Halvledare

Kurs: F0005T Förkunskaper: Bandgap, Fermi-Dirac-fördelningen

---

I en halvledare — kisel, germanium, GaAs — är bandgapet litet nog att elektroner lätt exciteras från valensbandet till ledningsbandet, och antalet sådana elektroner stiger snabbt med temperaturen. Varje exciterad elektron lämnar ett hål efter sig i valensbandet, och båda bidrar till ledningen: elektronerna genom att röra sig i ledningsbandet, hålen genom att elektroner i valensbandet flyttar sig in i dem.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{besatt vid}\\ \text{bandkanten}\end{array}}{\underbrace{f}}\approx \exp (-\frac{\stackrel{\text{halva gapet}}{\overbrace{E_g/2}}}{\underset{\begin{array}{c}\text{termisk}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{kT}}})$$

$E_F$ ligger mitt i gapet, så ledningsbandet ligger bara halva gapet ovanför. Kvoten står i en exponent, och därför ger en liten ändring av $T$ eller $E_g$ en stor ändring av antalet laddningsbärare.

---

1. Ferminivån mitt i gapet

I en ren, egenledande halvledare kommer varje ledningselektron från valensbandet och lämnar ett hål där. Antalet elektroner i ledningsbandet är därför lika med antalet hål i valensbandet. Enligt symmetrin i Fermi-Dirac-fördelningen är sannolikheten för en elektron $\Delta$ över $E_F$ lika stor som sannolikheten för ett hål $\Delta$ under. Om banden är ungefär lika formade hamnar $E_F$ därför mitt i gapet.

Ledningsbandets botten ligger då $E_g/2$ över ferminivån:

$$E-E_F=\frac{E_g}{2}$$

$$f=\frac{1}{e^{E_g/2kT}+1}$$

Eftersom $E_g/2\gg kT$ kan ettan strykas:

$$\boxed{f\approx e^{-E_g/2kT}}$$

Det är halva gapet, inte hela, som står i exponenten. För kisel vid rumstemperatur blir $f$ ungefär $4\cdot 10^{-10}$. Det är också lite: rent kisel har vid rumstemperatur ungefär $10^{16}$ ledningselektroner per kubikmeter, omkring en biljondel av vad en metall har. Därför leder rent kisel dåligt, och därför är det så effektivt att dopa det.

---

2. Hål

När en elektron lämnar valensbandet blir ett tillstånd tomt. En granne i valensbandet kan flytta in i det tomma tillståndet och lämnar då ett nytt tomrum efter sig. Tomrummet vandrar alltså åt motsatt håll mot elektronerna som flyttar.

Det är enklare att följa tomrummet än alla elektroner i det nästan fulla bandet. Vi kallar det ett hål och ger det laddningen $+e$. I ett elektriskt fält rör sig hålet i fältets riktning, som en positiv laddning. Både elektroner och hål ger ström i samma riktning:

$$I=I_{\text{elektroner}}+I_{\text{ha˚l}}$$

I en egenledande halvledare är antalet lika: $n=p$.

Ett hål vandrar. I varje steg hoppar en elektron i en bindning in i hålet till höger om sig, mot fältet. Hålet flyttar då ett steg åt vänster, i fältets riktning, precis som en positiv laddning.

---

3. Stark temperaturberoende

Exponenten gör att antalet laddningsbärare ökar mycket snabbt med temperaturen. För kisel ökar det ungefär tjugo gånger mellan $300$ och $350$ K. Resistiviteten sjunker därför kraftigt när en halvledare värms upp. En metall beter sig tvärtom: där är antalet elektroner fast, och när gittret vibrerar mer sprids elektronerna oftare, så resistiviteten ökar något med temperaturen.

Den skillnaden används i termistorer, temperaturgivare som är gjorda av halvledarmaterial.

---

4. Fotoledning

En foton med $hf\ge E_g$ kan också skapa ett par av en elektron och ett hål (se Bandgap). En halvledare leder då bättre när den belyses än i mörker. Det är principen för ljussensorer och, tillsammans med en pn-övergång, för solceller. Ljus med längre våglängd än $hc/E_g$ passerar utan effekt.

Vanliga fel

• Hela gapet i exponenten. Avståndet från $E_F$ till ledningsbandet är $E_g/2$. Med $e^{-E_g/kT}$ blir svaret för kisel $10^{-19}$ i stället för $10^{-10}$.
• Hålet som en verklig partikel. Hålet är ett tomt tillstånd i valensbandet, inte en positron. Det har ingen egen existens utanför kristallen.
• “Resistansen ökar med temperaturen.” Det gäller metaller. En halvledare leder bättre när den blir varm.
• $kT$ vid fel temperatur. Exponenten är så känslig att en ändring på tio procent i $T$ ändrar $f$ med en faktor större än två. Räkna om $kT$ för varje temperatur.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Kisel och germanium

Kisel har bandgapet $1,12$ eV och germanium $0,67$ eV, med ferminivån mitt i gapet. Bestäm sannolikheten att ett tillstånd vid ledningsbandets botten är besatt i kisel vid $300$ K och $350$ K, och kvoten mellan dem. Jämför med germanium vid $300$ K.

Lösning

Termiska energier.

$$k{T}_{300}=8,617\cdot 10^{-5}\cdot 300=0,025852\text{ eV}k{T}_{350}=8,617\cdot 10^{-5}\cdot 350=0,030161\text{ eV}$$

Fysika: Te

Kisel vid $300$ K. $E_g/2=0,560$ eV:

$$f=e^{-0,560/0,025852}=e^{-21,662}=\boxed{3,91\cdot 10^{-10}}$$

Kisel vid $350$ K.

$$f=e^{-0,560/0,030161}=e^{-18,567}=\boxed{8,64\cdot 10^{-9}}$$

Kvoten.

$$\frac{8,64\cdot 10^{-9}}{3,91\cdot 10^{-10}}=\boxed{22,1}$$

En temperaturökning på $17\%$ ger drygt tjugo gånger fler ledningselektroner.

Germanium vid $300$ K. $E_g/2=0,335$ eV:

$$f=e^{-0,335/0,025852}=e^{-12,958}=\boxed{2,36\cdot 10^{-6}}$$

Det är omkring $6000$ gånger mer än i kisel vid samma temperatur. Ett gap som bara är $40\%$ mindre ger nästan fyra tiopotenser mer.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.6 Semiconductors

---

← Fermi-Dirac-fördelningen · F0005T · Dopning →