Spin-bankoppling

Kurs: F0005T Förkunskaper: Elektronspin, Zeemaneffekten

---

Elektronens spinmagnetiska moment växelverkar med det magnetfält som dess egen banrörelse ger upphov till. Kopplingen separerar tillstånd som annars vore degenererade — och till skillnad från Zeemaneffekten krävs inget yttre fält. Det är den som ger linjespektrumets finstruktur.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\text{totalt}}{\underbrace{\vec{J}}}=\underset{\text{banan}}{\underbrace{\vec{L}}}+\underset{\text{spinnet}}{\underbrace{\vec{S}}}$$

$$j=\underset{\begin{array}{c}\vec{S}\text{ ungefa¨r}\\ \text{med }\vec{L}\end{array}}{\underbrace{l+\frac{1}{2}}}\text{eller}\underset{\begin{array}{c}\vec{S}\text{ ungefa¨r}\\ \text{mot }\vec{L}\end{array}}{\underbrace{l-\frac{1}{2}}}$$

Banrörelsen ger elektronen ett inre magnetfält längs $\vec{L}$, och spinnets energi beror på om det står med eller mot fältet. Därför är det summan $\vec{J}$ som har skarpa värden, och varje nivå med $l>0$ delas i två.

---

1. Ett inre magnetfält

Från elektronens synvinkel är det kärnan som kretsar. En laddning i rörelse ger ett magnetfält, så i elektronens eget system finns ett fält ${\vec{B}}_{\text{eff}}$ som är riktat längs banrörelsemängdsmomentet $\vec{L}$. Spinnets magnetiska moment (se Elektronspin) får i det fältet energin

$$U=-{\mu }_z{B}_{\text{eff}}\approx \pm {\mu }_B{B}_{\text{eff}}$$

beroende på om spinnet ligger ungefär med eller mot $\vec{L}$. Varje nivå med $l>0$ delas därmed i två. En s-nivå har $L=0$, inget inre fält och ingen uppdelning. Bilden med kretsande kärna är halvklassisk, men en kvantmekanisk räkning ger samma resultat: energin beror på skalärprodukten $\vec{L}\cdot \vec{S}$.

Skillnaden mellan de två spinnlägena är

$$\Delta E=2{\mu }_B{B}_{\text{eff}}$$

---

2. Totalt rörelsemängdsmoment

När $\vec{L}$ och $\vec{S}$ växelverkar är det deras summa som har skarpa värden:

$$\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}$$

Beloppet kvantiseras med ett nytt kvanttal $j$, på samma sätt som $L$ och $S$:

$$\boxed{J=\sqrt{j(j+1)}\hslash j=\left|l\pm \frac{1}{2}\right|}$$

$j=l+\frac{1}{2}$ svarar mot $\vec{L}$ och $\vec{S}$ ungefär parallella, $j=l-\frac{1}{2}$ mot ungefär antiparallella. För $l=0$ finns bara $j=\frac{1}{2}$. Komponenten längs $z$ är $J_z=m_j\hslash$ med $m_j=-j,\dots ,+j$, alltså $2j+1$ värden.

Vänster: sett från elektronen kretsar kärnan, och den rörliga laddningen ger ett magnetfält ${\vec{B}}_{\text{eff}}$ längs $\vec{L}$. Höger: för en p-elektron ($l=1$) kan $\vec{S}$ stå ungefär med eller mot $\vec{L}$, vilket ger $j=\frac{3}{2}$ eller $j=\frac{1}{2}$. Spinnets moment är motriktat $\vec{S}$, så $j=\frac{3}{2}$ får den högre energin.

---

3. Spektroskopisk notation

Nivåerna betecknas ${}^2{L}_j$, där den upphöjda tvåan anger de två spinnlägena, den stora bokstaven är $l$ (S, P, D, F) och indexet är $j$:

$l$	möjliga $j$	nivåer
0	$\frac{1}{2}$	${}^2{S}_{1/2}$
1	$\frac{1}{2},\frac{3}{2}$	${}^2{P}_{1/2},{}^2{P}_{3/2}$
2	$\frac{3}{2},\frac{5}{2}$	${}^2{D}_{3/2},{}^2{D}_{5/2}$

Natriums gula dubblett är det klassiska exemplet. Valenselektronens $3p$-nivå delas i ${}^2{P}_{3/2}$ och ${}^2{P}_{1/2}$, medan $3s$-nivån ${}^2{S}_{1/2}$ inte delas. De två övergångarna ner till $3s$ ger linjerna $589,0$ och $589,6$ nm; den kortare våglängden kommer från den högre nivån ${}^2{P}_{3/2}$.

Natriums $3p$-nivå delad av spin–bankopplingen. Övergångarna ner till $3s$ ger D1 ($589,59$ nm) och D2 ($589,00$ nm). Uppdelningen $\Delta E\approx 2,13$ meV är ungefär en tusendel av avståndet $2,1$ eV till $3s$, så den är kraftigt förstorad och energiaxeln är bruten.

