Fotoelektriska effekten

Kurs: F0005T Förkunskaper: Fotonen

---

Ljus som faller på en metallyta frigör elektroner, men bara om frekvensen överstiger en tröskelfrekvens som beror på materialet. Under tröskeln händer ingenting hur intensivt ljuset än är, och över den uppstår ingen tidsfördröjning hur svagt det än är — vågmodellen förutsäger motsatsen i båda fallen. Einstein förklarade effekten år 1905 genom att låta en enda foton absorberas av en enda elektron: allt eller inget, utan den kontinuerliga energiöverföring vågteorin kräver. Fotonens energi $hf$ går åt till utträdesarbetet $\varphi$, och resten blir elektronens kinetiska energi.

Photoelectric effekt:

$$\boxed{K_{\max }=e{V}_0=hf-\varphi }(\text{formel 38.4 i bok})$$

Fysika: Fd3 (fotoelektriska effekten, med $\Phi$ för utträdesarbetet)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{snabbaste elektronens}\\ \text{ro¨relseenergi}\end{array}}{\underbrace{K_{\max }}}=\underset{\begin{array}{c}\text{elementar-}\\ \text{laddningen}\end{array}}{\underbrace{e}}\underset{\begin{array}{c}\text{broms-}\\ \text{potentialen}\end{array}}{\underbrace{V_0}}$$

$$\underset{\begin{array}{c}\text{det som}\\ \text{blir o¨ver}\end{array}}{\underbrace{K_{\max }}}=\underset{\begin{array}{c}\text{fotonens}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{hf}}-\underset{\begin{array}{c}\text{kostnaden fo¨r att}\\ \text{la¨mna metallen}\end{array}}{\underbrace{\varphi }}$$

Den övre raden är vad man mäter, den undre vad som händer: en foton ger hela sin energi till en elektron, en del går åt för att ta sig ut, och resten syns som bromspotential.

---

1. Experimentet och bromspotentialen

Två elektroder sitter i ett vakuumrör. Katoden belyses med monokromatiskt ljus, och de utslagna fotoelektronerna kan ta sig över till anoden och ge en ström $i$ i den yttre kretsen. Vänder vi fältet så att anoden repellerar elektronerna, och ökar det tills strömmen precis upphör, har vi hittat bromspotentialen $V_0$.

Vänster: fotoröret. Ljuset slår ut elektroner ur katoden, och amperemetern mäter strömmen till anoden medan spänningen $V_{AC}$ justeras. Höger: samma sak i energi — fotonens $hf$ räcker först till utträdesarbetet $\varphi$, och resten blir $K_{\max }$.

Den snabbaste elektronen lämnar katoden med $K_{\max }$ och når nätt och jämnt anoden med $K=0$. Fältet uträttar arbetet $-e{V}_0$ på den, så arbets–energisatsen ger

$$W=\Delta K$$

$$-e{V}_0=0-K_{\max }$$

$$\boxed{K_{\max }=e{V}_0}$$

Genom att mäta en spänning mäter vi alltså den största kinetiska energin.

---

2. Vad vågmodellen förutsäger — och vad som händer

	Vågmodellen förutsäger	Experimentet visar
Frekvens	Effekten bör finnas för alla frekvenser, bara ljuset är starkt nog	Under en gränsfrekvens $f_0$ blir det ingen ström alls, hur stark intensiteten än är
Fördröjning	Svagt ljus behöver tid för att samla ihop utträdesarbetet	Ingen mätbar fördröjning, hur svagt ljuset än är
Bromspotential	$V_0$ bör öka med intensiteten	$V_0$ beror bara på frekvensen; intensiteten ändrar bara strömmen

---

3. Einsteins förklaring

Ljuset består av fotoner med energin $hf$, och en foton absorberas av en elektron. Elektronen måste betala utträdesarbetet $\varphi$ för att lämna ytan, och resten blir kinetisk energi. Energins bevarande ger

$$hf=\varphi +K_{\max }$$

vilket är formeln i rutan överst. Den förklarar alla tre observationerna:

• Gränsfrekvens. Elektronen kommer loss bara om $hf\ge \varphi$. Gränsen ligger där $K_{\max }=0$:

$$\boxed{f_0=\frac{\varphi }{h}}{\lambda }_0=\frac{c}{f_0}=\frac{hc}{\varphi }$$

• Ingen fördröjning. Energin kommer i ett enda paket, så elektronen kan lämna ytan så fort första fotonen träffar.
• Intensiteten. Starkare ljus betyder fler fotoner per sekund, alltså fler elektroner och större ström — men varje foton har fortfarande energin $hf$, så $K_{\max }$ och $V_0$ ändras inte.

