Binomialfördelning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Stokastisk variabel, Oberoende upprepningar

Binomialfördelningen räknar hur många av $n$ oberoende försök som lyckas, när varje försök lyckas med samma sannolikhet $p$ . Den är kursens vanligaste diskreta fördelning och grunden för både Poisson- och normalapproximationen.

1. Sannolikhetsfunktionen

Upprepa samma försök $n$ gånger, oberoende av varandra, där varje försök antingen lyckas (sannolikhet $p$ ) eller misslyckas. Låt $ξ$ vara antalet lyckade försök. Då är $ξ$ binomialfördelad, $ξ \in Bin (n, p)$ , med

P (ξ = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n

De tre faktorerna säger var sin sak:

$p^{k}$ — de $k$ försök som lyckas. Oberoende, alltså multiplicerat.
$(1 - p)^{n - k}$ — de $n - k$ som misslyckas.
$(k n)$ — antalet sätt att välja vilka av de $n$ försöken som är de lyckade. Utan den räknar vi bara en enda specifik ordningsföljd.

Fyra villkor måste hålla

Fixt $n$ — antalet försök bestäms i förväg, inte av utfallet.

Två utfall per försök — lyckat eller inte.

Samma $p$ i alla försök.

Oberoende försök.

Faller något av dem är det inte en binomialfördelning. Dragning utan återläggning bryter mot både 3 och 4.

2. Väntevärde och varians

E (ξ) = n p, V (ξ) = n p (1 - p)

Båda följer direkt ur att $ξ$ är en summa av $n$ oberoende Bernoullivariabler $ξ = η_{1} + \dots + η_{n}$ , där varje $η_{i}$ är $1$ vid lyckat försök och $0$ annars. Eftersom $E (η_{i}) = p$ och $V (η_{i}) = p (1 - p)$ ger väntevärdets linjäritet och variansens additivitet vid oberoende resultatet med $n$ termer.

Variansen är som störst vid $p = 1/2$ och krymper mot noll när $p$ närmar sig $0$ eller $1$ — vilket är rimligt, för då är utfallet nästan givet på förhand.

Exempel — exakt två sexor på fem tärningskast

Vi kastar en rättvis sexsidig tärning fem gånger. Vad är sannolikheten att exakt två av kasten ger en sexa?

Lösning

Setup. “Lyckat” = sexa, alltså $p = \frac{1}{6}$ , $n = 5$ , och vi söker $k = 2$ . Kasten är oberoende och $p$ är densamma i alla, så $ξ \in Bin (5, \frac{1}{6})$ .

Räkningen.

$P (ξ = 2) = (2 5) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{3} = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{625}{3888} \approx 0, 161$

Rimlighetskoll. Väntevärdet är $E (ξ) = 5 \cdot \frac{1}{6} \approx 0, 83$ sexor. Två sexor ligger alltså över det förväntade men bara drygt en standardavvikelse bort, eftersom $σ = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \approx 0, 83$ . Att det landar på ungefär $16 %$ är därför rimligt — ovanligt, men långt ifrån osannolikt.

På räknaren. binomPdf(5,1/6,2).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Till vänster syns tärningsexemplet: massan ligger vid $k = 0$ och $k = 1$ , precis som väntevärdet $0, 83$ antyder. Till höger flyttar $p$ tyngdpunkten i sidled, och staplarna är som bredast vid $p = 1/2$ — samma sak som att variansen $n p (1 - p)$ maximeras där.

3. Släktingar och gränsfall

Binomialfördelningen sitter mitt i ett nät av andra fördelningar, och det är ofta enklare att räkna med grannarna:

Situation	Vad som händer
$n = 1$	Fördelningen reduceras till en Bernoullifördelning $Be (p)$
$p \leq 0, 1$ och $n \geq 10$	Poissonapproximation $Po (n p)$
$n p (1 - p) \geq 10$	Normalapproximation $N (n p, n p (1 - p))$ — se normalfördelningen
Dragning utan återläggning	Hypergeometrisk fördelning i stället — försöken är inte oberoende

Beteckning

Kursen skriver $ξ \in Bin (n, p)$ med $\in$ , som Vännman. I annan litteratur är $ξ \sim Bin (n, p)$ vanligare.

