F0005T-2025-05-22

Kurs: F0005T — Fysik 2 Datum: 2025-05-22 Examinator: Erik Olsson Källa: originaltentamen · lärarens lösningar Hjälpmedel: miniräknare och Fysika. 6 uppgifter, 18 poäng; betyg 3 vid 9 p, 4 vid 12,5 p och 5 vid 15,5 p.

Översikt

VÅG (uppgift 1–3):

• harmonisk våg ur två punkters acceleration och hastighet: riktning, $\lambda$, $f$, amplitud och faskonstant (1), en spegelvänd variant av mars 2024 uppgift 1
• två slutna pipor: svävning och dopplereffekt (2)
• dubbelspalt: gångvägsskillnad, diffraktionsminimum och kvoten $b/d$ (3)

MOF (uppgift 4–6):

• Bohrs modell för väte: omloppstid och antal de Broglie-våglängder per varv (4)
• röntgenspektrum från platina och guld, och konstanten i Moseleys lag (5)
• comptonspridning: elektronens rörelsemängd efter stöten (6)

Så använder du sidan

Försök själv först, med Fysika framme som på tentan. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är och var den står i Fysika, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget eller fällan. Lösning är lärarens lösning med förklaringar mellan stegen; varje formel och tabellvärde har sin Fysika-kod. Där läraren bara gett svaret (seminarieuppgifter) är lösningsgången egen och svaret kontrollerat mot lärarens. Figurerna är interaktiva: håll muspekaren över kurvorna för exakta värden, och dra i reglagen där sådana finns.

---

1. Två punkter på en sträng, åt andra hållet

En transversell harmonisk våg propagerar längs en sträng som är utsträckt i $x$-riktning. Vid en tidpunkt $t=0$ har en punkt $A$ maximal acceleration, $|a|=394,8{\text{m/s}}^2$, i negativ $y$-riktning. Vid samma tidpunkt har en annan punkt $B$ lokaliserad $180\text{mm}$ i negativ $x$-riktning från punkt $A$ maximal hastighet, $v=3,142\text{m/s}$ i positiv $y$-riktning. Avståndet mellan $A$ och $B$ är mindre än en våglängd, men längre än en halv våglängd.

a) I vilken riktning propagerar vågen. Motivera ditt svar med hjälp av en figur. (0,5p)

b) Bestäm vågens våglängd, frekvens och amplitud. (1,5p)

c) Hur lång tid tar det innan punkt $B$ har maximal acceleration i positiv $y$-riktning? (0,5p)

d) Låt vågen beskrivas med en $\sin$-funktion och punkten $A$ vara lokaliserad vid $x$-koordinaten $40,0\text{mm}$. Bestäm faskonstanten. (0,5p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Harmonisk våg, Fashastighet och partikelhastighet och Fas och faskonstant. Fysika: Fc1 (harmonisk våg, partikelhastighet, $k=2\pi /\lambda$, $\omega =2\pi f$).

Ledtråd 2

Accelerationen är $-{\omega }^{2}y$, så $A$ ligger i en topp. $B$ har största fart och ligger alltså i jämviktsläget. Amplituderna är $a_{max}=A{\omega }^2$ och $v_{max}=A\omega$.

Ledtråd 3

Mellan en topp och ett jämviktsläge är avståndet $\lambda /4$ eller $3\lambda /4$ (plus hela våglängder). Villkoret “mellan en halv och en hel våglängd” väljer $3\lambda /4$. Rita vågen och se på vilken sluttning $B$ ligger, och om den går upp eller ner.

Lösning

Läraren går igenom uppgiften på seminarium 1 och ger bara svaren på b–d i facit, så lösningsgången nedan är egen.

a) En punkt i en harmonisk våg har accelerationen $-{\omega }^{2}y$, så största acceleration nedåt har en punkt i en topp: $A$ ligger i en topp. Största fart har en punkt i jämviktsläget: där ligger $B$. Mellan en topp och närmaste jämviktslägen är avståndet $\lambda /4$, och nästa möjlighet är $3\lambda /4$. Eftersom avståndet ska vara mellan en halv och en hel våglängd är $AB=3\lambda /4$.

