F0005T-2026-03-20

Kurs: F0005T — Fysik 2 Datum: 2026-03-20 Examinator: Erik Olsson Källa: originaltentamen · lärarens lösningar (lösningsfilens rubrik säger 2025-10-30, men innehållet är den här tentan) Hjälpmedel: miniräknare och Fysika. 6 uppgifter, 18 poäng; betyg 3 vid 9 p, 4 vid 12,5 p och 5 vid 15,5 p.

Översikt

VÅG (uppgift 1–3):

• en våg avbildad vid två tidpunkter: fart, tid mellan bilderna och faskonstant (1), samma uppgift som augusti 2026 uppgift 1
• tre högtalare i rad: utsläckning med visardiagram (2), samma uppställning som augusti 2026 uppgift 2
• reflektion av polariserat laserljus mot glas: Fresnels formler (3)

MOF (uppgift 4–6):

• solpaneler till en rymdstation vid Mars (4)
• comptonspridning: största förskjutningen, spridningsvinkel och elektronens rörelseenergi (5)
• $K_{\alpha }$-strålning från koppar och konstanten i Moseleys lag ur Bohrs modell (6)

Så använder du sidan

Försök själv först, med Fysika framme som på tentan. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är och var den står i Fysika, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget eller fällan. Lösning är lärarens lösning med förklaringar mellan stegen; varje formel och tabellvärde har sin Fysika-kod. Där läraren bara gett svaret (seminarieuppgifter) är lösningsgången egen och svaret kontrollerat mot lärarens. Figurerna är interaktiva: håll muspekaren över kurvorna för exakta värden, och dra i reglagen där sådana finns.

---

1. En våg vid två tidpunkter

En propagerande våg är avbildad vid två olika tidpunkter, $t_1$ och $t_2$ där $t_2>t_1$. Tiden mellan bilderna är mindre än 1 periodtid. Vid den första tidpunkten är en punkt vid $x=7\text{cm}$ på väg i positiv $y$-riktning. Den maximala partikelhastigheten är $3,142\text{m/s}$.

a) Vilken hastighet har vågen? (1p)

b) Hur lång tid har det gått mellan bilderna? (1p)

c) Låt den första bilden av vågen vara vid $t=0$, bestäm faskonstanten om vågen beskrivs med en sin-funktion. (1p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Harmonisk våg, Fashastighet och partikelhastighet och Fas och faskonstant. Fysika: Fc1 (harmonisk våg, $v=f\lambda$, partikelhastighet $v_p=ds/dt$).

Ledtråd 2

Läs av amplituden $A$ och våglängden $\lambda$ i figuren. Partikelhastigheten är derivatan av $y$ med avseende på $t$, och dess största värde är $\omega A$. Det ger $f$, och sedan $v=f\lambda$.

Ledtråd 3

Riktningen avgör vilken förskjutning som gäller mellan bilderna: ett steg framåt eller bakåt. Punkten vid $x=7\text{cm}$ ligger på en nedåtgående sluttning och rör sig uppåt; åt vilket håll måste vågformen då flytta sig? Med “mindre än 1 periodtid” finns bara en möjlig förskjutning. För c: sätt in en dal, där $\sin =-1$.

Lösning

Samma uppgift som augusti 2026 uppgift 1.

a) Ur figuren: amplituden är $A=1,0\text{cm}$ och våglängden $\lambda =12\text{cm}$ (topparna ligger vid $x=4$ och $16\text{cm}$). Partikelhastigheten $v_p=\partial y/\partial t$ har amplituden $\omega A$:

$$v_{\max }=\omega A\Rightarrow f=\frac{v_{\max }}{2\pi A}=\frac{3,142}{2\pi \cdot 0,01}=50\text{Hz}$$

Fysika: Fc1 (partikelhastighet $v_p=ds/dt$, $\omega =2\pi f$)

Vågens hastighet är alltså

$$v=\lambda f=0,12\cdot 50=6,0\text{m/s}$$

Fysika: Fc1 ($v=f\cdot \lambda$)