---

4. Att mäta $h$ och $\varphi$

Löser vi ut bromspotentialen ur $e{V}_0=hf-\varphi$ får vi en rät linje i $f$:

$$V_0=\frac{h}{e}f-\frac{\varphi }{e}$$

Mäter vi $V_0$ för några olika frekvenser ger lutningen $h/e$ och skärningen med $V_0$-axeln $-\varphi /e$. Alla metaller ger parallella linjer — lutningen är naturkonstanten $h$ — men de är förskjutna i sidled efter sitt utträdesarbete.

$K_{\max }$ mot frekvensen för två metaller. Linjerna är parallella med lutningen $h$, och gränsfrekvensen $f_0=\varphi /h$ ligger där de skär frekvensaxeln. Streckat: under $f_0$ kommer inga elektroner ut alls.

Vanliga fel

• eV och J blandas. $\varphi$ och $K$ anges oftast i eV. Räkna med $h=4,136\cdot 10^{-15}$ eV·s eller $hc\approx 1240$ eV·nm, eller omvandla med $1\text{ eV}=1,602\cdot 10^{-19}$ J — men inte hälften av varje.
• Gränsfrekvens och utträdesarbete förväxlas. $\varphi$ är en energi, $f_0=\varphi /h$ en frekvens och ${\lambda }_0=hc/\varphi$ den längsta våglängd som fungerar.
• Intensiteten påverkar $K_{\max }$. Den gör det inte; den ändrar bara antalet elektroner och därmed strömmen.
• $K_{\max }$ används för alla elektroner. Formeln ger den största kinetiska energin. Elektroner längre in i metallen förlorar energi på vägen ut och kommer ut långsammare.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Silver i ultraviolett ljus

Ljus med våglängden $250$ nm faller på en silveryta med utträdesarbetet $4,30$ eV. Bestäm bromspotentialen och fotoelektronernas största fart.

Lösning

Fotonenergin. Med $hc=1240$ eV·nm:

$$hf=\frac{hc}{\lambda }=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{250\text{ nm}}=4,96\text{ eV}$$

Största kinetiska energin.

$$K_{\max }=hf-\varphi =4,96-4,30=0,66\text{ eV}$$

Bromspotentialen. $e{V}_0=K_{\max }$ ger $V_0=\boxed{0,66\text{ V}}$.

Största farten. $K_{\max }=0,66\text{ eV}=0,66\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\text{ J}=1,06\cdot 10^{-19}$ J, så

$$v_{\max }=\sqrt{\frac{2K_{\max }}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1,06\cdot 10^{-19}}{9,109\cdot 10^{-31}}}\approx \boxed{4,8\cdot 10^5\text{ m/s}}$$

Farten är under $0,2\%$ av ljushastigheten, så den klassiska formeln för kinetisk energi räcker.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Plancks konstant ur två mätningar

En okänd metall belyses först med $400$ nm och sedan med $250$ nm. Bromspotentialen blir $0,80$ V respektive $2,66$ V. Bestäm Plancks konstant, metallens utträdesarbete och gränsvåglängden.

Lösning

Frekvenserna. $f=c/\lambda$ ger

$$f_1=\frac{2,998\cdot 10^8}{400\cdot 10^{-9}}=7,50\cdot 10^{14}\text{ Hz}{f}_2=\frac{2,998\cdot 10^8}{250\cdot 10^{-9}}=1,20\cdot 10^{15}\text{ Hz}$$

Lutningen. Linjen $V_0=(h/e)f-\varphi /e$ genom de två punkterna har lutningen

$$\frac{h}{e}=\frac{\Delta V_0}{\Delta f}=\frac{2,66-0,80}{1,20\cdot 10^{15}-7,50\cdot 10^{14}}=4,14\cdot 10^{-15}\text{ V}\cdot \text{s}$$

så

$$h=4,14\cdot 10^{-15}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\approx \boxed{6,63\cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}}$$

Utträdesarbetet. Ur första mätningen, i eV:

$$\varphi =h{f}_1-e{V}_0=4,14\cdot 10^{-15}\cdot 7,50\cdot 10^{14}-0,80=3,10-0,80=\boxed{2,30\text{ eV}}$$

Gränsvåglängden.

$${\lambda }_0=\frac{hc}{\varphi }=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{2,30\text{ eV}}\approx \boxed{539\text{ nm}}$$

Grönt ljus räcker alltså precis, rött gör det inte.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 38.1 Light Absorbed as Photons: The Photoelectric Effect

---

← Visibilitet · F0005T · Fotonen →