Gå $3\lambda /4$ åt vänster från toppen $A$: först en kvarts våglängd ner till jämviktsläget, sedan ner i dalen och upp till jämviktsläget igen. $B$ ligger alltså på en sluttning som sjunker åt höger, ner mot dalen till höger om sig (se figuren nedan, $t=0$). Om $B$ rör sig uppåt måste toppen till vänster om $B$ vara på väg mot $B$, så vågformen flyttar sig åt höger.

Svar: vågen propagerar i positiv $x$-riktning.

b) Avståndet $AB$ är tre kvarts våglängd:

$$\frac{3\lambda }{4}=180\text{mm}\Rightarrow \lambda =240\text{mm}$$

Kvoten mellan accelerationens och hastighetens amplitud ger vinkelfrekvensen:

$$\omega =\frac{a_{max}}{v_{max}}=\frac{394,8}{3,142}=125,65\text{rad/s}\Rightarrow f=\frac{\omega }{2\pi }=20,00\text{Hz}$$

Fysika: Fc1 (partikelhastighet $v_p=ds/dt$, $\omega =2\pi f$)

Amplituden:

$$A=\frac{v_{max}}{\omega }=\frac{3,142}{125,65}=25,00\cdot 10^{-3}\text{m}$$

Svar: $\boxed{\lambda =240\text{mm}}$, $\boxed{f=20,0\text{Hz}}$ och $\boxed{A=25,0\text{mm}}$

c) $B$ har maximal acceleration uppåt i en dal. Från jämviktsläget på väg uppåt når $B$ toppen efter $T/4$, jämviktsläget efter $T/2$ och dalen efter $3T/4$:

$$t=\frac{3T}{4}=\frac{3}{4f}=\frac{3}{4\cdot 20,0}=37,5\text{ms}$$

Fysika: Fc1 ($T=1/f$)

Svar: $\boxed{t=37,5\text{ms}}$

d) En våg i positiv $x$-riktning skrivs

$$y=A\sin (kx-\omega t+\alpha )$$

Fysika: Fc1 (propagerande harmonisk våg; Fysika skriver $s=a\cos (\omega t\pm kx+\delta )$, och med sinus ändras bara faskonstantens värde)

Vid $t=0$ ligger toppen $A$ vid $x=40,0\text{mm}$, där $\sin (\dots )=1$:

$$\frac{2\pi }{240}\cdot 40+\alpha =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$$

Kontroll med $B$ vid $x=-140\text{mm}$: fasen är $-7\pi /6+\pi /6=-\pi$, så $y=0$, och $\partial y/\partial t=-A\omega \cos (-\pi )=+A\omega$, största fart uppåt.

Svar: $\boxed{\alpha =\frac{\pi }{6}}$

Dra i reglaget: vågen vandrar åt höger och $B$ går först uppåt. Vid $t=37,5\text{ms}$ ligger en dal vid $B$.

Jämför med mars 2024

I mars 2024 uppgift 1 ligger $B$ $60\text{mm}$ till höger om $A$ och rör sig nedåt. Det är samma fasläge som här ($60=240-180$), men med motsatt rörelse, och därför går vågen åt andra hållet. Våglängd, frekvens, amplitud, tid och faskonstant blir desamma.

Svaret kontrollerat mot facit; lösningsgången är egen. Facit ger inget svar på a.

---

2. Två slutna pipor och en mikrofon

Stående vågor (grundmoden) genereras i två pipor, bägge slutna i ena änden och öppna i den andra men med olika längder. Dom resulterande tryckvariationerna mäts med en mikrofon och resultatet ses i figuren nedan.

a) Ljudhastigheten är $341\text{m/s}$ och den längre pipan är $155\text{mm}$. Hur lång är den korta pipan? (1,5p)

b) Hur snabbt och i vilken riktning relativt mikrofonen ska den längre pipan förflyttas för att ingen svävning ska uppstå? (1,5p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Stående vågor i pipor, Svävning och Dopplereffekt. Fysika: Fc1 ($v=f\lambda$), Fc1a (stående våg, svävningsfrekvens) och Fc2 (dopplereffekten hos ljud).

