Bandgap

Kurs: F0005T Förkunskaper: Energiband

---

Bandgapet är energiavståndet mellan valensbandets topp och ledningsbandets botten, och det ensamt avgör om ett material leder ström. I en isolator, till exempel en oxid, är valensbandet fullt och excitationen kostar över $5$ eV, så elektronerna kan inte byta tillstånd. I en halvledare är gapet $1$–$2$ eV, tillräckligt litet för att excitera elektroner. I en ledare finns inget gap att passera — ledningsbandet är redan delvis fyllt, och excitationerna sker inom bandet.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{la¨ngsta va˚gla¨ngd}\\ \text{som absorberas}\end{array}}{\underbrace{{\lambda }_{\max }}}=\frac{hc}{\underset{\text{bandgapet}}{\underbrace{E_g}}}$$

Fotonen måste ensam lyfta en elektron över hela gapet. Längre våglängd betyder mindre energi per foton, så över ${\lambda }_{\max }$ passerar ljuset rakt igenom.

---

1. Absorptionskanten

En foton kan lyfta en elektron från valensbandet till ledningsbandet bara om den har minst gapets energi. Precis som vid fotoelektriska effekten finns en tröskel, men här är den gapet i stället för utträdesarbetet:

$$hf\ge E_g$$

$$\frac{hc}{\lambda }\ge E_g$$

$$\boxed{{\lambda }_{\max }=\frac{hc}{E_g}}$$

Fysika: Fd3 (fotonenergin E = hc/λ)

Ljus med längre våglängd än ${\lambda }_{\max }$ passerar rakt igenom, och ljus med kortare våglängd absorberas. Materialet får en skarp absorptionskant, och genom att mäta var den ligger bestämmer vi $E_g$.

Absorptionskanten. En foton med $hf<E_g$ skulle lyfta elektronen in i gapet, där det inte finns några tillstånd, och passerar därför. Med $hf\ge E_g$ hamnar elektronen i ledningsbandet och lämnar ett hål efter sig.

---

2. Termisk excitation

Värmerörelsen har energiskalan $kT$, som vid rumstemperatur är

$$kT=8,617\cdot 10^{-5}\text{ eV/K}\cdot 300\text{ K}=0,0259\text{ eV}$$

Fysika: Te

Det är långt under alla bandgap, men sannolikheten för excitation avtar exponentiellt med kvoten $E_g/kT$, ungefär som $e^{-E_g/2kT}$ (se Halvledare). Kvoten är $43$ för kisel och $210$ för diamant. För kisel blir sannolikheten liten men inte försumbar med omkring $2\cdot 10^{23}$ valenselektroner per kubikcentimeter att ta av. För diamant är den i praktiken noll. Det är därför gapets storlek skiljer halvledare från isolatorer.

Ledare, halvledare och isolator på samma energiskala. Kislets smala gap räcker för att några elektroner ska exciteras termiskt och lämna hål efter sig; över diamantens gap på $5,5$ eV sker det i praktiken aldrig.

---

3. Lysdioder och direkt eller indirekt gap

Faller en elektron från ledningsbandets botten ner i ett hål i valensbandet kan energin sändas ut som en foton med $hf\approx E_g$. Det är principen för lysdioden. Färgen bestäms av gapet:

$$\lambda \approx \frac{hc}{E_g}$$

Fotonen har nästan ingen rörelsemängd jämfört med elektronerna i kristallen, så övergången måste ske utan att elektronens rörelsemängd ändras. I ett material med direkt bandgap, som GaAs, ligger ledningsbandets botten och valensbandets topp vid samma rörelsemängd, och elektronen kan falla rakt ner. I ett material med indirekt bandgap, som kisel, ligger de vid olika rörelsemängd. Då måste också en gittervibration ta upp skillnaden, vilket är mycket mindre sannolikt. Därför görs lysdioder och halvledarlasrar av material med direkt gap, medan kisel lyser dåligt.

---

4. Genomskinligt, färgat eller ogenomskinligt

Synligt ljus sträcker sig från $400$ till $700$ nm, alltså fotonenergier från $1,77$ till $3,10$ eV. Gapet avgör hur materialet ser ut:

Gap	Synligt ljus	Utseende	Exempel
$E_g>3,10$ eV	inget absorberas	genomskinligt	diamant, glas, de flesta oxider
$1,77<E_g<3,10$ eV	den blå änden absorberas	färgat, gult till rött	CdS
$E_g<1,77$ eV	allt absorberas	ogenomskinligt, grått	kisel, germanium, GaAs

Vanliga fel

• Största och minsta våglängden förväxlas. $hc/E_g$ är den längsta våglängd som absorberas. Kortare våglängd har mer energi och absorberas också.
• ”$kT$ räcker inte, alltså ingen excitation.” $kT$ är alltid mycket mindre än $E_g$. Excitationen sker ändå, med sannolikheten $e^{-E_g/2kT}$, och det är den exponentiella känsligheten som gör skillnaden.
• Bandgap i en metall. En metall har ett delvis fyllt band, och det finns inget gap att passera vid Ferminivån. Metallens gap mellan två andra band påverkar inte ledningen.
• eV och J blandas. Med $hc=1240$ eV·nm och $E_g$ i eV blir $\lambda$ direkt i nm.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Absorptionskanten för tre material

Bestäm den längsta våglängd som absorberas i kisel ($E_g=1,12$ eV), GaAs ($1,42$ eV) och diamant ($5,5$ eV). Vilka av dem är genomskinliga för synligt ljus? Kan en solcell av kisel utnyttja ljus med våglängden $1,5\mu$m?

Lösning

Gränsvåglängderna. ${\lambda }_{\max }=hc/E_g$ med $hc=1240$ eV·nm:

$$\text{Si: }{\lambda }_{\max }=\frac{1240}{1,12}\text{ nm}=\boxed{1,11\mu \text{m}}$$

$$\text{GaAs: }{\lambda }_{\max }=\frac{1240}{1,42}\text{ nm}=\boxed{873\text{ nm}}$$

$$\text{diamant: }{\lambda }_{\max }=\frac{1240}{5,5}\text{ nm}=\boxed{225\text{ nm}}$$

Genomskinlighet. Kisel och GaAs absorberar allt under $1,11\mu$m respektive $873$ nm, alltså hela det synliga området. Diamant absorberar bara under $225$ nm, i UV, och är genomskinlig.

Solcellen. $1,5\mu \text{m}>1,11\mu$m, så fotonerna har för lite energi, $1240/1500=0,83$ eV. Kisel är genomskinligt för det ljuset, och solcellen kan inte utnyttja det.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Bandgap för en röd och en blå lysdiod

En röd lysdiod lyser vid $650$ nm och en blå vid $450$ nm. Ungefär hur stort bandgap måste halvledaren ha i var och en? Kan någon av dem göras av GaAs ($1,42$ eV)?

Lösning

Gapen. $E_g\approx hc/\lambda$:

$$\text{ro¨d: }{E}_g=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{650\text{ nm}}=\boxed{1,91\text{ eV}}$$

$$\text{bla˚: }{E}_g=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{450\text{ nm}}=\boxed{2,76\text{ eV}}$$

GaAs. Gapet $1,42$ eV ger $873$ nm, i nära IR. Ingen av lysdioderna kan göras av ren GaAs. GaAs används i stället för IR-dioder, till exempel i fjärrkontroller, och röda dioder görs av legeringar med större gap.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.4 Energy Bands

---

← Energiband · F0005T · Ferminivån →