Moseleys lag

Kurs: F0005T Förkunskaper: Röntgenstrålning, Elektronkonfiguration

---

Topparna ovanpå bromsstrålningens kontinuum kommer av att infallande elektroner slår loss en elektron ur K-skalet och att hålet fylls från L-skalet, så att $E_L-E_K=hf$. Moseley studerade den högsta toppen $K_{\alpha }$ och fann sambandet experimentellt; det härleds ur väteatomens energinivåer med $Z_{\text{eff}}=Z-1$, eftersom den kvarvarande K-elektronen skärmar en enhet av kärnladdningen. Uttryckt i invers våglängd blir konstanten $8,23\cdot 10^6{\mathrm{m}}^{-1}$. Mätning av ${\lambda }_{K\alpha }$ identifierar alltså grundämnet.

$$\boxed{f=a{\left(Z-1\right)}^2,a=2,47\cdot 10^{15}\mathrm{Hz}}$$

Fysika: Fd3 (i formen ${\lambda }^{-1}=a(Z-1{)}^2$ med $a=8,23\cdot 10^6{\text{m}}^{-1}$)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}{K}_{\alpha }\text{-linjens}\\ \text{frekvens}\end{array}}{\underbrace{f}}=\underset{10,2\text{ eV}/h}{\underbrace{a}}(\underset{\begin{array}{c}\text{ka¨rnladdning}\\ \text{minus en}\end{array}}{\underbrace{Z-1}}{)}^2$$

Linjen är vätets övergång $n=2\to 1$, men med kärnladdningen $Z-1$ i stället för $1$, eftersom den kvarvarande K-elektronen skärmar en enhet. Därför växer frekvensen med kvadraten på atomnumret.

---

1. Ett hål i K-skalet

I ett röntgenrör kan en infallande elektron med tillräcklig energi slå ut en av de två elektronerna i atomens innersta skal, K-skalet ($n=1$). Hålet fylls snabbt av en elektron från ett högre skal, och energiskillnaden sänds ut som en röntgenfoton:

• $K_{\alpha }$: hålet fylls från L-skalet ($n=2\to 1$).
• $K_{\beta }$: hålet fylls från M-skalet ($n=3\to 1$), något högre energi.

Så uppstår $K_{\alpha }$. En snabb elektron slår ut en av de två K-elektronerna, en L-elektron faller ner i hålet, och energiskillnaden sänds ut som en röntgenfoton. L-elektronen ser kärnan genom den kvarvarande K-elektronen, alltså ungefär laddningen $Z-1$.

Fotonenergin bestäms av atomens egna nivåer och inte av rörspänningen, så linjerna hamnar på samma ställe hur spänningen än väljs — bara den räcker för att slå ut en K-elektron. De ligger som smala toppar ovanpå bromsstrålningens kontinuum.

---

2. Härledning ur väteatomen

Innan hålet fylls finns en enda elektron kvar i K-skalet. Den ligger mellan kärnan och L-elektronen och skärmar en enhet av kärnladdningen, så L-elektronen känner ungefär $Z_{\text{eff}}=Z-1$. Med energierna för ett väteliknande system:

$$E_n\approx -\frac{(Z-1{)}^2}{n^2}\cdot 13,6\text{ eV}$$

Fysika: Fd3 (energinivåer för väteliknande system, med $Z-1$ i stället för $Z$ och $E_H=13,6$ eV från Te)

Fotonenergin är skillnaden mellan $n=2$ och $n=1$:

$$E_{K\alpha }=E_2-E_1=(Z-1{)}^2\cdot 13,6\text{ eV}\left(1-\frac{1}{4}\right)$$

$$\boxed{E_{K\alpha }\approx (Z-1{)}^2\cdot 10,2\text{ eV}}$$

Dividerar vi med $h$ får vi frekvensen:

$$f=\frac{E_{K\alpha }}{h}=\frac{10,2\text{ eV}}{4,136\cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot \text{s}}(Z-1{)}^2=2,47\cdot 10^{15}\text{ Hz}\cdot (Z-1{)}^2$$

Fysika: Te ($h$)

vilket är Moseleys lag i rutan överst. Skärmningen $Z-1$ är en grov modell — L-elektronen skärmas också delvis av de andra elektronerna — men den stämmer inom någon procent.