Ledtråd 2

En pipa som är sluten i ena änden har en nod i den slutna och en buk i den öppna änden: grundmoden rymmer en kvarts våglängd, $\lambda =4L$. Svävningsperioden läses av i figuren, och $f_{sv}=|f_1-f_2|$.

Ledtråd 3

Den kortare pipan har den högre tonen. För b ska den längre pipans ton höjas till den kortares: källan måste röra sig mot mikrofonen.

Lösning

a) I figuren är periodtiden för svävningen $\Delta t=50\text{ms}$ (signalen dör ut vid cirka $19$ och $69\text{ms}$). Då är svävningsfrekvensen

$$f_{sv}=\frac{1}{\Delta t}=\frac{1}{0,05}=20\text{Hz}$$

Fysika: Fc1a (svävningsfrekvens $f_{sv}=|f_1-f_2|$)

Den långa pipans frekvens får vi ur våglängden. Grundmoden i en pipa som är sluten i ena änden rymmer en kvarts våglängd:

$${\lambda }_1=4L_1\Rightarrow f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{v}{4L_1}=\frac{341}{4\cdot 0,155}=550\text{Hz}$$

Fysika: Fc1 ($v=f\cdot \lambda$), Fc1a (stående våg i en dimension). Att förskjutningen har en nod vid den slutna änden och en buk vid den öppna står inte i Fysika.

Den kortare pipan har högre frekvens:

$$f_2=f_1+f_{sv}=550+20=570\text{Hz}$$

Piplängden blir då

$$L_2=\frac{v}{4f_2}=\frac{341}{4\cdot 570}=0,1496\text{m}$$

Svar: $\boxed{L_2\approx 0,150\text{m}=150\text{mm}}$

b) Frekvensen från den längre pipan ska vara $570\text{Hz}$ för att ingen svävning ska uppstå. Eftersom frekvensen ska öka måste pipan röra sig mot mikrofonen. Mikrofonen står still, $v_m=0$:

$$\begin{array}{rl}f=f_1\frac{v-v_m}{v-v_s}=f_1\frac{v}{v-v_s}\Rightarrow \frac{v-v_s}{v}& =\frac{f_1}{f}\\ \Rightarrow v_s=v\left(1-\frac{f_1}{f}\right)=341\left(1-\frac{550}{570}\right)& =11,96\text{m/s}\end{array}$$

Fysika: Fc2 (dopplereffekten hos ljud; $v_s$ positiv om källan rör sig mot mottagaren)

Svar: $\boxed{v_s\approx 12\text{m/s}}$ mot mikrofonen.

Kontrollerat mot facit.

---

3. Dubbelspalten: vad ekvationerna betyder

Laserljus med våglängden $532\text{nm}$ träffar en dubbelspalt med spaltavståndet $d$ och spaltbredden $b$.

a) I fysika finns följande ekvation för interferensmaxima.

$$d\sin \theta =m\lambda$$

Förklara med både ord och en figur vad vänsterledet i ekvationen står för, och vilken approximation som ligger bakom. (0,5p)

b) Följande ekvation för diffraktionsminima finns på samma sida i Fysika.

$$b\sin \theta =m\lambda$$

Förklara med både ord och en figur hur det kan bli ett minima om högerledet är $2\lambda$. (1p)

c) Ljusmönstret studeras på en skärm $3,20$ meter bakom dubbelspalten. Det går att observera att 4:e interferensminima sammanfaller med 1:a diffraktionsminima. Beräkna kvoten $b/d$. (1,5p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Dubbelspaltexperimentet, Fraunhoferdiffraktion och Diffraktion. Fysika: Fc5 (dubbelspalt: interferensmaxima och diffraktionsminima).

Ledtråd 2

Om skärmen är långt bort är strålarna från olika punkter i spalterna nästan parallella, och skillnaden i gångväg mellan två strålar som startar avståndet $s$ isär är $s\sin \theta$. Interferensminima hamnar där gångvägsskillnaden mellan spalterna är ett udda antal halva våglängder.

