Våghastighet på en sträng

Kurs: F0005T Förkunskaper: Längddensitet, Vågrörelse

---

Hastigheten hos en våg på en sträng bestäms av strängens egenskaper, inte av vågen själv: $v=\sqrt{F/\mu }$, där $F$ är spännkraften och $\mu$ längddensiteten. Hårdare spänd sträng ger snabbare våg, tyngre sträng långsammare.

---

1. Vad påverkar våghastigheten?

Bara två storheter kan rimligen spela roll: hur hårt strängen är spänd och hur tung den är per längdenhet. Den senare är längddensiteten

$$\mu =\frac{m}{L}$$

Vi härleder sambandet genom att titta på en puls som just satts i rörelse, där en kraft $F_y$ dragit strängens ände uppåt med hastigheten $v_y$ under tiden $t$.

Pulsen efter tiden $t$: handen har lyft änden sträckan $v_{y}t$ medan fronten hunnit $vt$. Allt till vänster om fronten rör sig uppåt med $v_y$, och handens kraft längs strängen har komposanterna $F$ och $F_y$ i samma proportion som triangelns sidor.

Steg 1 – Hur mycket sträng sätts i rörelse?

Under tiden $t$ har störningen hunnit sträckan $vt$ längs strängen. Massan som satts i rörelse är därför

$$m=\mu vt$$

Steg 2 – Kraften förändrar strängens rörelse

Impulsen från den tvärgående kraften är lika med rörelsemängdsändringen:

$$F_{y}t=m{v}_y$$

Sätt in massan ovan,

$$m=\mu vt$$

vilket ger

$$F_{y}t=\mu vt{v}_y$$

och efter förkortning med $t$

$$F_y=\mu v{v}_y$$

Steg 3 – Använd geometrin

Strängen bildar en triangel: den lyfta änden har flyttats $v_{y}t$ i $y$-riktningen medan störningen gått $vt$ i $x$-riktningen. Kraftkomposanterna följer samma proportioner som sidorna:

$$\frac{F_y}{F}=\frac{v_{y}t}{vt}$$

$$\frac{F_y}{F}=\frac{v_y}{v}$$

$$F_y=F\frac{v_y}{v}$$

Sätt de två uttrycken för $F_y$ lika:

$$\mu v{v}_y=F\frac{v_y}{v}$$

Nu förkortas $v_y$ bort — hastigheten beror alltså inte på hur hårt vi ryckte:

$$\mu v^2=F$$

$$\boxed{v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}}$$

Fysika: Fc2a (i formen $v=\sqrt{F/{\rho }_l}$)

---

2. Vad sambandet säger

Våghastigheten är en egenskap hos mediet, inte hos vågen. Amplitud och frekvens saknas i uttrycket, så en kraftig och en svag puls går lika fort på samma sträng.

Spänner vi strängen hårdare växer $F$ och vågen går snabbare; byter vi till en grövre sträng växer $\mu$ och vågen går långsammare. Det är den mekanismen som stämmer en gitarr, och som ger modernas frekvenser.

Läsning

• 15.4 Speed of a Transverse Wave

Se även

• Längddensitet
• Fashastighet och partikelhastighet
• Energi och effekt i en harmonisk våg
• Stående våg
• Svängningsmoder

Resurser

• Wikipedia: Vibrating string

---

← Fashastighet och partikelhastighet · F0005T · Längddensitet →