---

4. Finstruktur

Spin–bankopplingen ger nivåförskjutningar av samma storlek som den relativistiska korrektionen till elektronens kinetiska energi. Tillsammans kallas de finstruktur. För väte blir nivåerna

$$E_{n,j}=-\frac{13,60\text{ eV}}{n^2}\left[1+\frac{{\alpha }^2}{n^2}\left(\frac{n}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)\right]$$

Fysika: Te ($E_H$)

där finstrukturkonstanten är dimensionslös:

$$\alpha =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{\hslash c}\approx 7,297\cdot 10^{-3}\approx \frac{1}{137}$$

Korrektionen är av storleksordningen ${\alpha }^2\approx 5\cdot 10^{-5}$ av nivåenergin. Den tar bort degenerationen i $l$ delvis: i väte beror energin nu på $n$ och $j$, så $2P_{3/2}$ ligger något högre än $2P_{1/2}$.

Ännu mindre är hyperfinstrukturen, som kommer av att kärnan själv har ett magnetiskt moment. I vätets grundtillstånd ger den övergången bakom radioastronomins $21$-cm-linje.

Vanliga fel

• $j=l+s$ alltid. Det finns två värden, $j=l+\frac{1}{2}$ och $j=l-\frac{1}{2}$, utom för $l=0$.
• Kopplingen kräver ett yttre fält. Nej, fältet är atomens eget. Det är det som skiljer finstruktur från Zeemaneffekten.
• s-nivåer delas. Med $l=0$ finns inget inre fält, och ${}^2{S}_{1/2}$ är en enda nivå.
• $\Delta E={\mu }_{B}B$ vid baklängesräkning. Skillnaden mellan spinnlägena är $2{\mu }_B{B}_{\text{eff}}$, så fältet blir $B_{\text{eff}}=\Delta E/(2{\mu }_B)$.
• För få siffror i våglängderna. Dubblettens linjer ligger mycket tätt. Avrundas $\lambda$ till tre siffror försvinner skillnaden helt.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Totalt rörelsemängdsmoment för en d-elektron

En elektron befinner sig i ett d-tillstånd. Vilka värden kan kvanttalet $j$ ha, och hur stort är $J$ i varje fall? Ange också den spektroskopiska beteckningen.

Lösning

Möjliga $j$. Med $l=2$ och $s=\frac{1}{2}$:

$$j=l\pm \frac{1}{2}=\boxed{\frac{3}{2}\text{eller}\frac{5}{2}}$$

Beloppen.

$$J_{3/2}=\sqrt{\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}}\hslash =\sqrt{3,75}\hslash =\boxed{1,94\hslash }$$

$$J_{5/2}=\sqrt{\frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}}\hslash =\sqrt{8,75}\hslash =\boxed{2,96\hslash }$$

Beteckningar. ${}^2{D}_{3/2}$ och ${}^2{D}_{5/2}$.

Rimlighetskoll. Antalet tillstånd är $(2\cdot \frac{3}{2}+1)+(2\cdot \frac{5}{2}+1)=4+6=10$, samma som $2(2l+1)=10$ utan koppling. Kopplingen ordnar om tillstånden men skapar inga nya.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Kaliums dubblett

Kaliums motsvarighet till natriums gula dubblett består av linjerna $766,49$ nm och $769,90$ nm, från övergångarna $4p\to 4s$. Bestäm energiskillnaden mellan de två $4p$-nivåerna och det effektiva magnetfält som valenselektronen känner.

Lösning

Modell. $4s$ delas inte, så skillnaden mellan fotonenergierna är skillnaden mellan ${}^2{P}_{3/2}$ och ${}^2{P}_{1/2}$. Linjerna ligger så tätt att vi räknar med $hc=1239,8$ eV·nm.

Fotonenergierna.

$$E_1=\frac{1239,8}{766,49}\text{ eV}=1,61750\text{ eV}{E}_2=\frac{1239,8}{769,90}\text{ eV}=1,61034\text{ eV}$$

$$\Delta E=E_1-E_2=\boxed{7,16\cdot 10^{-3}\text{ eV}}$$

Effektiva fältet. Skillnaden mellan spinnlägena är $2{\mu }_B{B}_{\text{eff}}$:

$$B_{\text{eff}}=\frac{\Delta E}{2{\mu }_B}=\frac{7,16\cdot 10^{-3}\text{ eV}}{2\cdot 5,788\cdot 10^{-5}\text{ eV/T}}=\boxed{61,9\text{ T}}$$

Fältet är mycket starkare än i natrium (omkring $18$ T), vilket stämmer med att kopplingen växer med kärnladdningen.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.5 Electron Spin

---

← Urvalsregler · F0005T · Moseleys lag →