---

3. Linjen i $\sqrt{f}$ och periodiska systemet

Tar vi roten ur Moseleys lag blir $\sqrt{f}$ en rät linje i $Z$, som skär $Z$-axeln vid $Z=1$:

$$\sqrt{f}=\sqrt{a}(Z-1)$$

$\sqrt{f}$ för uppmätta $K_{\alpha }$-linjer mot atomnumret. Punkterna följer linjen från Moseleys lag, och linjen skär $Z$-axeln vid $Z=1$, inte vid origo — det är skärmningen från den kvarvarande K-elektronen.

Moseley mätte linjerna år 1913 och kunde ordna grundämnena efter kärnladdning i stället för atommassa. Kobolt och nickel, som står i omvänd ordning efter massa, hamnade rätt, och luckor i serien visade var ännu okända grundämnen saknades.

På samma sätt ger hål i L-skalet en L-serie när de fylls från M- och N-skalen. Den har betydligt lägre energier än K-serien.

---

4. Absorptionskanter

Samma nivåer syns i absorption. När röntgenfotoner passerar ett material ökar absorptionen plötsligt när fotonenergin blir stor nog att lyfta ut en K-elektron. Den skarpa ökningen kallas K-absorptionskant. Kanten ligger något över $K_{\alpha }$-energin, eftersom elektronen måste tas bort helt och inte bara flyttas till L-skalet, som ju redan är fullt.

Vanliga fel

• $Z$ i stället för $Z-1$. För koppar ger $Z^2$ ungefär $7\%$ för hög energi; det är skärmningen som gör lagen träffsäker.
• $13,6$ eV i stället för $10,2$ eV. Faktorn $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ kommer av att elektronen faller från $n=2$, inte från oändligheten.
• Linjen beror på rörspänningen. $K_{\alpha }$ bestäms av atomen. Spänningen avgör bara om linjen syns alls och var bromsstrålningen slutar.
• Fel prefix. Röntgenenergier anges i keV och våglängder i tiondels nanometer. $hc=1240$ eV·nm ger $\lambda$ i nm bara om $E$ står i eV.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Kopparns $K_{\alpha }$-linje

Uppskatta energin och våglängden för $K_{\alpha }$-strålningen från en kopparanod ($Z=29$).

Lösning

Energin.

$$E_{K\alpha }=(Z-1{)}^2\cdot 10,2\text{ eV}=28^2\cdot 10,2\text{ eV}=7997\text{ eV}\approx \boxed{8,00\text{ keV}}$$

Våglängden.

$$\lambda =\frac{hc}{E}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{7997\text{ eV}}=\boxed{0,155\text{ nm}}$$

Fysika: T k1 (uppmätt ${\lambda }_{K\alpha 1}=154,2$ pm för Cu)

Rimlighetskoll. Uppmätt är $8,05$ keV och $0,154$ nm, alltså under en procents avvikelse. Våglängden är av samma storlek som atomavstånden i en kristall, vilket gör kopparstrålning användbar för kristallografi.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Identifiera ett okänt ämne

$K_{\alpha }$-linjen från ett okänt grundämne har våglängden $0,194$ nm. Vilket grundämne är det?

Lösning

Frekvensen.

$$f=\frac{c}{\lambda }=\frac{2,998\cdot 10^8\text{ m/s}}{0,194\cdot 10^{-9}\text{ m}}=1,55\cdot 10^{18}\text{ Hz}$$

Lös ut $Z$ ur Moseleys lag.

$$(Z-1{)}^2=\frac{f}{a}=\frac{1,55\cdot 10^{18}}{2,47\cdot 10^{15}}=626$$

$$Z-1=25,0Z=26,0$$

Grundämnet. $Z=26$ är $\boxed{\text{ja¨rn}}$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.7 X-Ray Spectra

---

← Spin-bankoppling · F0005T · Kvantintrassling →