---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - vågrörelselära
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Harmonisk våg]]"
status: utkast
aliases:
  - Vågeffekt
  - Energitransport i vågor
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Harmonisk våg]]

---

En våg transporterar energi längs mediet samtidigt som mediets delar svänger kring sina jämviktslägen. Effekten mäter hur snabbt energin transporteras och växer kvadratiskt med både amplitud och frekvens.

---

## 1. Kraften på en punkt på strängen

Den delen av strängen som ligger till vänster om en punkt drar i den delen som ligger till höger. Eftersom strängen är lutande får spännkraften en tvärgående komposant, och lutningen är just $\partial y/\partial x$:

$$
\frac{F_y}{F} = -\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}
$$

$$
F_y=-F\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}.
$$

Minustecknet gör riktningen rätt: när strängen lutar uppåt,

$$
\frac{\partial y}{\partial x}>0
$$

drar vänsterdelen nedåt.

![[f05-energi-strangkraft.png|520]]

*Vänsterdelen drar i punkten $x$ längs strängens tangent. Där strängen lutar uppåt pekar den tvärgående komposanten $F_y=-F\,\partial y/\partial x$ nedåt, och i en högergående våg rör sig punkten också nedåt — produkten $P=F_yv_y$ blir positiv och energin flödar åt höger.*

---

## 2. Från arbete till effekt

Kraften uträttar arbete när angreppspunkten rör sig:

$$
W=F_y\Delta y
$$

Dividerar vi med tiden får vi medeleffekten över intervallet,

$$
P_{av} = \frac{F_y\Delta y}{\Delta t} = F_y v_{av}
$$

och i gränsen den momentana effekten

$$
P(x,t)=F_y(x,t)v_y(x,t)
$$

Här är hastigheten hos punkten [[Fashastighet och partikelhastighet|partikelhastigheten]]

$$
v_y(x,t)=\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}
$$

och kraften

$$
F_y=-F\frac{\partial y(x,t)}{\partial x}
$$

Tillsammans:

$$
P(x,t)=-F \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}
$$

Effekten är alltså en produkt av lutning och tvärhastighet.

---

## 3. Effekt för en harmonisk våg

Sätt in vågfunktionen

$$
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\alpha)
$$

och derivera i var sin variabel:

$$
\frac{\partial y(x,t)}{\partial x} = kA\cos(kx-\omega t+\alpha)
$$

$$
\frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = -\omega A\cos(kx-\omega t+\alpha)
$$

Produkten av två negativa faktorer ger ett positivt resultat, så effekten är aldrig negativ:

$$
P(x,t)=Fk\omega A^2\cos^2(kx-\omega t+\alpha)
$$

---

## 4. Energiflödet genom ett litet strängsegment

Effekten varierar längs strängen, så in- och utflödet genom ett kort segment behöver inte vara lika. Är

$$
P_{\mathrm{in}}>P_{\mathrm{ut}}
$$

lagras energi i segmentet, och är

$$
P_{\mathrm{in}}<P_{\mathrm{ut}}
$$

töms det på energi. Över en hel period tar de två fallen ut varandra — segmentet vidarebefordrar i genomsnitt all energi det tar emot.

---

## 5. Medeleffekt

Skriv om uttrycket med hjälp av

$$
v=\frac{\omega}{k}
$$

$$
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}
$$

vilket ger

$$
P(x,t)=\sqrt{F\mu}\omega^2A^2 \cos^2(kx-\omega t+\alpha)
$$

Medelvärdet av $\cos^2$ över en period är $\frac{1}{2}$, alltså

$$
\boxed{\;P_{av}=\frac{1}{2} \sqrt{F\mu}\omega^2A^2\;}
$$

---

## 6. Vad sambandet säger

Två proportionaliteter är värda att minnas:

$$
P_{\mathrm{av}}\propto A^2
$$

$$
P_{\mathrm{av}}\propto\omega^2
$$

Fördubblad amplitud ger fyra gånger effekten, och detsamma gäller fördubblad frekvens. Beroendet på mediet ligger i faktorn $\sqrt{F\mu}$: en hårt spänd och tung sträng bär mer effekt vid samma utslag.

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=508|15.5 Energy in Wave Motion]]

## Se även

- [[Harmonisk våg]]
- [[Fashastighet och partikelhastighet]]
- [[Våghastighet på en sträng]]
- [[Längddensitet]]
- [[Ljudintensitet och ljudnivå]]

## Resurser

- [Wikipedia: Wave power](https://en.wikipedia.org/wiki/Wave#Wave_power)

---

← [[Längddensitet]] · [[F0005T]] · [[Superposition av vågor]] →