Kvanttal

Kurs: F0005T Förkunskaper: Schrödingerekvationen för väteatomen

---

Tre kvanttal faller ut ur väteatomens vågfunktion utan att postuleras. Huvudkvanttalet $n$ kommer ur $R(r)$, bestämmer energin och numrerar skalen K, L, M, N och så vidare. Det azimutala kvanttalet $l$ kommer ur $\Theta (\theta )$ och kvantiserar rörelsemängdsmomentets storlek; det löper från $0$ till $n-1$, och att $l=0$ ger $L=0$ skiljer sig från Bohrs modell. Det magnetiska kvanttalet $m_l$ kommer ur $\Phi (\varphi )$ och kvantiserar $z$-komponenten från $-l$ till $l$, vilket innebär att $L_z$ alltid är mindre än $L$ utom när båda är noll.

$$\boxed{L=\sqrt{l(l+1)}\hslash L_z=m_l\hslash }$$

Fysika: Fd3 (kvanttal: de tillåtna värdena på $n$, $l$ och $m$)

---

Formeln, symbol för symbol

$$L=\sqrt{\underset{\begin{array}{c}l=0,1,\dots ,\\ n-1\end{array}}{\underbrace{l(l+1)}}}\hslash$$

$$L_z=\underset{\begin{array}{c}-l,\dots ,0,\\ \dots ,+l\end{array}}{\underbrace{m_l}}\hslash$$

Storleken och $z$-komponenten kvantiseras var för sig. Eftersom $\sqrt{l(l+1)}>l\ge |m_l|$ är vektorn alltid längre än sin projektion på $z$-axeln, så den kan aldrig peka rakt längs axeln.

---

1. Tre kvanttal ur tre ekvationer

Varje del av vågfunktionen $\psi =R\Theta \Phi$ i Schrödingerekvationen för väteatomen har ett eget randvillkor, och varje randvillkor ger ett heltal.

Kvanttal	Kommer ur	Tillåtna värden	Bestämmer
$n$, huvudkvanttalet	$R(r)$	$1,2,3,\dots$	energin $E_n$ och storleken
$l$, azimutala kvanttalet	$\Theta (\theta )$	$0,1,\dots ,n-1$	$L=\sqrt{l(l+1)}\hslash$ och formen
$m_l$, magnetiska kvanttalet	$\Phi (\varphi )$	$-l,\dots ,0,\dots ,l$	$L_z=m_l\hslash$ och orienteringen

Magnetiska kvanttalet har fått sitt namn av att tillstånd med olika $m_l$ får olika energi i ett yttre magnetfält längs $z$. Utan fält har de samma energi.

Tillstånd med samma $n$ bildar ett skal: K ($n=1$), L ($n=2$), M ($n=3$), N ($n=4$). Tillstånd med samma $n$ och $l$ bildar ett underskal, som betecknas med en bokstav: s ($l=0$), p ($l=1$), d ($l=2$), f ($l=3$). Se Atomorbitaler.

---

2. Antalet tillstånd

För ett givet $l$ kan $m_l$ anta $2l+1$ värden. Summera över alla tillåtna $l$ i skalet $n$:

$$\sum _{l=0}^{n-1}\left(2l+1\right)=2\cdot \frac{(n-1)n}{2}+n$$

Varje skal innehåller alltså

$$\boxed{N_n=n^2}$$

olika kombinationer av $(n,l,m_l)$, och i väte har de alla samma energi. Med spinnet fördubblas antalet till $2n^2$, och det är grunden för periodiska systemet via Paulis uteslutningsprincip.

