Elektronspin

Kurs: F0005T Förkunskaper: Kvanttal

---

Elektronen har ett rörelsemängdsmoment och ett magnetiskt moment som inte beror på dess rörelse i orbitalen utan är en inneboende egenskap. Goudsmit och Uhlenbeck postulerade det år 1925 med den klassiska analogin att elektronen roterar kring sin egen axel; bilden är felaktig men namnet sitter kvar. Spinkvanttalet är alltid $s=\frac{1}{2}$, och $z$-komponenten har bara två möjliga värden, kallade spin upp och spin ner. Dirac visade år 1928 att spinnet följer ur den relativistiska Schrödingerekvationen — ursprunget är alltså fundamentalt kvantmekaniskt.

$$\boxed{s=\frac{1}{2}{m}_s=\pm \frac{1}{2}}$$

Fysika: Fd3 (spinnkvanttal, där skrivet $s=\pm \frac{1}{2}$)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{komponenten}\\ \text{la¨ngs }z\end{array}}{\underbrace{S_z}}=\underset{\pm \frac{1}{2}}{\underbrace{m_s}}\hslash$$

$$\underset{\begin{array}{c}\text{energin}\\ \text{i fa¨ltet}\end{array}}{\underbrace{U}}=\underset{\approx 2}{\underbrace{g}}{m}_s\underset{\begin{array}{c}\text{Bohr-}\\ \text{magnetonen}\end{array}}{\underbrace{{\mu }_B}}B$$

Spinnet har bara två lägen längs en vald axel. Eftersom $g\approx 2$ ger det halva kvanttalet $m_s=\pm \frac{1}{2}$ ändå en hel Bohrmagneton i energi, $U\approx \pm {\mu }_{B}B$.

---

1. Spinnets rörelsemängdsmoment

Spinnet kvantiseras på samma sätt som banrörelsemängdsmomentet i Kvanttal, men med kvanttalet $s=\frac{1}{2}$ i stället för ett heltal $l$. En mätning av komponenten längs en axel, som vi kallar $z$, ger bara två värden:

$$S_z=m_s\hslash =\pm \frac{\hslash }{2}$$

Beloppet följer samma mönster som $L=\sqrt{l(l+1)}\hslash$, med $l$ utbytt mot $s$:

$$S=\sqrt{s(s+1)}\hslash =\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}\hslash =\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash$$

$$\boxed{S_z=m_s\hslash S=\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash \approx 0,866\hslash }$$

Eftersom $S>|S_z|$ pekar spinnet aldrig rakt längs $z$-axeln; vektorn ligger på en kon kring axeln. Med spinnet räknat behövs fyra kvanttal $(n,l,m_l,m_s)$ för att beskriva elektronens tillstånd i en atom fullständigt, vilket är utgångspunkten för Paulis uteslutningsprincip.

---

2. Spinnets magnetiska moment

Banrörelsen ger ett magnetiskt moment ${\mu }_z=-(e/2m)L_z$ (se Zeemaneffekten). Spinnet ger också ett, men proportionalitetskonstanten är ungefär dubbelt så stor:

$${\mu }_z=-g\frac{e}{2m}{S}_{z}g\approx 2,00232$$

Minustecknet kommer av elektronens negativa laddning: momentet pekar motsatt spinnet. Dirac fick $g=2$ exakt ur sin relativistiska teori, och kvantelektrodynamiken ger den lilla korrektionen. I ett yttre fält $B$ längs $z$ är energin

$$U=-{\mu }_{z}B$$

$$U=g\frac{e}{2m}{S}_{z}B=g\frac{e}{2m}{m}_s\hslash B$$

och med Bohrmagnetonen ${\mu }_B=e\hslash /2m=5,788\cdot 10^{-5}$ eV/T:

$$\boxed{U=g{m}_s{\mu }_{B}B\approx \pm {\mu }_{B}B}$$

Spin upp ($m_s=+\frac{1}{2}$) har alltså momentet riktat mot fältet och den högre energin. Skillnaden mellan de två spinnlägena är

$$\Delta E=g{\mu }_{B}B$$

En foton med just den energin kan vända spinnet. Det är principen bakom elektronspinnresonans, som för fält kring $0,3$ T hamnar i mikrovågsområdet.

