---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - definition
förkunskaper:
  - "[[Sannolikhetsfunktion]]"
status: utkast
aliases:
  - Fördelningsfunktionen
  - Kumulativ fördelningsfunktion
  - F_ξ(x)
  - Sannolikhetsfördelning
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Sannolikhetsfunktion]]

---

Fördelningsfunktionen anger sannolikheten att en stokastisk variabel är högst $x$, $F_\xi(x) = P(\xi\le x)$. Den är definierad för alla reella $x$, både för diskreta och kontinuerliga variabler, och växer från $0$ till $1$.

---

## 1. Definitionen

För en [[Stokastisk variabel|stokastisk variabel]] $\xi$ är **fördelningsfunktionen**

$$
\boxed{F_\xi(x) = P(\xi\le x), \qquad -\infty < x < \infty}
$$

Den beskriver samma fördelning som [[Sannolikhetsfunktion|sannolikhetsfunktionen]], men kumulativt: $F_\xi(x)$ är all massa som ligger till vänster om eller i punkten $x$.

---

## 2. Egenskaper

- $F_\xi$ är **växande**: flyttar vi $x$ åt höger kan massan till vänster bara öka.
- $F_\xi(x)\to 0$ när $x\to-\infty$ och $F_\xi(x)\to 1$ när $x\to\infty$.
- För en diskret variabel är $F_\xi$ en **trappstegsfunktion** som hoppar i varje möjligt värde $x$, och hoppet är lika stort som $P(\xi = x)$.

---

## 3. Mellan sannolikhetsfunktion och fördelningsfunktion

Från sannolikhetsfunktionen summerar vi:

$$
F_\xi(x) = \sum_{k\le x} p_\xi(k)
$$

Omvänt, för en variabel som bara antar heltal, är sannolikhetsfunktionen hoppen:

$$
p_\xi(x) = F_\xi(x) - F_\xi(x-1)
$$

> [!important] Sannolikheter för intervall
> $$
> P(a < \xi \le b) = F_\xi(b) - F_\xi(a)
> $$
> Var noga med olikheterna när $\xi$ är diskret. För heltalsvärda $\xi$ är $P(\xi < k) = F_\xi(k-1)$, $P(\xi\ge k) = 1 - F_\xi(k-1)$ och $P(\xi > k) = 1 - F_\xi(k)$.

> [!tip] Tabellerna ger $F$, inte $p$
> Binomial- och Poissontabellerna i kursboken är tabeller över fördelningsfunktionen. Enskilda sannolikheter får vi som skillnader, $P(\xi = x) = F(x) - F(x-1)$. Miniräknarens `binomcdf` och `poissoncdf` ger också $F$.

> [!warning] Vanliga fel
> - **$\le$ eller $<$ för diskreta variabler.** $P(\xi < 3) = F_\xi(2)$ för en heltalsvariabel, inte $F_\xi(3)$. För kontinuerliga variabler spelar det ingen roll.
> - **"Minst" blir komplement.** $P(\xi\ge 3) = 1 - F_\xi(2)$ för heltal, inte $1 - F_\xi(3)$.
> - **Tabellen ger $F$.** Värdet i tabellen är den kumulativa sannolikheten; $P(\xi = k)$ får man som $F(k) - F(k-1)$.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 4, övning 5 — Tre jobb till en entreprenör
> En entreprenör lägger anbud på tre olika jobb, $A$, $B$ och $C$. Sannolikheterna att få dem är $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}8$ och $P(C) = 0{,}3$, oberoende av varandra. Låt $\xi$ = totala antalet jobb entreprenören får.
>
> a) Vilka värden kan $\xi$ anta?
>
> b) Bestäm sannolikhetsfunktionen och fördelningsfunktionen, och rita dem.
>
> c) Beräkna $P(0 < \xi\le 2)$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** $\xi$ kan anta värdena $0, 1, 2, 3$.
> >
> > **b)** Varje värde är en union av disjunkta händelser, och varje snitt räknas med produktregeln för [[Oberoende händelser|oberoende händelser]]:
> > $$
> > \begin{aligned}
> > p(0) &= P(A^c\cap B^c\cap C^c) = 0{,}5\cdot0{,}2\cdot0{,}7 = 0{,}07 \\
> > p(1) &= P(A\cap B^c\cap C^c) + P(A^c\cap B\cap C^c) + P(A^c\cap B^c\cap C) \\
> > &= 0{,}5\cdot0{,}2\cdot0{,}7 + 0{,}5\cdot0{,}8\cdot0{,}7 + 0{,}5\cdot0{,}2\cdot0{,}3 = 0{,}38 \\
> > p(2) &= P(A^c\cap B\cap C) + P(A\cap B^c\cap C) + P(A\cap B\cap C^c) \\
> > &= 0{,}5\cdot0{,}8\cdot0{,}3 + 0{,}5\cdot0{,}2\cdot0{,}3 + 0{,}5\cdot0{,}8\cdot0{,}7 = 0{,}43 \\
> > p(3) &= P(A\cap B\cap C) = 0{,}5\cdot0{,}8\cdot0{,}3 = 0{,}12
> > \end{aligned}
> > $$
> > Summan är $1$. Fördelningsfunktionen fås genom att summera: $F(0) = 0{,}07$, $F(1) = 0{,}45$, $F(2) = 0{,}88$, $F(3) = 1$.
> >
> > ![[jobb-sannolikhets-och-fordelningsfunktion.png|600]]
> >
> > **c)**
> > $$
> > P(0 < \xi\le 2) = p(1) + p(2) = 0{,}38 + 0{,}43 = \boxed{0{,}81}
> > $$
> > eller med fördelningsfunktionen, $F(2) - F(0) = 0{,}88 - 0{,}07 = 0{,}81$.
> >
> > *Svar i boken (2:a uppl., 3.5): p = 0,07, 0,38, 0,43, 0,12; c) 0,81. Uppgiften är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och lösningen stämmer också med det.*

---

## Se även

- [[Sannolikhetsfunktion]]
- [[Stokastisk variabel]]
- [[Binomialfördelning]]
- [[Poissonfördelning]]
- [[Frekvensfunktion]]

## Resurser

- [Khan Academy: Random variables](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library)
- [Wikipedia: Fördelningsfunktion](https://sv.wikipedia.org/wiki/F%C3%B6rdelningsfunktion)

---

← [[Sannolikhetsfunktion]] · [[S0008M]] · [[Binomialfördelning]] →