Svar: $\boxed{v=6,0\text{m/s}}$

b) Vid $t_1$ ligger $x=7\text{cm}$ mellan toppen vid $4\text{cm}$ och dalen vid $10\text{cm}$, på en sluttning som går nedåt. Att punkten ändå rör sig uppåt betyder att toppen bakom den är på väg fram, alltså att vågen propagerar i positiv $x$-riktning. Den streckade kurvan $t_2$ har sin topp vid $8\text{cm}$, så vågen har flyttat sig $\Delta x=4,0\text{cm}$ (den andra möjligheten, $-8\text{cm}$, går åt fel håll):

$$\Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{0,04}{6,0}=6,7\text{ms}$$

Svar: $\boxed{\Delta t\approx 6,7\text{ms}}$ (en tredjedels period, $T=20\text{ms}$).

c) Vågen i $+x$-riktning skrivs

$$y=A\sin (kx-\omega t+\alpha )$$

Fysika: Fc1 (propagerande harmonisk våg; Fysika använder cos och $\omega t\pm kx$, vilket bara ändrar faskonstantens värde)

Vid $t=0$ ligger en dal vid $x=10\text{cm}$, där $\sin (\dots )=-1$:

$$kx+\alpha =\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \alpha =\frac{3\pi }{2}-\frac{2\pi }{12}\cdot 10=-\frac{\pi }{6}$$

Kontroll: $y(0,0)=\sin (-\pi /6)=-0,5\text{cm}$, som i figuren.

Svar: $\boxed{\alpha =-\frac{\pi }{6}}$ (eller $\frac{11\pi }{6}$ om man vill ha ett värde mellan $0$ och $2\pi$).

Dra i reglaget: vågen vandrar åt höger och punkten vid $x=7\text{cm}$ går uppåt. Efter $6,67\text{ms}$ ligger den blå kurvan exakt på bild $t_2$.

Kontrollerat mot facit. Lärarens svarsrad i b anger $6,7\mu \text{s}$, men uträkningen $0,04/6,0$ ger $6,7\text{ms}$; enheten i svarsraden är ett skrivfel.

---

2. Tre högtalare längs $x$-axeln

Tre högtalare är placerade längs $x$-axeln enligt figuren. I en punkt $P$ är ljudnivån från högtalare $a$ $6,02\text{dB}$ högre än ljudnivån från högtalare $b$. Sträckan $s_1$ är $50,0\text{mm}$. Våglängden för ljudet från högtalarna är $200,0\text{mm}$ och alla högtalarna är kopplade till samma tongenerator. Om ljudnivån ska vara $0\text{dB}$ i punkten $P$, hur lång är då sträckan $s_2$ och vad blir kvoten mellan ljudintensiteterna $I_a/I_c$?

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Ljudintensitet och ljudnivå och Superposition av vågor med visare. Fysika: Fc2 (ljudintensitetsnivå, $I\propto a^2$) och Fc1a (superposition av vågor).

Ledtråd 2

$\Delta L=10\log (I_a/I_b)$ ger intensitetskvoten, och eftersom $I\propto a^2$ blir amplitudkvoten roten ur den. Vågen från $b$ går sträckan $s_1$ längre än vågen från $a$, så den ligger efter i fas med $k{s}_1$. Rita $a$ och $b$ som visare och addera.

Ledtråd 3

$0\text{dB}$ är $10^{-12}{\text{W/m}}^2$, i praktiken total utsläckning: visaren $c$ måste vara exakt lika lång som $a+b$ och peka rakt mot den. $k{s}_1=\pi /2$, så $a$ och $b$ står vinkelrätt mot varandra.

Lösning

Samma uppställning och siffror som augusti 2026 uppgift 2, där frågan är uppdelad i tre deluppgifter.

Vi bestämmer först fasskillnaden mellan våg $a$ och $b$. Vågen från $b$ har gått $s_1$ längre till $P$:

$$\Delta {\beta }_{ba}=k{s}_1=\frac{2\pi }{200}\cdot 50=\frac{\pi }{2}$$

Fysika: Fc1 ($k=2\pi /\lambda$)

Förhållandet mellan intensiteterna för våg $a$ och $b$:

$$\begin{array}{rl}10\log \frac{I_a}{I_0}-10\log \frac{I_b}{I_0}& =6,02\text{dB}\\ \Rightarrow \log \frac{I_a}{I_b}=0,602\Rightarrow \frac{I_a}{I_b}& =10^{0,602}=3,999\end{array}$$

Fysika: Fc2 (ljudintensitetsnivå $L_I=10\log (I/I_0)$)

Intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat, så amplituden för våg $a$ är dubbelt så stor som för våg $b$.

Fysika: Fc2 (intensitet $I=\frac{1}{2}\rho v{\omega }^2{a}^2$)

Vi ritar vågorna som visare i komplexa talplanet: $a$ (längd 2) och $b$ (längd 1) står vinkelrätt mot varandra, och summan $a+b$ bildar vinkeln $\theta$ mot $a$:

$$\theta ={\tan }^{-1}\frac{b}{a}={\tan }^{-1}\frac{1}{2}=26,57^{\circ }$$

Fysika: Fc1a (superposition av vågor)

För utsläckning ska $c$ peka rakt mot $a+b$. Den önskade fasskillnaden mellan våg $c$ och $b$ är då

$$\begin{array}{rl}\Delta {\beta }_{cb}& =90^{\circ }+\theta =116,57^{\circ }=2,0344\text{rad}\\ \Rightarrow s_2& =\frac{\Delta {\beta }_{cb}}{k}=\frac{2,0344\cdot 200}{2\pi }=64,76\text{mm}\end{array}$$

Visaren $c$ måste dessutom vara lika lång som $a+b$. Eftersom $a$ och $b$ är vinkelräta adderas deras intensiteter:

$$I_c=I_a+I_b=I_a+\frac{1}{4}{I}_a=\frac{5}{4}{I}_a$$

Ljudnivån $0\text{dB}$ betyder $I=I_0=10^{-12}{\text{W/m}}^2$, i praktiken ingenting jämfört med högtalarnas ljud. Visaren $c$ måste alltså ta ut $a+b$ helt, och eftersom $a$ och $b$ är vinkelräta blir $I_c=I_a+I_b=\frac{5}{4}{I}_a$.

Svar: $\boxed{s_2\approx 64,8\text{mm}}$ och $\boxed{I_a/I_c=4/5}$

Dra i reglaget för $s_2$. Summan $|a+b+c{|}^2$, som är proportionell mot intensiteten i $P$, blir noll vid $64,8\text{mm}$:

Kontrollerat mot facit.

---

3. Laserstråle mot en glasyta

En laserstråle träffar en glasyta, med brytningsindex $1,55$, vid infallsvinkeln $35^{\circ }$. Laserstrålens polarisationsriktning bildar vinkeln $60^{\circ }$ med infallsplanets normal.

a) Beräkna reflektionskoefficenterna för sagittalt och parallellt polariserat ljus. (1p)

b) Hur stor andel av laserstrålen reflekteras från glasytan? (2p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Fresnels formler och Polarisation. Fysika: Fc3 (Fresnels formler, reflekterad intensitet) och Fc6a (brytningslagen).

Ledtråd 2

Snells lag ger brytningsvinkeln $b$, och sedan $R_{\perp }={\sin }^2(i-b)/{\sin }^2(i+b)$ och $R_{\parallel }={\tan }^2(i-b)/{\tan }^2(i+b)$. Dela upp laserljuset i en s-del och en p-del och reflektera dem var för sig: $I_r=R_{\perp }{I}_{\perp }+R_{\parallel }{I}_{\parallel }$.

Ledtråd 3

Infallsplanets normal är s-riktningen. Vinkeln $60^{\circ }$ mot den ger $I_s=I_0{\cos }^{2}60^{\circ }$ och $I_p=I_0{\sin }^{2}60^{\circ }$, inte tvärtom.

Lösning

a) Vi bestämmer brytningsvinkeln utifrån Snells lag:

$$\sin i=n\sin b\Rightarrow b={\sin }^{-1}\left(\frac{\sin i}{n}\right)=21,7187^{\circ }$$

Fysika: Fc6a (brytningslagen)

Reflektionskoefficienterna:

$$\begin{array}{rl}{R}_s& =\frac{{\sin }^2(i-b)}{{\sin }^2(i+b)}=0,0755\\ R_p& =\frac{{\tan }^2(i-b)}{{\tan }^2(i+b)}=0,0240\end{array}$$

Fysika: Fc3 (Fresnels formler för reflekterat ljus)

Svar: $\boxed{R_s\approx 0,076}$ och $\boxed{R_p\approx 0,024}$

b) Vi delar upp det infallande ljuset i s- och p-komposanter. Polarisationen bildar $\beta =60^{\circ }$ med infallsplanets normal, som är s-riktningen:

$$I_s=I_0{\cos }^2\beta ,I_p=I_0{\sin }^2\beta$$

Fysika: Fc3 (Malus lag, $I=I_0{\cos }^2\theta$, för varje komposant)

Det reflekterade ljuset får då intensiteten

$$\begin{array}{rl}{I}_r& =R_p{I}_p+R_s{I}_s=R_p{I}_0{\sin }^2\beta +R_s{I}_0{\cos }^2\beta \\ & =\left(0,0240\cdot {\sin }^{2}60^{\circ }+0,0755\cdot {\cos }^{2}60^{\circ }\right)I_0\\ & =0,0369I_0\end{array}$$

Fysika: Fc3 (reflekterad intensitet $I_r=R_{\parallel }{I}_{i\parallel }+R_{\perp }{I}_{i\perp }$)

Svar: $\boxed{3,7\%}$

Kontrollerat mot facit.

---

4. Solpaneler vid Mars

En rymdstation ska placeras i omloppsbana runt Mars. Stationens energibehov är $250\text{kW}$. Moderna solpaneler med verkningsgraden $30\%$ används för att förse stationen med elektrisk energi. Hur stor area solpaneler krävs för att tillgodose stationens energibehov? Nödvändiga naturkonstanter och astronomiska data finns i formelsamlingen.

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Svartkroppsstrålning och Stefan-Boltzmanns lag. Fysika: Fd4, Te ($\sigma$); solens temperatur i T j2, solens radie och Mars banradie i T j1.

Ledtråd 2

Solens effekt är $P_s=\sigma T^4\cdot 4\pi R^2$. Vid Mars är den utspridd över en sfär med radien $d$: $I=P_s/(4\pi d^2)$. Panelerna ger $P=\eta IA$.

Ledtråd 3

Använd Mars banradie (avståndet till solen), inte Mars radie. Verkningsgraden gör att panelen måste fånga mer än $250\text{kW}$ solljus: dela med $\eta$.

Lösning

Indata ur Fysika: $\sigma =5,67\cdot 10^{-8}{\text{W/(m}}^2{\text{K}}^4)$, solens yttemperatur $T=5778\text{K}$, solens radie $R=6,96\cdot 10^8\text{m}$ och avståndet sol–Mars $d=2,28\cdot 10^{11}\text{m}$.

Fysika: Te ($\sigma$), T j2 (solens effektiva yttemperatur), T j1 (solens radie, Mars banradie)

Solen utstrålar effekten

$$P_s=4\pi R^2\sigma T^4=3,8472\cdot 10^{26}\text{W}$$

Fysika: Fd4 (Stefan-Boltzmanns lag, $I=\sigma T^4$)

Vid Mars har den strålningen intensiteten

$$I=\frac{P_s}{4\pi d^2}=588,94{\text{W/m}}^2$$

Fysika: Fc2 (intensitet $I=P/(4\pi r^2)$ för en sfärisk våg)

Ytan solpaneler som behövs blir då

$$A=\frac{P}{I\eta }=\frac{2,50\cdot 10^5}{588,94\cdot 0,30}=1414{\text{m}}^2$$

Svar: $\boxed{A\approx 1,4\cdot 10^3{\text{m}}^2}$

Genväg via tabellen

Fysika T j2 ger också solens totalt utstrålade effekt, $3,846\cdot 10^{26}\text{W}$, så temperaturen och radien behövs egentligen inte. Svaret blir detsamma, $1415{\text{m}}^2$.

