Fotonen

Kurs: F0005T Förkunskaper: Elektromagnetiska vågor

---

Fotonen är ljusets energikvantum: ett masslöst paket som färdas med ljushastigheten men ändå bär både energi och rörelsemängd. Den har samtidigt vågegenskaper i form av frekvens och våglängd, och det är genom Plancks konstant $h$ som de två beskrivningarna kopplas ihop.

$$\boxed{E=hf=\frac{hc}{\lambda }p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda }}$$

Fysika: Fd3 (fotonenergi)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{en fotons}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{E}}=\underset{\begin{array}{c}\text{Plancks}\\ \text{konstant}\end{array}}{\underbrace{h}}\underset{\text{frekvensen}}{\underbrace{f}}=\frac{hc}{\underset{\text{va˚gla¨ngden}}{\underbrace{\lambda }}}$$

$$\underset{\begin{array}{c}\text{fotonens}\\ \text{ro¨relsema¨ngd}\end{array}}{\underbrace{p}}=\frac{\stackrel{\text{energin}}{\overbrace{E}}}{\underset{\begin{array}{c}\text{ljusets}\\ \text{hastighet}\end{array}}{\underbrace{c}}}=\frac{h}{\lambda }$$

Ljus kommer i portioner. Frekvensen bestämmer hur stor varje portion är, och intensiteten bara hur många portioner som kommer per sekund.

---

1. Energin

Fotonens energi är proportionell mot frekvensen, med Plancks konstant som proportionalitetskonstant. Med $c=f\lambda$ kan den lika gärna skrivas med våglängden — kort våglängd betyder energirik foton.

I atom- och kärnfysik är eV och nm de naturliga enheterna, och då är det bekvämt att komma ihåg produkten

$$hc=6,626\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}\cdot 2,998\cdot 10^8\text{ m/s}\approx 1240\text{ eV}\cdot \text{nm}$$

Fysika: Te ($h$, $c$)

så att till exempel en röd foton med $\lambda =700$ nm har $E=1240/700\approx 1,77$ eV.

Energin per foton längs hela spektrumet, på logaritmisk skala. En synlig foton bär några eV — lagom för att bryta en kemisk bindning eller slå ut en elektron ur en metall. En radiofoton bär en miljondel av det, och en röntgenfoton tusentals gånger mer.

---

2. Rörelsemängden

Enligt den speciella relativitetsteorin hänger energi, rörelsemängd och vilomassa ihop genom

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

Fotonen har vilomassan $m=0$, så den andra termen försvinner:

$$E^2=(pc{)}^2$$

$$E=pc$$

Sätt in $E=hf=hc/\lambda$ och dela med $c$:

$$p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda }$$

vilket är den andra formeln i rutan. Rörelsemängden pekar i ljusets utbredningsriktning. Den är liten för synligt ljus men blir viktig i Comptonspridning, där fotonen stöter mot en elektron.

---

3. Antal fotoner och ljusets tryck

En ljuskälla med effekten $P$ sänder ut energin $P$ per sekund, fördelad på fotoner med energin $hf$ vardera. Antalet fotoner per sekund blir

$$\boxed{\frac{dN}{dt}=\frac{P}{hf}=\frac{P\lambda }{hc}}$$

Varje foton som absorberas lämnar ifrån sig rörelsemängden $h/\lambda$. Kraften på en helt absorberande yta är rörelsemängden per sekund:

$$F=\frac{dN}{dt}\cdot \frac{h}{\lambda }=\frac{P\lambda }{hc}\cdot \frac{h}{\lambda }=\frac{P}{c}$$

Reflekteras fotonerna i stället vänder rörelsemängden, och kraften fördubblas till $2P/c$.

Inga biljardbollar

Fotonen är inte en liten kula. Den har ingen vilomassa, rör sig alltid med $c$ i vakuum, och kan skapas och förintas (se Röntgenstrålning och Parproduktion). Den har egenskaper av både våg och partikel — vilken som syns beror på experimentet, se Komplementaritetsprincipen.

Vanliga fel

• eV och J blandas. Med $h$ i J·s blir $E$ i joule. Använd $hc\approx 1240$ eV·nm om svaret ska vara i eV.
• Våglängden i nm sätts in som meter. $500$ nm är $5\cdot 10^{-7}$ m, inte $5\cdot 10^{-9}$.
• $p=mv$ används för fotonen. Fotonen har ingen vilomassa; rörelsemängden är $h/\lambda$.
• Våglängden i ett medium används. Fotonenergin bestäms av frekvensen, som inte ändras när ljuset går in i glas. Räkna med vakuumvåglängden.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Fotoner från en grön laserpekare

En laserpekare sänder ut $1,00$ mW grönt ljus med $\lambda =532$ nm. Bestäm varje fotons energi och rörelsemängd, antalet fotoner per sekund, och kraften på en svart skärm som absorberar strålen.

Lösning

Energin.

$$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\cdot 10^{-34}\cdot 2,998\cdot 10^8}{532\cdot 10^{-9}}=3,73\cdot 10^{-19}\text{ J}=\boxed{2,33\text{ eV}}$$

Rörelsemängden.

$$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{532\cdot 10^{-9}}=\boxed{1,25\cdot 10^{-27}\text{ kg}\cdot \text{m/s}}$$

Antal fotoner per sekund.

$$\frac{dN}{dt}=\frac{P}{E}=\frac{1,00\cdot 10^{-3}}{3,73\cdot 10^{-19}}=\boxed{2,68\cdot 10^{15}{\text{ s}}^{-1}}$$

Kraften. Allt absorberas, så

$$F=\frac{P}{c}=\frac{1,00\cdot 10^{-3}}{2,998\cdot 10^8}=\boxed{3,34\cdot 10^{-12}\text{ N}}$$

Det är så många fotoner per sekund, var och en med så liten energi, att ljuset ser ut som ett jämnt flöde.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Vilken våglängd har en foton på 2,00 eV?

En lysdiod sänder ut fotoner med energin $2,00$ eV. Vilken våglängd och färg har ljuset, och hur stor är fotonens frekvens?

Lösning

Våglängden.

$$\lambda =\frac{hc}{E}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{2,00\text{ eV}}=\boxed{620\text{ nm}}$$

vilket är orangerött ljus.

Frekvensen.

$$f=\frac{E}{h}=\frac{2,00\text{ eV}}{4,136\cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot \text{s}}=\boxed{4,84\cdot 10^{14}\text{ Hz}}$$

Kontroll: $f\lambda =4,84\cdot 10^{14}\cdot 620\cdot 10^{-9}=3,00\cdot 10^8$ m/s $=c$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 38.1 Light Absorbed as Photons: The Photoelectric Effect
• 38.2 Light Emitted as Photons: X-Ray Production

---

← Fotoelektriska effekten · F0005T · Röntgenstrålning →