Ledtråd 3

För b: dela spalten i fyra lika delar och para ihop strålar som ligger $b/4$ isär. För c: det första interferensminimumet har $d\sin \theta =\lambda /2$, det fjärde $7\lambda /2$. Avståndet till skärmen behövs inte.

Lösning

a) $d\sin \theta$ är skillnaden i gångväg för vågorna från de två spaltöppningarna. Uttrycket gäller då avståndet till skärmen är stort och strålarna kan approximeras vara parallella (Fraunhoferdiffraktion): då är den streckade linjen i figuren vinkelrät mot båda strålarna, och från den linjen och ut till skärmen är vägarna lika långa.

Fysika: Fc5 (dubbelspalt, interferensmaxima $d\sin \theta =m\lambda$)

b) $b\sin \theta$ är skillnaden i gångväg mellan randstrålarna, från spaltens över- och underkant. Om den skillnaden är $2\lambda$ är skillnaden mellan översta strålen och den i mitten $1\lambda$, och skillnaden mellan randstrålen och den stråle som utgår från en punkt $b/4$ längre ner $0,5\lambda$. Det innebär att för varje stråle i den första fjärdedelen av öppningen finns det en stråle i den andra fjärdedelen som är helt ur fas med den, så de släcker ut varandra parvis. Detsamma gäller de nedre två fjärdedelarna av spaltöppningen. Hela spalten ger alltså ingenting i den riktningen: ett minimum.

Fysika: Fc5 (diffraktionsminima $b\sin \theta =m\lambda$)

c) Första diffraktionsminimum ($m=1$):

$$b\sin \theta =m\lambda \Rightarrow b=\frac{\lambda }{\sin \theta }$$

Fysika: Fc5 (diffraktionsminima)

Interferensminima ligger där gångvägsskillnaden är ett udda antal halva våglängder. Det fjärde interferensminimumet ($p=3$, räknat från $p=0$):

$$d\sin \theta =(2p+1)\frac{\lambda }{2}\Rightarrow d=\frac{7}{2}\frac{\lambda }{\sin \theta }$$

Fysika: Fc5 (dubbelspalt, $I\propto {\cos }^2(kd\sin \theta /2)$, som är noll när $kd\sin \theta /2=(2p+1)\pi /2$)

Kvoten blir då

$$\frac{b}{d}=\frac{2}{7}$$

Svar: $\boxed{b/d=2/7\approx 0,286}$

Varför behövs inte skärmavståndet och våglängden?

Båda villkoren gäller i samma riktning $\theta$, så $\sin \theta$ och $\lambda$ förkortas bort i kvoten. Skärmavståndet $3,20\text{m}$ och $532\text{nm}$ skulle bara behövas om man ville veta var på skärmen minimumet ligger.

Kontrollerat mot facit.

---

4. Ett varv i Bohrs väteatom

I Bohrs modell för väte cirkulerar elektronen runt protonen i olika orbital $n$. Gravitationskraften mellan protonen och elektronen kan försummas då den är väldigt svag i jämförelse med Coulombkraften.

a) Beräkna hur lång tid det tar för elektronen att färdas ett varv runt protonen i det 3:e orbitalet. (2p)

b) Beräkna kvoten mellan banans omkrets och elektronens de Broglie våglängd för det 3:e orbitalet. (1p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Bohrs modell för väteatomen och De Broglie-våglängd. Fysika: Fe1 (Coulombs lag), Fb4 (cirkelrörelse, $a_n=v^2/r$), Fd3 (banradie $r_n$, de Broglie-våglängden) och Te (${\epsilon }_0$, $h$, $e$, $m_e$).

Ledtråd 2

Coulombkraften är centripetalkraften: $e^2/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)=m{v}^2/r$ ger farten i banan. Banradien $r_n=h^2{\epsilon }_0{n}^2/(\pi m_e{e}^2)$ står i Fysika. Omloppstiden är $T=2\pi r/v$.

