--- kurs: - F0005T tags: - fysik - fasta tillståndets fysik - modell förkunskaper: - "[[Bandgap]]" - "[[Fermi-Dirac-fördelningen]]" status: utkast aliases: - Semiconductor - Hål - Egenledning --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Bandgap]], [[Fermi-Dirac-fördelningen]] --- I en halvledare — kisel, germanium, GaAs — är bandgapet litet nog att elektroner lätt exciteras från valensbandet till ledningsbandet, och antalet sådana elektroner stiger snabbt med temperaturen. Varje exciterad elektron lämnar ett hål efter sig i valensbandet, och båda bidrar till ledningen: elektronerna genom att röra sig i ledningsbandet, hålen genom att elektroner i valensbandet flyttar sig in i dem. --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{f}_{\substack{\text{besatt vid}\\\text{bandkanten}}} \approx\exp\Bigl(-\dfrac{\overbrace{E_g/2}^{\text{halva gapet}}}{\underbrace{kT}_{\substack{\text{termisk}\\\text{energi}}}}\Bigr) $$ $E_F$ ligger mitt i gapet, så ledningsbandet ligger bara halva gapet ovanför. Kvoten står i en exponent, och därför ger en liten ändring av $T$ eller $E_g$ en stor ändring av antalet laddningsbärare. --- ## 1. Ferminivån mitt i gapet I en ren, **egenledande** halvledare kommer varje ledningselektron från valensbandet och lämnar ett hål där. Antalet elektroner i ledningsbandet är därför lika med antalet hål i valensbandet. Enligt symmetrin i [[Fermi-Dirac-fördelningen]] är sannolikheten för en elektron $\Delta$ över $E_F$ lika stor som sannolikheten för ett hål $\Delta$ under. Om banden är ungefär lika formade hamnar $E_F$ därför mitt i gapet. Ledningsbandets botten ligger då $E_g/2$ över ferminivån: $$ E-E_F=\dfrac{E_g}{2} $$ $$ f=\dfrac{1}{e^{E_g/2kT}+1} $$ Eftersom $E_g/2\gg kT$ kan ettan strykas: $$ \boxed{f\approx e^{-E_g/2kT}} $$ Det är halva gapet, inte hela, som står i exponenten. För kisel vid rumstemperatur blir $f$ ungefär $4\cdot10^{-10}$. Det är också lite: rent kisel har vid rumstemperatur ungefär $10^{16}$ ledningselektroner per kubikmeter, omkring en biljondel av vad en metall har. Därför leder rent kisel dåligt, och därför är det så effektivt att [[Dopning|dopa]] det. --- ## 2. Hål När en elektron lämnar valensbandet blir ett tillstånd tomt. En granne i valensbandet kan flytta in i det tomma tillståndet och lämnar då ett nytt tomrum efter sig. Tomrummet vandrar alltså åt motsatt håll mot elektronerna som flyttar. Det är enklare att följa tomrummet än alla elektroner i det nästan fulla bandet. Vi kallar det ett **hål** och ger det laddningen $+e$. I ett elektriskt fält rör sig hålet i fältets riktning, som en positiv laddning. Både elektroner och hål ger ström i samma riktning: $$ I=I_{\text{elektroner}}+I_{\text{hål}} $$ I en egenledande halvledare är antalet lika: $n=p$. ![[f05-hal-vandring.png|520]] *Ett hål vandrar. I varje steg hoppar en elektron i en bindning in i hålet till höger om sig, mot fältet. Hålet flyttar då ett steg åt vänster, i fältets riktning, precis som en positiv laddning.* --- ## 3. Stark temperaturberoende Exponenten gör att antalet laddningsbärare ökar mycket snabbt med temperaturen. För kisel ökar det ungefär tjugo gånger mellan $300$ och $350$ K. Resistiviteten sjunker därför kraftigt när en halvledare värms upp. En metall beter sig tvärtom: där är antalet elektroner fast, och när gittret vibrerar mer sprids elektronerna oftare, så resistiviteten ökar något med temperaturen. Den skillnaden används i termistorer, temperaturgivare som är gjorda av halvledarmaterial. --- ## 4. Fotoledning En foton med $hf\ge E_g$ kan också skapa ett par av en elektron och ett hål (se [[Bandgap]]). En halvledare leder då bättre när den belyses än i mörker. Det är principen för ljussensorer och, tillsammans med en pn-övergång, för solceller. Ljus med längre våglängd än $hc/E_g$ passerar utan effekt. > [!warning] Vanliga fel > - **Hela gapet i exponenten.** Avståndet från $E_F$ till ledningsbandet är $E_g/2$. Med $e^{-E_g/kT}$ blir svaret för kisel $10^{-19}$ i stället för $10^{-10}$. > - **Hålet som en verklig partikel.** Hålet är ett tomt tillstånd i valensbandet, inte en positron. Det har ingen egen existens utanför kristallen. > - **"Resistansen ökar med temperaturen."** Det gäller metaller. En halvledare leder *bättre* när den blir varm. > - **$kT$ vid fel temperatur.** Exponenten är så känslig att en ändring på tio procent i $T$ ändrar $f$ med en faktor större än två. Räkna om $kT$ för varje temperatur. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Kisel och germanium > Kisel har bandgapet $1{,}12$ eV och germanium $0{,}67$ eV, med ferminivån mitt i gapet. Bestäm sannolikheten att ett tillstånd vid ledningsbandets botten är besatt i kisel vid $300$ K och $350$ K, och kvoten mellan dem. Jämför med germanium vid $300$ K. > > > [!note]- Lösning > > **Termiska energier.** > > $$ > > kT_{300}=8{,}617\cdot10^{-5}\cdot300=0{,}025852\text{ eV}\qquad kT_{350}=8{,}617\cdot10^{-5}\cdot350=0{,}030161\text{ eV} > > $$ > > *Fysika: Te* > > > > **Kisel vid $300$ K.** $E_g/2=0{,}560$ eV: > > $$ > > f=e^{-0{,}560/0{,}025852}=e^{-21{,}662}=\boxed{3{,}91\cdot10^{-10}} > > $$ > > > > **Kisel vid $350$ K.** > > $$ > > f=e^{-0{,}560/0{,}030161}=e^{-18{,}567}=\boxed{8{,}64\cdot10^{-9}} > > $$ > > > > **Kvoten.** > > $$ > > \dfrac{8{,}64\cdot10^{-9}}{3{,}91\cdot10^{-10}}=\boxed{22{,}1} > > $$ > > En temperaturökning på $17\ \%$ ger drygt tjugo gånger fler ledningselektroner. > > > > **Germanium vid $300$ K.** $E_g/2=0{,}335$ eV: > > $$ > > f=e^{-0{,}335/0{,}025852}=e^{-12{,}958}=\boxed{2{,}36\cdot10^{-6}} > > $$ > > Det är omkring $6000$ gånger mer än i kisel vid samma temperatur. Ett gap som bara är $40\ \%$ mindre ger nästan fyra tiopotenser mer. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1455|42.6 Semiconductors]] --- ← [[Fermi-Dirac-fördelningen]] · [[F0005T]] · [[Dopning]] →