---

3. Vektormodellen

Rörelsemängdsmomentet har längden $\sqrt{l(l+1)}\hslash$ men $z$-komponenten $m_l\hslash$. Vinkeln ${\theta }_L$ mellan $\vec{L}$ och $z$-axeln ges av

$$\boxed{\cos {\theta }_L=\frac{m_l}{\sqrt{l(l+1)}}}$$

Eftersom $|m_l|\le l<\sqrt{l(l+1)}$ blir ${\theta }_L$ aldrig noll, utom i det triviala fallet $l=0$ där $\vec{L}=\vec{0}$. $\vec{L}$ kan alltså aldrig peka exakt längs $z$-axeln. Om den gjorde det skulle $L_x=L_y=0$ vara exakt kända samtidigt som $L_z$, och det förbjuds av osäkerhetsrelationen för rörelsemängdsmomentets komponenter. Bara $L_z$ är skarp. $\vec{L}$ ligger någonstans på en kon runt $z$-axeln, och $L_x$ och $L_y$ är obestämda.

Vektormodellen för $l=2$. $\vec{L}$ har alltid längden $\sqrt{6}\hslash$, men bara fem $z$-komponenter är tillåtna, $L_z=-2\hslash ,\dots ,2\hslash$. För varje $m_l$ ligger $\vec{L}$ någonstans på en kon kring $z$-axeln (streckad för $m_l=+1$), aldrig längs själva axeln.

Riktningen på $z$-axeln är godtycklig tills något utifrån väljer den, till exempel ett magnetfält.

Vanliga fel

• $l$ upp till $n$. $l$ går bara till $n-1$, så det finns ingen 1p eller 2d.
• $L=l\hslash$. Storleken är $\sqrt{l(l+1)}\hslash$, som alltid är större än det största $L_z=l\hslash$.
• $m_l$ upp till $\pm n$. $m_l$ begränsas av $l$, inte av $n$.
• De negativa $L_z$ glöms. $m_l$ går från $-l$ till $+l$, totalt $2l+1$ värden.
• Spinnet räknas in i $n^2$. $n^2$ räknar kombinationer av $(n,l,m_l)$. Med spinn blir det $2n^2$.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Vinklarna för $l=3$

En elektron i en väteatom har rörelsemängdsmomentet $L=\sqrt{12}\hslash$.

a) Vilket är $l$, och vilket är det minsta möjliga $n$? b) Vilka värden kan $L_z$ anta? c) Beräkna vinkeln mellan $\vec{L}$ och $z$-axeln för $m_l=3$, $2$, $1$ och $0$. d) Hur många olika kombinationer av $(n,l,m_l)$ finns det för det $n$ du fick i a)?

Lösning

a) Kvanttalen. $l(l+1)=12$ ger $\boxed{l=3}$. Eftersom $l\le n-1$ måste $n\ge 4$, så det minsta är $\boxed{n=4}$.

b) Komponenterna. $m_l=-3,-2,\dots ,3$ ger sju värden:

$$\boxed{L_z=-3\hslash ,-2\hslash ,-\hslash ,0,\hslash ,2\hslash ,3\hslash }$$

c) Vinklarna. Med $\cos {\theta }_L=m_l/\sqrt{12}$:

$$m_l=3:{\theta }_L=\arccos \frac{3}{\sqrt{12}}=\boxed{30,0^{\circ }}$$

$$m_l=2:{\theta }_L=\arccos \frac{2}{\sqrt{12}}=\boxed{54,7^{\circ }}$$

$$m_l=1:{\theta }_L=\arccos \frac{1}{\sqrt{12}}=\boxed{73,2^{\circ }}$$

$$m_l=0:{\theta }_L=\boxed{90,0^{\circ }}$$

De negativa $m_l$ ger supplementvinklarna $106,8^{\circ }$, $125,3^{\circ }$ och $150,0^{\circ }$. Inte ens $m_l=3$ ger en vektor längs $z$-axeln.

d) Antalet. $N_4=4^2=\boxed{16}$, nämligen $1+3+5+7$ för $l=0,1,2,3$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.3 The Hydrogen Atom

---

← Schrödingerekvationen för väteatomen · F0005T · Atomorbitaler →