Varför normalapproximationen dyker upp

Eftersom $ξ$ är en summa av många oberoende likafördelade termer är centrala gränsvärdessatsen tillämplig. Det är samma mekanism som gör normalfördelningen till standardsvar överallt annars.

Vanliga fel

Dragning utan återläggning är inte binomisk. Ändras sannolikheten mellan försöken är det hypergeometrisk fördelning.

Glömma binomialkoefficienten. $P (ξ = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; utan $(k n)$ får man sannolikheten för en bestämd ordning.

Fel gräns i binomCdf. binomCdf(n,p,a,b) ger $P (a \leq ξ \leq b)$ med båda gränserna inräknade; “fler än 3” börjar på $4$ .

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 4, övning 1 och 3 — Samtidiga databassökningar

I ett rum står 5 datorer uppkopplade mot en server. Under $20 %$ av tiden gör var och en sökningar i en databas, oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att det vid en given tidpunkt pågår

a) exakt 2 sökningar samtidigt,

b) minst 2 sökningar samtidigt?

Vilken fördelning har $ξ$ = antalet samtidiga sökningar, och med vilka parametrar?

Lösning

Modell. Fem oberoende datorer, var och en söker med sannolikheten $0, 2$ . Antalet som söker är därför binomialfördelat: $ξ \in Bin (5, 0, 2)$ , med parametrarna $n = 5$ och $p = 0, 2$ .

a)

$P (ξ = 2) = (2 5) 0, 2^{2} 0, 8^{3} = 10 \cdot 0, 04 \cdot 0, 512 = 0, 2048$

b) Via komplementet “högst 1”:

$P (ξ \geq 2) = 1 - P (ξ = 0) - P (ξ = 1) = 1 - 0, 8^{5} - 5 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{4} = 1 - 0, 32768 - 0, 4096 = 0, 2627$

På räknaren. binomPdf(5,0.2,2) respektive binomCdf(5,0.2,2,5).

Facit: a) 0,2048, b) 0,2627; $ξ \in Bin (5, 0, 2)$ .

Lektion 4, övning 10 — Slumpvandring

En partikel utför slumpvandring på heltalen: den startar på talet 0 och hoppar varje sekund ett steg, i negativ eller positiv riktning med sannolikheten $0, 5$ vardera. Vad är sannolikheten att partikeln efter 10 sekunder befinner sig på talet 2?

Lösning

Översätt till antal steg. Låt $η$ = antal steg i positiv riktning av de 10. Positionen efter 10 steg är $η - (10 - η) = 2 η - 10$ . Att hamna på $2$ betyder $2 η - 10 = 2$ , alltså $η = 6$ .

Fördelning. Stegen är oberoende med samma sannolikhet $0, 5$ för positivt steg, så $η \in Bin (10, 0, 5)$ .

$P (η = 6) = (6 10) 0, 5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0, 205$

Rimlighetskoll. Paritet: efter ett jämnt antal steg står partikeln alltid på ett jämnt tal, så talet 2 är nåbart. Ett udda tal hade gett sannolikheten $0$ .

Facit: 0,205.

Se även

Resurser

3Blue1Brown: Binomial distributions — bygger upp fördelningen från grunden, med bra intuition för binomialkoefficienten
Khan Academy: Binomial random variables
Wikipedia: Binomialfördelning

← Fördelningsfunktion · S0008M · Hypergeometrisk fördelning →

Pelles Moln

Utforskare

1. Sannolikhetsfunktionen

2. Väntevärde och varians

3. Släktingar och gränsfall

4. Lösta lektionsuppgifter

Se även

Resurser

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar