---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - atomfysik
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Schrödingerekvationen för väteatomen]]"
status: utkast
aliases:
  - Huvudkvanttal
  - Azimutala kvanttalet
  - Magnetiska kvanttalet
  - Skal
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Schrödingerekvationen för väteatomen]]

---

Tre kvanttal faller ut ur väteatomens vågfunktion utan att postuleras. Huvudkvanttalet $n$ kommer ur $R(r)$, bestämmer energin och numrerar skalen K, L, M, N och så vidare. Det azimutala kvanttalet $l$ kommer ur $\Theta(\theta)$ och kvantiserar rörelsemängdsmomentets storlek; det löper från $0$ till $n-1$, och att $l=0$ ger $L=0$ skiljer sig från Bohrs modell. Det magnetiska kvanttalet $m_l$ kommer ur $\Phi(\phi)$ och kvantiserar $z$-komponenten från $-l$ till $l$, vilket innebär att $L_z$ alltid är mindre än $L$ utom när båda är noll.

$$
\boxed{\;L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar\qquad L_z=m_l\hbar\;}
$$
*Fysika: Fd3 (kvanttal: de tillåtna värdena på $n$, $l$ och $m$)*

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
L=\sqrt{\underbrace{l(l+1)}_{\substack{l=0,1,\dots,\\n-1}}}\;\hbar
$$

$$
L_z=\underbrace{m_l}_{\substack{-l,\dots,0,\\\dots,+l}}\,\hbar
$$

Storleken och $z$-komponenten kvantiseras var för sig. Eftersom $\sqrt{l(l+1)}>l\ge|m_l|$ är vektorn alltid längre än sin projektion på $z$-axeln, så den kan aldrig peka rakt längs axeln.

---

## 1. Tre kvanttal ur tre ekvationer

Varje del av vågfunktionen $\psi=R\Theta\Phi$ i [[Schrödingerekvationen för väteatomen]] har ett eget randvillkor, och varje randvillkor ger ett heltal.

| Kvanttal | Kommer ur | Tillåtna värden | Bestämmer |
|---|---|---|---|
| $n$, huvudkvanttalet | $R(r)$ | $1,2,3,\dots$ | energin $E_n$ och storleken |
| $l$, azimutala kvanttalet | $\Theta(\theta)$ | $0,1,\dots,n-1$ | $L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ och formen |
| $m_l$, magnetiska kvanttalet | $\Phi(\phi)$ | $-l,\dots,0,\dots,l$ | $L_z=m_l\hbar$ och orienteringen |

Magnetiska kvanttalet har fått sitt namn av att tillstånd med olika $m_l$ får olika energi i ett yttre magnetfält längs $z$. Utan fält har de samma energi.

Tillstånd med samma $n$ bildar ett **skal**: K ($n=1$), L ($n=2$), M ($n=3$), N ($n=4$). Tillstånd med samma $n$ och $l$ bildar ett **underskal**, som betecknas med en bokstav: s ($l=0$), p ($l=1$), d ($l=2$), f ($l=3$). Se [[Atomorbitaler]].

---

## 2. Antalet tillstånd

För ett givet $l$ kan $m_l$ anta $2l+1$ värden. Summera över alla tillåtna $l$ i skalet $n$:

$$
\sum_{l=0}^{n-1}\left(2l+1\right)=2\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}+n
$$

Varje skal innehåller alltså

$$
\boxed{N_n=n^{2}}
$$

olika kombinationer av $(n,l,m_l)$, och i väte har de alla samma energi. Med [[Elektronspin|spinnet]] fördubblas antalet till $2n^2$, och det är grunden för periodiska systemet via [[Paulis uteslutningsprincip]].

