Paulis uteslutningsprincip

Kurs: F0005T Förkunskaper: Elektronspin, Kvanttal

---

Inga två elektroner i samma system kan ha samma uppsättning kvanttal $(n,l,m_l,m_s)$. Principen är det som tvingar elektroner att fylla allt högre orbitaler i stället för att samlas i det lägsta tillståndet, och därmed det som ger atomerna deras skalstruktur.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{platser i}\\ \text{underskalet}\end{array}}{\underbrace{N_l}}=\underset{\begin{array}{c}\text{spinn}\\ \text{upp, ner}\end{array}}{\underbrace{2}}\cdot \underset{\begin{array}{c}\text{va¨rden}\\ \text{pa˚ }{m}_l\end{array}}{\underbrace{(2l+1)}}$$

$$\underset{\begin{array}{c}\text{platser}\\ \text{i skalet}\end{array}}{\underbrace{N_n}}=\underset{\text{spinn}}{\underbrace{2}}\cdot \underset{\begin{array}{c}\text{orbitaler}\\ (l,m_l)\end{array}}{\underbrace{n^2}}$$

Varje orbital $(n,l,m_l)$ är en ruta med plats för två elektroner, en med spinn upp och en med spinn ner. Att räkna platser är att räkna rutor och dubbla.

---

1. Principen

En elektrons tillstånd i en atom anges av fyra kvanttal: $n$, $l$ och $m_l$ för rörelsen kring kärnan och $m_s$ för spinnet (se Elektronspin). Paulis uteslutningsprincip säger att två elektroner aldrig kan dela alla fyra. Två elektroner kan alltså dela orbital $(n,l,m_l)$ bara om de har motsatt spinn.

Principen gäller alla partiklar med halvtaligt spinn — elektroner, protoner och neutroner — men inte fotoner. Kvantmekaniskt kommer den av att vågfunktionen för två identiska elektroner måste byta tecken när partiklarna byter plats. Sätts båda i samma tillstånd blir vågfunktionen noll, se Kvantintrassling.

---

2. Att räkna tillstånd

Principen gör det enkelt att räkna hur många elektroner ett underskal eller ett skal rymmer. För givet $l$ finns $2l+1$ värden på $m_l$, och för vart och ett två värden på $m_s$:

$$N_l=2(2l+1)$$

Ett skal med huvudkvanttal $n$ innehåller underskalen $l=0,1,\dots ,n-1$:

$$N_n=\sum _{l=0}^{n-1}2(2l+1)=4\sum _{l=0}^{n-1}l+2n$$

$$N_n=4\cdot \frac{(n-1)n}{2}+2n=2n^2$$

$$\boxed{N_l=2(2l+1)N_n=2n^2}$$

Fysika: Fd3 (Pauliprincipen och kvanttalen, som antalen bygger på)

Underskal	s	p	d	f
$l$	0	1	2	3
platser $2(2l+1)$	2	6	10	14

Skal	K	L	M	N
$n$	1	2	3	4
platser $2n^2$	2	8	18	32

Vänster: en orbital rymmer två elektroner med motsatt spinn, och en tredje skulle få samma fyra kvanttal som en av dem. Höger: L-skalet har en 2s-orbital och tre 2p-orbitaler, alltså $2+6=8=2n^2$ platser.

---

3. Pauli är ingen kraft

Utan principen skulle alla elektroner i en atom falla ner i $1s$, och atomer med många elektroner skulle bli mindre och mindre med växande $Z$. Så ser det inte ut: atomer har ungefär samma storlek genom hela periodiska systemet, och den kemiska skillnaden mellan grannelement är stor. Orsaken är inte den elektriska repulsionen mellan elektronerna — den finns också, men den kan inte hindra två elektroner från att hamna i samma tillstånd. Det är uteslutningsprincipen som tvingar varje ny elektron upp i nästa lediga tillstånd och därmed ger skalstrukturen.

Samma princip styr elektronerna i en metall, där den leder till Fermi-Dirac-fördelningen.

Vanliga fel

• $n^2$ i stället för $2n^2$. $n^2$ är antalet orbitaler $(l,m_l)$ i skalet. Spinnet dubblar antalet platser.
• “Två elektroner per orbital” missförstås. Det gäller per trippel $(n,l,m_l)$, inte per underskal. Ett p-underskal rymmer sex, inte två.
• $l$ får gå upp till $n$. Det största värdet är $l=n-1$, så skalet $n=2$ har bara s och p.
• Principen används på fotoner. Fotoner har heltaligt spinn och kan gärna vara många i samma tillstånd; det är det en Laser utnyttjar.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Hur många elektroner får plats?

Hur många elektroner i en atom kan ha (a) $n=4$, (b) $n=4$ och $l=2$, (c) $n=3$ och $m_l=+1$?

Lösning

a) Hela skalet $n=4$:

$$N=2n^2=2\cdot 4^2=\boxed{32}$$

b) Ett d-underskal, oberoende av $n$:

$$N=2(2l+1)=2\cdot 5=\boxed{10}$$

c) $m_l=+1$ kräver $l\ge 1$. För $n=3$ ger det $l=1$ eller $l=2$, alltså två orbitaler $(3,1,+1)$ och $(3,2,+1)$. Var och en rymmer två spinnlägen:

$$N=2\cdot 2=\boxed{4}$$

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.6 Many-Electron Atoms and the Exclusion Principle

---

← Elektronspin · F0005T · Elektronkonfiguration →