,3+0,5\cdot 0,2\cdot 0,3+0,5\cdot 0,8\cdot 0,7=0,43\\ p(3)& =P(A\cap B\cap C)=0,5\cdot 0,8\cdot 0,3=0,12\end{array}$$

Summan är $1$. Fördelningsfunktionen fås genom att summera: $F(0)=0,07$, $F(1)=0,45$, $F(2)=0,88$, $F(3)=1$.

c)

$$P(0<\xi \le 2)=p(1)+p(2)=0,38+0,43=\boxed{0,81}$$

eller med fördelningsfunktionen, $F(2)-F(0)=0,88-0,07=0,81$.

Svar i boken (2:a uppl., 3.5): p = 0,07, 0,38, 0,43, 0,12; c) 0,81. Uppgiften är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och lösningen stämmer också med det.

---

Se även

• Sannolikhetsfunktion
• Stokastisk variabel
• Binomialfördelning
• Poissonfördelning
• Frekvensfunktion

Resurser

• Khan Academy: Random variables
• Wikipedia: Fördelningsfunktion

---

← Sannolikhetsfunktion · S0008M · Binomialfördelning →