---

## 3. Vektormodellen

[[Rörelsemängdsmoment|Rörelsemängdsmomentet]] har längden $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$ men $z$-komponenten $m_l\hbar$. Vinkeln $\theta_L$ mellan $\vec L$ och $z$-axeln ges av

$$
\boxed{\cos\theta_L=\dfrac{m_l}{\sqrt{l(l+1)}}}
$$

Eftersom $|m_l|\le l<\sqrt{l(l+1)}$ blir $\theta_L$ aldrig noll, utom i det triviala fallet $l=0$ där $\vec L=\vec0$. $\vec L$ kan alltså aldrig peka exakt längs $z$-axeln. Om den gjorde det skulle $L_x=L_y=0$ vara exakt kända samtidigt som $L_z$, och det förbjuds av osäkerhetsrelationen för rörelsemängdsmomentets komponenter. Bara $L_z$ är skarp. $\vec L$ ligger någonstans på en kon runt $z$-axeln, och $L_x$ och $L_y$ är obestämda.

![[f05-vektormodell-kon.png|520]]

*Vektormodellen för $l=2$. $\vec L$ har alltid längden $\sqrt6\,\hbar$, men bara fem $z$-komponenter är tillåtna, $L_z=-2\hbar,\dots,2\hbar$. För varje $m_l$ ligger $\vec L$ någonstans på en kon kring $z$-axeln (streckad för $m_l=+1$), aldrig längs själva axeln.*

Riktningen på $z$-axeln är godtycklig tills något utifrån väljer den, till exempel ett magnetfält.

> [!warning] Vanliga fel
> - **$l$ upp till $n$.** $l$ går bara till $n-1$, så det finns ingen 1p eller 2d.
> - **$L=l\hbar$.** Storleken är $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$, som alltid är större än det största $L_z=l\hbar$.
> - **$m_l$ upp till $\pm n$.** $m_l$ begränsas av $l$, inte av $n$.
> - **De negativa $L_z$ glöms.** $m_l$ går från $-l$ till $+l$, totalt $2l+1$ värden.
> - **Spinnet räknas in i $n^2$.** $n^2$ räknar kombinationer av $(n,l,m_l)$. Med spinn blir det $2n^2$.

---

## 4. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Vinklarna för $l=3$
> En elektron i en väteatom har rörelsemängdsmomentet $L=\sqrt{12}\,\hbar$.
>
> a) Vilket är $l$, och vilket är det minsta möjliga $n$?
> b) Vilka värden kan $L_z$ anta?
> c) Beräkna vinkeln mellan $\vec L$ och $z$-axeln för $m_l=3$, $2$, $1$ och $0$.
> d) Hur många olika kombinationer av $(n,l,m_l)$ finns det för det $n$ du fick i a)?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a) Kvanttalen.** $l(l+1)=12$ ger $\boxed{l=3}$. Eftersom $l\le n-1$ måste $n\ge4$, så det minsta är $\boxed{n=4}$.
> >
> > **b) Komponenterna.** $m_l=-3,-2,\dots,3$ ger sju värden:
> > $$
> > \boxed{L_z=-3\hbar,\;-2\hbar,\;-\hbar,\;0,\;\hbar,\;2\hbar,\;3\hbar}
> > $$
> >
> > **c) Vinklarna.** Med $\cos\theta_L=m_l/\sqrt{12}$:
> > $$
> > m_l=3:\quad\theta_L=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{12}}=\boxed{30{,}0^\circ}
> > $$
> > $$
> > m_l=2:\quad\theta_L=\arccos\dfrac{2}{\sqrt{12}}=\boxed{54{,}7^\circ}
> > $$
> > $$
> > m_l=1:\quad\theta_L=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{12}}=\boxed{73{,}2^\circ}
> > $$
> > $$
> > m_l=0:\quad\theta_L=\boxed{90{,}0^\circ}
> > $$
> > De negativa $m_l$ ger supplementvinklarna $106{,}8^\circ$, $125{,}3^\circ$ och $150{,}0^\circ$. Inte ens $m_l=3$ ger en vektor längs $z$-axeln.
> >
> > **d) Antalet.** $N_4=4^2=\boxed{16}$, nämligen $1+3+5+7$ för $l=0,1,2,3$.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1397|41.3 The Hydrogen Atom]]

---

← [[Schrödingerekvationen för väteatomen]] · [[F0005T]] · [[Atomorbitaler]] →