Ledtråd 3

“Det 3:e orbitalet” är $n=3$. I b: $\lambda =h/(mv)$, och svaret blir ett heltal. Det är just Bohrs villkor sett som en stående våg runt banan.

Lösning

a) Coulombkraften mellan protonen och elektronen:

$$F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_n^2}$$

Fysika: Fe1 (Coulombs lag)

Vid cirkelrörelse är accelerationen riktad in mot centrum:

$$a=\frac{v_n^2}{r_n}$$

Fysika: Fb4 (naturliga koordinater, $a_n=v^2/r$)

Vi sätter ihop dem med Newtons andra lag och löser ut farten:

$$\begin{array}{rl}F=ma\Rightarrow \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_n^2}& =\frac{m{v}_n^2}{r_n}\\ \Rightarrow v_n& =\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_{n}m}}\end{array}$$

Fysika: Fb1 (Newtons andra lag)

Tiden det tar att färdas ett varv:

$$T=\frac{2\pi r_n}{v_n}=2\pi r_n\sqrt{\frac{4\pi {\epsilon }_0{r}_{n}m}{e^2}}=\sqrt{\frac{16{\pi }^3{\epsilon }_0{r}_n^{3}m}{e^2}}$$

Vi använder uttrycket för radien från Fysika, $r_n=h^2{\epsilon }_0{n}^2/(\pi m{e}^2)$:

$$\begin{array}{rl}T& =\sqrt{\frac{16{\pi }^3{\epsilon }_{0}m}{e^2}\cdot \frac{h^6{\epsilon }_0^3{n}^6}{{\pi }^3{m}^3{e}^6}}=\frac{4{\epsilon }_0^2{h}^3{n}^3}{e^{4}m}\\ & =\frac{4\cdot (8,8542\cdot 10^{-12}{)}^2\cdot (6,62607\cdot 10^{-34}{)}^3\cdot 27}{(1,60218\cdot 10^{-19}{)}^4\cdot 9,10938\cdot 10^{-31}}\\ & =4,104\cdot 10^{-15}\text{s}\end{array}$$

Fysika: Fd3 (banradie i bana $n$ för väte), Te (${\epsilon }_0$, $h$, $e$, $m_e$)

Svar: $\boxed{T\approx 4,10\cdot 10^{-15}\text{s}}$

b) Med $\lambda =h/(m{v}_n)$ blir kvoten

$$\begin{array}{rl}\frac{2\pi r_n}{\lambda }& =\frac{2\pi r_{n}m{v}_n}{h}=\frac{2\pi }{h}\sqrt{\frac{m{r}_n{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}}\\ & =\frac{2\pi }{h}\sqrt{\frac{m{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{h^2{\epsilon }_0{n}^2}{\pi m{e}^2}}=n\end{array}$$

Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden, banradie)

Svar: $\boxed{3}$

Varför blir det ett heltal?

Kvoten $2\pi r_n/\lambda =n$ är samma sak som Bohrs kvantvillkor $mvr=n\hslash$. De Broglie gav villkoret en bild: elektronens våg måste gå jämnt ut runt banan, som en stående våg på en ring, annars släcker den ut sig själv.

Kontrollerat mot facit. Facit har samma uttryck $T=4{\epsilon }_0^2{h}^3{n}^3/(e^{4}m)$ men svarar $4,145\cdot 10^{-15}\text{s}$; insatt ger uttrycket $4,104\cdot 10^{-15}\text{s}$ (samma som $n^3$ gånger omloppstiden $1,52\cdot 10^{-16}\text{s}$ i grundtillståndet), så facits siffervärde är ett räknefel.