Kontrollerat mot facit.

---

5. Comptonspridning

Ekvationen nedan används för att beskriva hur högfrekvent elektromagnetisk strålning sprids mot en fri elektron.

$${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$$

a) Beskrivs den elektromagnetiska strålningen som en våg eller som partiklar enligt denna ekvation? Motivera ditt svar. (0,5p)

b) Vilken är den största möjliga förändringen i våglängd vid spridning mot en fri elektron? (0,5p)

En foton med våglängden $50,0\text{pm}$ sprids mot en stillastående elektron och har efteråt våglängden $53,6\text{pm}$.

c) I vilken riktning rör sig fotonen efter stöt relativt riktningen innan stöt? (1p)

d) Vilken rörelseenergi får elektronen efter stöt? (1p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Comptonspridning och Fotonen. Fysika: Fd3 (comptonspridning, fotonenergi) och Te (elektronens comptonvåglängd $h/(m_{e}c)$).

Ledtråd 2

Formeln härleds ur en stöt där rörelsemängd och energi bevaras. $1-\cos \theta$ är som störst när $\cos \theta =-1$. I c löser du ut $\cos \theta$ ur formeln; i d bevaras energin, så elektronen får det fotonen förlorat.

Ledtråd 3

$h/(m_{e}c)$ står färdigt i Te som comptonvåglängden, $2,426\text{pm}$, så $\Delta {\lambda }_{\max }$ är bara dubbla den. I d: skillnaden mellan två fotonenergier $hc/\lambda$, inte $hc/\Delta \lambda$.

Lösning

a) Strålningen beskrivs som partiklar. Ekvationen härleds genom att behandla spridningen som en stöt mellan två partiklar, fotonen och elektronen, där rörelsemängd och energi bevaras.

b) Högerledet i ekvationen är störst när $\theta =180^{\circ }$, där $1-\cos \theta =2$:

$$\Delta {\lambda }_{\max }=\frac{2h}{m_{e}c}=2\cdot 2,4263\text{pm}=4,853\text{pm}$$

Fysika: Fd3 (comptonspridning), Te (elektronens comptonvåglängd ${\lambda }_C=h/(m_{e}c)=2,4263\cdot 10^{-12}\text{m}$)

Svar: $\boxed{\Delta {\lambda }_{\max }\approx 4,85\text{pm}}$, när fotonen studsar rakt tillbaka.

c) Vi löser ut spridningsvinkeln:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^{\prime }-\lambda & =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta )\\ \Rightarrow \theta & ={\cos }^{-1}\left(1-\frac{m_{e}c}{h}({\lambda }^{\prime }-\lambda )\right)=118,9^{\circ }\end{array}$$

Fysika: Fd3 (comptonspridning)

Svar: fotonen rör sig $\boxed{\theta \approx 119^{\circ }}$ från sin ursprungliga riktning, alltså snett bakåt.

d) Energin bevaras, så elektronen får den energi fotonen förlorar:

$$\begin{array}{rl}{E}_{f1}=E_{f2}+K_e\Rightarrow K_e& =\frac{hc}{{\lambda }_1}-\frac{hc}{{\lambda }_2}\\ & =2,668\cdot 10^{-16}\text{J}=1,666\text{keV}\end{array}$$

Fysika: Fd3 (fotonenergi $E=hc/\lambda$), Te ($h$, $c$, $e$)

Svar: $\boxed{K_e\approx 1,67\text{keV}}$

Kontrollerat mot facit. Lärarens svar i b är $4,901\text{pm}$, men uträkningen använder elektronmassan $9,019\cdot 10^{-31}\text{kg}$ i stället för $9,109\cdot 10^{-31}\text{kg}$; med rätt massa blir $\Delta {\lambda }_{\max }=4,853\text{pm}$. Svaren i c och d stämmer.

