Urvalsregler

Kurs: F0005T Förkunskaper: Kvanttal, Zeemaneffekten

---

Alla tänkbara övergångar mellan atomens tillstånd sker inte. En foton bär en enhet $\hslash$ rörelsemängdsmoment, och eftersom $L$ bevaras måste $l$ ändras med precis ett och $m_l$ med noll eller ett. Alla andra övergångar är otillåtna.

$$\boxed{\Delta l=\pm 1\Delta m_l=0,\pm 1}$$

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{fotonen tar med}\\ \text{sig en enhet }\hslash \end{array}}{\underbrace{\Delta l=\pm 1}}\underset{\begin{array}{c}\text{fotonens }z\text{-del:}\\ -\hslash ,0\text{ eller }+\hslash \end{array}}{\underbrace{\Delta m_l=0,\pm 1}}$$

Rörelsemängdsmomentet bevaras: det atomen förlorar tar fotonen med sig. Huvudkvanttalet $n$ finns inte med, så det får ändras fritt.

---

1. Fotonen tar med sig rörelsemängdsmoment

När atomen sänder ut eller tar upp en foton måste det totala rörelsemängdsmomentet bevaras. En foton bär vid en vanlig övergång ett rörelsemängdsmoment på en enhet $\hslash$, och dess komponent längs $z$ kan vara $-\hslash$, $0$ eller $+\hslash$. Atomens banrörelsemängdsmoment måste därför ändras med precis en enhet, och $L_z=m_l\hslash$ med högst en:

$$\Delta l=\pm 1\Delta m_l=0,\pm 1$$

vilket är reglerna i rutan överst. För huvudkvanttalet $n$ finns ingen regel: $n$ får ändras med hur mycket som helst, även noll.

---

2. Tillåtna och förbjudna övergångar

Övergångar som uppfyller reglerna kallas tillåtna, övriga förbjudna. Förbjuden betyder i praktiken mycket osannolik: övergången kan ske genom svagare processer, men tar då mycket längre tid.

Övergång	$\Delta l$	Status
$2p\to 1s$	$-1$	tillåten (Lyman-α)
$3p\to 2s$	$-1$	tillåten
$3d\to 2p$	$-1$	tillåten
$2s\to 1s$	$0$	förbjuden
$3d\to 1s$	$-2$	förbjuden

En atom i $2s$ kan alltså inte direkt falla till $1s$ med en foton. Den blir kvar mycket längre än i en vanlig exciterad nivå — den är metastabil, samma egenskap som gör en Laser möjlig.

Väteatomens nivåer sorterade i kolumner efter $l$. Varje tillåten övergång (heldragen pil) går till en grannkolumn, eftersom $\Delta l=\pm 1$. $2s\to 1s$ och $3d\to 1s$ (streckade) är förbjudna, medan $n$ kan ändras hur mycket som helst.

---

3. Varför Zeemaneffekten bara ger tre linjer

Reglen $\Delta m_l=0,\pm 1$ är det som gör den normala Zeemaneffekten så enkel. I ett fält $B$ ligger begynnelse- och slutnivån på

$$E_i=E_{3d}+m_i{\mu }_{B}B{E}_f=E_{2p}+m_f{\mu }_{B}B$$

Fotonens energi blir skillnaden:

$$hf=E_i-E_f=\left(E_{3d}-E_{2p}\right)+\left(m_i-m_f\right){\mu }_{B}B$$

Med $m_i-m_f\in \{-1,0,+1\}$ finns bara tre möjliga värden:

$$hf=E_0-{\mu }_{B}B,E_0,E_0+{\mu }_{B}B$$

Av de $15$ tänkbara kombinationerna av nivåer tillåter regeln nio, och de nio fördelar sig på tre linjer (figuren i Zeemaneffekten).

Vanliga fel

• Regel för $n$. Det finns ingen. $4p\to 2s$ är lika tillåten som $2p\to 1s$.
• $\Delta l=0$ tillåts. $3s\to 2s$ och $2p\to 2p$ är förbjudna; $l$ måste ändras med exakt ett.
• Pilar räknas i stället för energier. Nio tillåtna övergångar $3d\to 2p$ i ett fält ger bara tre spektrallinjer.
• Förbjuden tolkas som omöjlig. Förbjudna övergångar sker, men med mycket lägre sannolikhet; det är därför metastabila nivåer lever länge.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Vilka övergångar är tillåtna?

Avgör vilka av följande övergångar som är tillåtna enligt urvalsreglerna för en foton: (a) $3d\to 2s$, (b) $4p\to 3s$, (c) $3s\to 2s$, (d) $4f\to 3d$, (e) $3d(m_l=2)\to 2p(m_l=0)$.

Lösning

Metod. Läs av $l$ ur bokstaven (s, p, d, f $=0,1,2,3$) och kontrollera $\Delta l=\pm 1$, och i (e) även $\Delta m_l$.

a) $l:2\to 0$, $\Delta l=-2$: $\boxed{\text{fo¨rbjuden}}$.

b) $l:1\to 0$, $\Delta l=-1$: $\boxed{\text{tilla˚ten}}$.

c) $l:0\to 0$, $\Delta l=0$: $\boxed{\text{fo¨rbjuden}}$.

d) $l:3\to 2$, $\Delta l=-1$: $\boxed{\text{tilla˚ten}}$.

e) $\Delta l=-1$ är i sin ordning, men $\Delta m_l=0-2=-2$: $\boxed{\text{fo¨rbjuden}}$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.4 The Zeeman Effect

---

← Zeemaneffekten · F0005T · Spin-bankoppling →