---

5. Platina, guld och konstanten i Moseleys lag

Elektroner accelereras genom en spänning på $85\text{kV}$ mot ett prov i syftet att undersöka förekomsten av platina i provet.

a) Vilken är den kortaste våglängden i bromsstrålningen? (0,5p)

b) Om det skulle finnas platina i provet, vid vilken våglängd i röntgenspektrumet skulle $K_{\beta }$ toppen för platina dyka upp? (0,5p)

c) Om provet innehöll guld, skulle det då synas i röntgenspektrumet? Motivera ditt svar. (0,5p)

d) Utgå från Bohrs modell för väteliknande system och härled fram värdet på konstanten $a$ i Moseleys lag. (1,5p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Röntgenstrålning, Bromsstrålning och Moseleys lag. Fysika: Fd3 (gränsvåglängd, fotonenergi, Moseleys lag, energinivåer för väteliknande system), T k1 (bindningsenergier för Pt och Au) och Te ($E_H$).

Ledtråd 2

${\lambda }_{\min }=hc/(eU)$. $K_{\beta }$ är övergången $M\to K$, med fotonenergin $E_K-E_M$. För att ett grundämnes $K$-linjer ska synas måste elektronerna kunna slå ut en $K$-elektron.

Ledtråd 3

För d: en $L$-elektron som faller till $K$-skalet ser kärnladdningen skärmad av den kvarvarande $K$-elektronen, alltså $Z-1$. Använd $E_n=-E_H(Z-1{)}^2/n^2$ för övergången $2\to 1$ och jämför med ${\lambda }^{-1}=a(Z-1{)}^2$.

Lösning

a) Den kortaste våglängden får den foton som får all elektronens energi:

$$\begin{array}{rl}\frac{hc}{{\lambda }_{\min }}=eU\Rightarrow {\lambda }_{\min }& =\frac{hc}{eU}=\frac{6,62607\cdot 10^{-34}\cdot 299792458}{1,60218\cdot 10^{-19}\cdot 85\cdot 10^3}\\ & =14,59\cdot 10^{-12}\text{m}\end{array}$$

Fysika: Fd3 (gränsvåglängd för kontinuerlig röntgenstrålning)

Svar: $\boxed{{\lambda }_{\min }\approx 14,6\text{pm}}$

b) Energigapet mellan $M$- och $K$-skalet i platina:

$$\Delta E=78395-2121=76274\text{eV}$$

Fysika: T k1 (Pt: $K=78395\text{eV}$, $M=2121\text{eV}$)

Det motsvarar våglängden

$$\frac{hc}{\lambda }=\Delta E\Rightarrow \lambda =\frac{hc}{\Delta E}=16,255\cdot 10^{-12}\text{m}$$

Fysika: Fd3 (fotonenergi $E=hc/\lambda$)

Svar: $\boxed{{\lambda }_{K_{\beta }}\approx 16,26\text{pm}}$

c) För att kunna påvisa guld måste de inkommande elektronerna ha tillräckligt med energi för att frigöra en elektron i $K$-skalet. Bindningsenergin i guldets $K$-skal är $80,724\text{keV}$, och de inkommande elektronerna har energin $85\text{keV}$, vilket räcker.

Fysika: T k1 (Au: $K=80724\text{eV}$)

Svar: ja, guldets $K$-linjer kan synas.

d) Enligt Bohrs modell ges energinivåerna för en atom som har blivit av med en elektron i $K$-skalet av

$$E_n=-E_H\frac{(Z-1{)}^2}{n^2}$$

Fysika: Fd3 (energinivåer för väteliknande system, med $Z$ ersatt av den skärmade laddningen $Z-1$)

En $K_{\alpha }$-foton kommer från en övergång mellan $L$- och $K$-skalet:

$$\begin{array}{rl}hf=\frac{hc}{\lambda }=E_2-E_1& =E_H(Z-1{)}^2\left(1-\frac{1}{4}\right)\\ \Rightarrow {\lambda }^{-1}& =\frac{3}{4}\frac{E_H}{hc}(Z-1{)}^2\end{array}$$

Det innebär att konstanten $a$ i Moseleys lag är

$$a=\frac{3}{4}\frac{E_H}{hc}=\frac{3}{4}\cdot \frac{13,6057\text{eV}}{1,23984\cdot 10^{-6}\text{eV}\cdot \text{m}}=8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}$$

Fysika: Fd3 (Moseleys lag, $a=8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}$), Te ($E_H$, $hc$)

Svar: $\boxed{a=8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}}$, precis Fysikas värde.