---

6. Koppar och Moseleys lag

a) Vilken minsta spänning måste elektronerna accelereras genom för att kunna ge upphov till $K_{\alpha }$ strålning från koppar? (0,5p)

b) Om elektronerna accelereras genom den spänning du angav i uppgift a, vilken är den kortaste våglängd som bromsstrålningen kan ha? (0,5p)

c) I Fysika finns följande ekvation för beräkning av våglängden för $K_{\alpha }$-strålning

$${\lambda }^{-1}=a(Z-1{)}^2$$

Beräkna värdet på konstanten $a$ utifrån Bohrs modell för väteliknande system. (2p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Röntgenstrålning, Bromsstrålning och Moseleys lag, med Väteliknande system. Fysika: T k1 (kopparns bindningsenergier), Fd3 (${\lambda }_{\min }$, energinivåer för väteliknande system, Moseleys lag) och Te ($E_H$, $hc$).

Ledtråd 2

$K_{\alpha }$ kräver ett hål i $K$-skalet, så elektronerna måste ha minst $K$-skalets bindningsenergi. ${\lambda }_{\min }=hc/(eU)$. I c är $K_{\alpha }$ övergången $n=2\to n=1$ i ett väteliknande system.

Ledtråd 3

Elektronen som faller från $L$-skalet ser inte hela kärnladdningen $Ze$: den kvarvarande elektronen i $K$-skalet skärmar av en laddning, så den effektiva laddningen är $(Z-1)e$. Det är därför $(Z-1{)}^2$ står i Moseleys lag.

Lösning

a) Kopparns bindningsenergi i $K$-skalet är $8979\text{eV}$. Elektronerna måste ha minst så mycket rörelseenergi, $eU\ge E_K$.

Fysika: T k1 (Cu: $K=8979\text{eV}$)

Svar: $\boxed{U=8979\text{V}}$

b) Kortaste våglängden får man när hela rörelseenergin går till en enda foton:

$${\lambda }_{\min }=\frac{hc}{eU}=138,1\text{pm}$$

Fysika: Fd3 (gränsvåglängd för kontinuerlig röntgenstrålning)

Svar: $\boxed{{\lambda }_{\min }\approx 138,1\text{pm}}$

c) Fotonens energi motsvarar övergången mellan $n=2$ och $n=1$. Energinivåerna ges av ett väteliknande system där elektronen i $L$-skalet ser nettoladdningen $(Z-1)e$ innanför sin orbital:

$$\begin{array}{rl}\frac{hc}{\lambda }& =-E_H\left(\frac{(Z-1{)}^2}{2^2}-\frac{(Z-1{)}^2}{1^2}\right)=\frac{3}{4}{E}_H(Z-1{)}^2\\ \Rightarrow {\lambda }^{-1}& =\frac{3}{4}\frac{E_H}{hc}(Z-1{)}^2\end{array}$$

Fysika: Fd3 (energinivåer för väteliknande system $E_n=-E_H{Z}^2/n^2$, fotonenergi $E=hc/\lambda$)

Vid jämförelse med Moseleys lag får vi

$$a=\frac{3}{4}\frac{E_H}{hc}=\frac{3}{4}\cdot \frac{13,6057}{1,23984\cdot 10^{-6}}=8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}$$

Fysika: Fd3 (Moseleys lag, $a=8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}$), Te ($E_H$, $hc$)

Svar: $\boxed{a\approx 8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}}$, samma värde som Fysika anger.

Hur bra stämmer det för koppar?

Med $Z=29$ ger Moseleys lag $\lambda =1/(8,23\cdot 10^6\cdot 28^2)=155\text{pm}$. Tabellen T k1 anger $154,2\text{pm}$ för $K_{\alpha 1}$ i koppar: den enkla avskärmningsmodellen träffar inom en procent.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• F0005T — kurssidan med alla tentor
• Harmonisk våg · Fashastighet och partikelhastighet · Fas och faskonstant · Ljudintensitet och ljudnivå · Superposition av vågor · Fasordiagram
• Fresnels formler · Polarisation
• Svartkroppsstrålning · Stefan-Boltzmanns lag · Comptonspridning · Fotonen
• Röntgenstrålning · Bromsstrålning · Moseleys lag · Väteliknande system