Fashastighet och partikelhastighet

Kurs: F0005T Förkunskaper: Harmonisk våg, Derivata

---

Fashastigheten $v=\omega /k=\lambda f$ är den hastighet med vilken vågformen — till exempel en vågtopp — förflyttar sig genom mediet. Partikelhastigheten $\partial y/\partial t$ är hastigheten hos en enskild punkt i mediet, för en transversell våg riktad vinkelrätt mot utbredningsriktningen. De två är skilda storheter och sammanfaller inte.

---

1. Fashastigheten

Följ en bestämd punkt på vågformen, säg en vågtopp. Att stanna på samma punkt i vågformen betyder att fasen hålls konstant:

$$y=A\sin \left(kx-\omega t+\alpha \right)$$

$$kx-\omega t+\alpha =\text{konstant}$$

Löser vi ut läget ur villkoret får vi hur toppen måste förflytta sig:

$$x=\frac{\omega }{k}t+\frac{\alpha +\text{konstant}}{k}$$

Det är en rätlinjig rörelse med konstant hastighet, och derivering ger

$$\boxed{v=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega }{k}}$$

Fysika: Fc1

---

2. En intuitiv tolkning

Uttrycket

$$v=\frac{\omega }{k}$$

blir mer läsbart om vi sätter in definitionerna

$$\omega =2\pi fk=\frac{2\pi }{\lambda }$$

vilket ger

$$v=\frac{\omega }{k}=\frac{2\pi f}{2\pi /\lambda }=\lambda f$$

Alltså

$$\boxed{v=\lambda f}$$

Fysika: Fc1

Under en period hinner vågen precis en våglängd framåt. Sker det $f$ perioder per sekund tillryggaläggs $\lambda f$ per sekund.

---

3. Partikelhastigheten

Fashastigheten säger ingenting om hur fort mediet självt rör sig. För att få det håller vi istället läget fixt och deriverar utslaget med avseende på tiden. Ur

$$y(x,t)=A\sin \left(kx-\omega t+\alpha \right)$$

fås

$$v_p=\frac{\partial y}{\partial t}$$

Fysika: Fc1 (i formen $v_p=ds/dt$)

$$v_p(x,t)=-A\omega \cos \left(kx-\omega t+\alpha \right)$$

Partikelhastigheten varierar alltså i tid och rum, är noll i vändlägena och som störst i jämviktslägena, med maximalvärdet $A\omega$. Fashastigheten $\omega /k$ är däremot konstant och bestäms av mediet — för en sträng av spännkraft och längddensitet.

Vågformen flyttas vågrätt med $v=\omega /k$ (streckad: lite senare), medan varje punkt i strängen bara rör sig lodrätt. I topp och dal står punkten stilla ett ögonblick; i jämviktsläget är farten störst, $A\omega$, uppåt eller nedåt beroende på åt vilket håll strängen lutar.

Läsning

• 15.3 Mathematical Description of a Wave
• 15.4 Speed of a Transverse Wave

Se även

• Harmonisk våg
• Våglängd och vågtal
• Vinkelfrekvens och periodtid
• Våghastighet på en sträng
• Energi och effekt i en harmonisk våg

Resurser

• Wikipedia: Phase velocity

---

← Fas och faskonstant · F0005T · Våghastighet på en sträng →