Kontrollerat mot facit. Facits svarsrad i a avrundar till $15\text{pm}$ (uträkningen ger $14,59\text{pm}$).

---

6. Comptonstöt: elektronens rörelsemängd

En foton med en energi på $85,0\text{keV}$ färdas i positiv $x$-riktning och kolliderar med en stillastående elektron. Efter kollisionen har fotonen våglängden $15,81\text{pm}$. Vilken rörelsemängd, till både storlek och riktning relativt $x$-axeln, har elektronen efter kollisionen? (3p)

Totalpoäng: 3

Ledtråd 1

Comptonspridning med rörelsemängdens bevarande. Fysika: Fd3 (Comptonspridning, fotonenergi, $p=h/\lambda$) och Fb7a (rörelsemängd).

Ledtråd 2

Fotonens våglängd före stöten är $\lambda =hc/E$. Comptonformeln ${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$ ger fotonens spridningsvinkel $\theta$. Rörelsemängden bevaras i både $x$- och $y$-led.

Ledtråd 3

Elektronens rörelsemängd är skillnaden mellan fotonens rörelsemängd före och efter, som vektorer: $p_x=h/\lambda -(h/{\lambda }^{\prime })\cos \theta$ och $p_y=-(h/{\lambda }^{\prime })\sin \theta$. Elektronen far iväg på andra sidan om $x$-axeln jämfört med fotonen.

Lösning

Först fotonens riktning efter stöten. Före stöten är $\lambda =hc/E_f=14,586\text{pm}$, så Comptonformeln ger

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )\Rightarrow \cos \theta & =1-\frac{mc}{h}\left({\lambda }^{\prime }-\frac{hc}{E_f}\right)\\ \Rightarrow \theta & =60,285^{\circ }\end{array}$$

Fysika: Fd3 (Comptonspridning; fotonenergi $E=hc/\lambda$), Te (elektronens comptonvåglängd $h/(m_{e}c)=2,4263\text{pm}$)

Elektronens rörelsemängd följer av att rörelsemängden bevaras. Fotonens rörelsemängd är $h/\lambda =E_f/c$:

$$\begin{array}{rl}{p}_x& =\frac{h}{\lambda }-\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\cos \theta =\frac{E_f}{c}-\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\cos \theta =2,465\cdot 10^{-23}\text{kg}\cdot \text{m/s}\\ p_y& =\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\sin \theta =3,640\cdot 10^{-23}\text{kg}\cdot \text{m/s}\end{array}$$

Fysika: Fd3 (de Broglie, $p=h/\lambda$), Fb7a (rörelsemängd)

Elektronens totala rörelsemängd:

$$p=\sqrt{p_x^2+p_y^2}=4,396\cdot 10^{-23}\text{kg}\cdot \text{m/s}$$

och riktningen mot $x$-axeln ges av

$$\beta ={\tan }^{-1}\frac{p_y}{p_x}=55,89^{\circ }$$

Svar: $\boxed{p=4,40\cdot 10^{-23}\text{kg}\cdot \text{m/s}}$ i riktningen $\boxed{55,9^{\circ }}$ relativt $x$-axeln, på motsatt sida om $x$-axeln mot den spridda fotonen.

Kontroll med energin

Elektronen får rörelseenergin $K=85,0\text{keV}-hc/{\lambda }^{\prime }=6,58\text{keV}$. Relativistiskt är $pc=\sqrt{K^2+2K{m}_e{c}^2}$, vilket ger exakt samma $p=4,396\cdot 10^{-23}\text{kg}\cdot \text{m/s}$. Energi och rörelsemängd stämmer alltså båda.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• F0005T — kurssidan med alla tentor
• Harmonisk våg · Fashastighet och partikelhastighet · Fas och faskonstant · Stående vågor i pipor · Svävning · Dopplereffekt
• Dubbelspaltexperimentet · Fraunhoferdiffraktion · Diffraktion
• Bohrs modell för väteatomen · De Broglie-våglängd · Röntgenstrålning · Bromsstrålning · Moseleys lag · Comptonspridning