--- kurs: - F0005T tags: - fysik - atomfysik - fenomen förkunskaper: - "[[Elektronspin]]" - "[[Zeemaneffekten]]" status: utkast aliases: - LS-koppling - Finstruktur - Fine structure --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Elektronspin]], [[Zeemaneffekten]] --- Elektronens spinmagnetiska moment växelverkar med det magnetfält som dess egen banrörelse ger upphov till. Kopplingen separerar tillstånd som annars vore degenererade — och till skillnad från Zeemaneffekten krävs inget yttre fält. Det är den som ger linjespektrumets finstruktur. --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{\vec J}_{\text{totalt}}=\underbrace{\vec L}_{\text{banan}}+\underbrace{\vec S}_{\text{spinnet}} $$ $$ j=\underbrace{l+\frac{1}{2}}_{\substack{\vec S\text{ ungefär}\\\text{med }\vec L}}\quad\text{eller}\quad\underbrace{l-\frac{1}{2}}_{\substack{\vec S\text{ ungefär}\\\text{mot }\vec L}} $$ Banrörelsen ger elektronen ett inre magnetfält längs $\vec L$, och spinnets energi beror på om det står med eller mot fältet. Därför är det summan $\vec J$ som har skarpa värden, och varje nivå med $l>0$ delas i två. --- ## 1. Ett inre magnetfält Från elektronens synvinkel är det kärnan som kretsar. En laddning i rörelse ger ett magnetfält, så i elektronens eget system finns ett fält $\vec B_{\text{eff}}$ som är riktat längs banrörelsemängdsmomentet $\vec L$. Spinnets magnetiska moment (se [[Elektronspin]]) får i det fältet energin $$ U=-\mu_zB_{\text{eff}}\approx\pm\mu_BB_{\text{eff}} $$ beroende på om spinnet ligger ungefär med eller mot $\vec L$. Varje nivå med $l>0$ delas därmed i två. En s-nivå har $L=0$, inget inre fält och ingen uppdelning. Bilden med kretsande kärna är halvklassisk, men en kvantmekanisk räkning ger samma resultat: energin beror på skalärprodukten $\vec L\cdot\vec S$. Skillnaden mellan de två spinnlägena är $$ \Delta E=2\mu_BB_{\text{eff}} $$ --- ## 2. Totalt rörelsemängdsmoment När $\vec L$ och $\vec S$ växelverkar är det deras summa som har skarpa värden: $$ \vec J=\vec L+\vec S $$ Beloppet kvantiseras med ett nytt kvanttal $j$, på samma sätt som $L$ och $S$: $$ \boxed{\;J=\sqrt{j(j+1)}\,\hbar\qquad j=\left|\,l\pm\dfrac12\,\right|\;} $$ $j=l+\tfrac12$ svarar mot $\vec L$ och $\vec S$ ungefär parallella, $j=l-\tfrac12$ mot ungefär antiparallella. För $l=0$ finns bara $j=\tfrac12$. Komponenten längs $z$ är $J_z=m_j\hbar$ med $m_j=-j,\ldots,+j$, alltså $2j+1$ värden. ![[f05-spinbana-vektorer.png|520]] *Vänster: sett från elektronen kretsar kärnan, och den rörliga laddningen ger ett magnetfält $\vec B_{\text{eff}}$ längs $\vec L$. Höger: för en p-elektron ($l=1$) kan $\vec S$ stå ungefär med eller mot $\vec L$, vilket ger $j=\tfrac32$ eller $j=\tfrac12$. Spinnets moment är motriktat $\vec S$, så $j=\tfrac32$ får den högre energin.* --- ## 3. Spektroskopisk notation Nivåerna betecknas $^{2}L_j$, där den upphöjda tvåan anger de två spinnlägena, den stora bokstaven är $l$ (S, P, D, F) och indexet är $j$: | $l$ | möjliga $j$ | nivåer | |---|---|---| | 0 | $\tfrac12$ | $^2S_{1/2}$ | | 1 | $\tfrac12,\ \tfrac32$ | $^2P_{1/2},\ ^2P_{3/2}$ | | 2 | $\tfrac32,\ \tfrac52$ | $^2D_{3/2},\ ^2D_{5/2}$ | Natriums gula dubblett är det klassiska exemplet. Valenselektronens $3p$-nivå delas i $^2P_{3/2}$ och $^2P_{1/2}$, medan $3s$-nivån $^2S_{1/2}$ inte delas. De två övergångarna ner till $3s$ ger linjerna $589{,}0$ och $589{,}6$ nm; den kortare våglängden kommer från den högre nivån $^2P_{3/2}$. ![[f05-finstruktur.png|520]] *Natriums $3p$-nivå delad av spin–bankopplingen. Övergångarna ner till $3s$ ger D1 ($589{,}59$ nm) och D2 ($589{,}00$ nm). Uppdelningen $\Delta E\approx2{,}13$ meV är ungefär en tusendel av avståndet $2{,}1$ eV till $3s$, så den är kraftigt förstorad och energiaxeln är bruten.