---

3. Stern–Gerlachs experiment

Ett inhomogent magnetfält ger en nettokraft på ett magnetiskt moment, $F_z={\mu }_{z}dB/dz$. Stern och Gerlach skickade år 1922 en stråle neutrala atomer genom ett sådant fält och fick strålen uppdelad efter momentets komponent längs fältet.

• Bara banrörelse. Ett rörelsemängdsmoment med kvanttal $l$ har $2l+1$ komponenter, alltså ett udda antal strålar.
• Vad man såg. Vissa atomstrålar, till exempel silver med en ensam elektron utanför fyllda skal och $l=0$, delades i två strålar.

Ett jämnt antal $2j+1=2$ kräver $j=\frac{1}{2}$, ett halvtaligt rörelsemängdsmoment som ingen banrörelse kan ge. Det var ett av de experimentella skälen till att spinnet infördes.

Stern–Gerlachs försök. En stråle silveratomer passerar ett inhomogent magnetfält, där kraften $F_z={\mu }_{z}dB/dz$ beror på momentets komponent längs fältet. Om momentet kunde peka åt alla håll skulle strålen smetas ut till ett streck; i stället träffar den skärmen på två ställen, ett för varje värde på $S_z$.

Vanliga fel

• $S=\hslash /2$. Det är komponenten $S_z$. Beloppet är $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\hslash$.
• $s$ och $m_s$ blandas ihop. $s=\frac{1}{2}$ gäller alltid för en elektron. Det är $m_s$ som är $\pm \frac{1}{2}$.
• Faktorn $g$ glöms. Trots att $S_z$ bara är $\hslash /2$ blir spinmomentets komponent ungefär en hel Bohrmagneton, $\frac{g}{2}{\mu }_B\approx {\mu }_B$, eftersom $g\approx 2$.
• Fel tecken på energin. Elektronens moment är motriktat spinnet. Spin upp i ett fält längs $+z$ har därför den högre energin, $U=+\frac{g}{2}{\mu }_{B}B$.
• Den snurrande kulan tas bokstavligt. Spinnet är en inneboende kvantegenskap. En klassisk kula med elektronens moment skulle behöva en ythastighet långt över ljusets.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Spinnets belopp och vinkel

Beräkna beloppet av elektronens spinrörelsemängdsmoment $S$ och den minsta vinkel som $\vec{S}$ kan bilda med $z$-axeln.

Lösning

Beloppet. Med $s=\frac{1}{2}$:

$$S=\sqrt{s(s+1)}\hslash =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1,055\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}=\boxed{9,13\cdot 10^{-35}\text{ J}\cdot \text{s}}$$

Fysika: Te ($\hslash$)

Vinkeln. Den minsta vinkeln fås när $S_z$ är så stor som möjligt, $S_z=+\hslash /2$:

$$\cos \theta =\frac{S_z}{S}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=0,577$$

$$\theta =\boxed{54,7^{\circ }}$$

Spinnet kan alltså aldrig ligga närmare $z$-axeln än drygt $50^{\circ }$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Att vända spinnet

En fri elektron ($l=0$) befinner sig i ett magnetfält $B=0,350$ T. Vilken energi krävs för att vända spinnet från det lägre till det högre energitillståndet, och vilken frekvens har en foton med den energin? Använd $g=2,00232$.

Lösning

Energiskillnaden. De två lägena har $U=\pm \frac{g}{2}{\mu }_{B}B$, så

$$\Delta E=g{\mu }_{B}B=2,00232\cdot 5,788\cdot 10^{-5}\text{ eV/T}\cdot 0,350\text{ T}=\boxed{4,06\cdot 10^{-5}\text{ eV}}$$

Frekvensen. $\Delta E=hf$ ger

$$f=\frac{\Delta E}{h}=\frac{4,06\cdot 10^{-5}\text{ eV}}{4,136\cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot \text{s}}=\boxed{9,81\text{ GHz}}$$

Våglängden är ungefär $3$ cm, alltså mikrovågor.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.5 Electron Spin

---

← Atomorbitaler · F0005T · Paulis uteslutningsprincip →