Energi och effekt i en harmonisk våg

Kurs: F0005T Förkunskaper: Harmonisk våg

---

En våg transporterar energi längs mediet samtidigt som mediets delar svänger kring sina jämviktslägen. Effekten mäter hur snabbt energin transporteras och växer kvadratiskt med både amplitud och frekvens.

---

1. Kraften på en punkt på strängen

Den delen av strängen som ligger till vänster om en punkt drar i den delen som ligger till höger. Eftersom strängen är lutande får spännkraften en tvärgående komposant, och lutningen är just $\partial y/\partial x$:

$$\frac{F_y}{F}=-\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}$$

$$F_y=-F\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}.$$

Minustecknet gör riktningen rätt: när strängen lutar uppåt,

$$\frac{\partial y}{\partial x}>0$$

drar vänsterdelen nedåt.

Vänsterdelen drar i punkten $x$ längs strängens tangent. Där strängen lutar uppåt pekar den tvärgående komposanten $F_y=-F\partial y/\partial x$ nedåt, och i en högergående våg rör sig punkten också nedåt — produkten $P=F_y{v}_y$ blir positiv och energin flödar åt höger.

---

2. Från arbete till effekt

Kraften uträttar arbete när angreppspunkten rör sig:

$$W=F_y\Delta y$$

Dividerar vi med tiden får vi medeleffekten över intervallet,

$$P_{av}=\frac{F_y\Delta y}{\Delta t}=F_y{v}_{av}$$

och i gränsen den momentana effekten

$$P(x,t)=F_y(x,t)v_y(x,t)$$

Här är hastigheten hos punkten partikelhastigheten

$$v_y(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}$$

och kraften

$$F_y=-F\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}$$

Tillsammans:

$$P(x,t)=-F\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}$$

Effekten är alltså en produkt av lutning och tvärhastighet.

---

3. Effekt för en harmonisk våg

Sätt in vågfunktionen

$$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\alpha )$$

och derivera i var sin variabel:

$$\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}=kA\cos (kx-\omega t+\alpha )$$

$$\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}=-\omega A\cos (kx-\omega t+\alpha )$$

Produkten av två negativa faktorer ger ett positivt resultat, så effekten är aldrig negativ:

$$P(x,t)=Fk\omega A^2{\cos }^2(kx-\omega t+\alpha )$$

---

4. Energiflödet genom ett litet strängsegment

Effekten varierar längs strängen, så in- och utflödet genom ett kort segment behöver inte vara lika. Är

$$P_{\mathrm{in}}>P_{\mathrm{ut}}$$

lagras energi i segmentet, och är

$$P_{\mathrm{in}}<P_{\mathrm{ut}}$$

töms det på energi. Över en hel period tar de två fallen ut varandra — segmentet vidarebefordrar i genomsnitt all energi det tar emot.

---

5. Medeleffekt

Skriv om uttrycket med hjälp av

$$v=\frac{\omega }{k}$$

$$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$$

vilket ger

$$P(x,t)=\sqrt{F\mu }{\omega }^2{A}^2{\cos }^2(kx-\omega t+\alpha )$$

Medelvärdet av ${\cos }^2$ över en period är $\frac{1}{2}$, alltså

$$\boxed{P_{av}=\frac{1}{2}\sqrt{F\mu }{\omega }^2{A}^2}$$

---

6. Vad sambandet säger

Två proportionaliteter är värda att minnas:

$$P_{\mathrm{av}}\propto A^2$$

$$P_{\mathrm{av}}\propto {\omega }^2$$

Fördubblad amplitud ger fyra gånger effekten, och detsamma gäller fördubblad frekvens. Beroendet på mediet ligger i faktorn $\sqrt{F\mu }$: en hårt spänd och tung sträng bär mer effekt vid samma utslag.

Läsning

• 15.5 Energy in Wave Motion

Se även

• Harmonisk våg
• Fashastighet och partikelhastighet
• Våghastighet på en sträng
• Längddensitet
• Ljudintensitet och ljudnivå

Resurser

• Wikipedia: Wave power

---

← Längddensitet · F0005T · Superposition av vågor →