* --- ## 4. Finstruktur Spin–bankopplingen ger nivåförskjutningar av samma storlek som den relativistiska korrektionen till elektronens kinetiska energi. Tillsammans kallas de **finstruktur**. För väte blir nivåerna $$ E_{n,j}=-\dfrac{13{,}60\text{ eV}}{n^2}\left[1+\dfrac{\alpha^2}{n^2}\left(\dfrac{n}{j+\frac12}-\dfrac34\right)\right] $$ *Fysika: Te ($E_H$)* där **finstrukturkonstanten** är dimensionslös: $$ \alpha=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{\hbar c}\approx7{,}297\cdot10^{-3}\approx\dfrac{1}{137} $$ Korrektionen är av storleksordningen $\alpha^2\approx5\cdot10^{-5}$ av nivåenergin. Den tar bort degenerationen i $l$ delvis: i väte beror energin nu på $n$ och $j$, så $2P_{3/2}$ ligger något högre än $2P_{1/2}$. Ännu mindre är **hyperfinstrukturen**, som kommer av att kärnan själv har ett magnetiskt moment. I vätets grundtillstånd ger den övergången bakom radioastronomins $21$-cm-linje. > [!warning] Vanliga fel > - **$j=l+s$ alltid.** Det finns två värden, $j=l+\tfrac12$ och $j=l-\tfrac12$, utom för $l=0$. > - **Kopplingen kräver ett yttre fält.** Nej, fältet är atomens eget. Det är det som skiljer finstruktur från [[Zeemaneffekten]]. > - **s-nivåer delas.** Med $l=0$ finns inget inre fält, och $^2S_{1/2}$ är en enda nivå. > - **$\Delta E=\mu_BB$ vid baklängesräkning.** Skillnaden mellan spinnlägena är $2\mu_BB_{\text{eff}}$, så fältet blir $B_{\text{eff}}=\Delta E/(2\mu_B)$. > - **För få siffror i våglängderna.** Dubblettens linjer ligger mycket tätt. Avrundas $\lambda$ till tre siffror försvinner skillnaden helt. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Totalt rörelsemängdsmoment för en d-elektron > En elektron befinner sig i ett d-tillstånd. Vilka värden kan kvanttalet $j$ ha, och hur stort är $J$ i varje fall? Ange också den spektroskopiska beteckningen. > > > [!note]- Lösning > > **Möjliga $j$.** Med $l=2$ och $s=\tfrac12$: > > $$ > > j=l\pm\dfrac12=\boxed{\dfrac32\ \text{eller}\ \dfrac52} > > $$ > > > > **Beloppen.** > > $$ > > J_{3/2}=\sqrt{\dfrac32\cdot\dfrac52}\,\hbar=\sqrt{3{,}75}\,\hbar=\boxed{1{,}94\,\hbar} > > $$ > > $$ > > J_{5/2}=\sqrt{\dfrac52\cdot\dfrac72}\,\hbar=\sqrt{8{,}75}\,\hbar=\boxed{2{,}96\,\hbar} > > $$ > > > > **Beteckningar.** $^2D_{3/2}$ och $^2D_{5/2}$. > > > > **Rimlighetskoll.** Antalet tillstånd är $(2\cdot\tfrac32+1)+(2\cdot\tfrac52+1)=4+6=10$, samma som $2(2l+1)=10$ utan koppling. Kopplingen ordnar om tillstånden men skapar inga nya. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Kaliums dubblett > Kaliums motsvarighet till natriums gula dubblett består av linjerna $766{,}49$ nm och $769{,}90$ nm, från övergångarna $4p\to4s$. Bestäm energiskillnaden mellan de två $4p$-nivåerna och det effektiva magnetfält som valenselektronen känner. > > > [!note]- Lösning > > **Modell.** $4s$ delas inte, så skillnaden mellan fotonenergierna är skillnaden mellan $^2P_{3/2}$ och $^2P_{1/2}$. Linjerna ligger så tätt att vi räknar med $hc=1239{,}8$ eV·nm. > > > > **Fotonenergierna.** > > $$ > > E_1=\dfrac{1239{,}8}{766{,}49}\text{ eV}=1{,}61750\text{ eV}\qquad E_2=\dfrac{1239{,}8}{769{,}90}\text{ eV}=1{,}61034\text{ eV} > > $$ > > $$ > > \Delta E=E_1-E_2=\boxed{7{,}16\cdot10^{-3}\text{ eV}} > > $$ > > > > **Effektiva fältet.** Skillnaden mellan spinnlägena är $2\mu_BB_{\text{eff}}$: > > $$ > > B_{\text{eff}}=\dfrac{\Delta E}{2\mu_B}=\dfrac{7{,}16\cdot10^{-3}\text{ eV}}{2\cdot5{,}788\cdot10^{-5}\text{ eV/T}}=\boxed{61{,}9\text{ T}} > > $$ > > > > Fältet är mycket starkare än i natrium (omkring $18$ T), vilket stämmer med att kopplingen växer med kärnladdningen. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1408|41.5 Electron Spin]] --- ← [[Urvalsregler]] · [[F0005T]] · [[Moseleys lag]] →