Partikel i låda

Kurs: F0005T Förkunskaper: Schrödingerekvationen, Vågfunktion, Stående våg

---

Den enklaste bundna kvantmekaniska modellen: en partikel instängd mellan $0$ och $L$ med $U=0$ inuti och oändligt utanför, användbar som modell för en elektron i en linjär molekyl eller i en tunn metalltråd. Randvillkoren $\psi (0)=\psi (L)=0$ tvingar lösningen att bli en sinus med ett helt antal halva våglängder i lådan — precis som en stående våg på en sträng — och ur det följer kvantiserade energinivåer. Nivån $n=1$ har inte energin noll trots att $U=0$ i lådan, och antalet bukar i $\psi$ ger kvanttalet $n$ direkt.

$$\boxed{{\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}{E}_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}}$$

Fysika: Fd3 (fri partikel i endimensionell låda, med $a$ för lådans storlek)

---

Formeln, symbol för symbol

$${\psi }_n(x)=\underset{\text{normering}}{\underbrace{\sqrt{\frac{2}{L}}}}\sin \underset{\begin{array}{c}n\text{ halva va˚g-}\\ \text{la¨ngder i la˚dan}\end{array}}{\underbrace{\frac{n\pi x}{L}}}$$

$$E_n=\underset{\begin{array}{c}\text{kvanttalet}\\ \text{i kvadrat}\end{array}}{\underbrace{n^2}}\cdot \underset{E_1\text{, grundniva˚n}}{\underbrace{\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}}}$$

Randvillkoren låter bara ett helt antal halva våglängder få plats, så ${\lambda }_n=2L/n$. Kortare våglängd betyder större rörelsemängd, och eftersom all energi är kinetisk växer den som $n^2$ — och blir större ju trängre lådan är.

---

1. Potentialen och randvillkoren

Potentialen är

$$U(x)=\{\begin{array}{ll}0& 0<x<L\\ \infty & \text{annars}\end{array}$$

Där $U=\infty$ måste $\psi =0$, annars blir termen $U\psi$ i Schrödingerekvationen oändlig. Eftersom $\psi$ ska vara kontinuerlig ger det randvillkoren

$$\psi (0)=0\psi (L)=0$$

Klassiskt studsar partikeln fram och tillbaka med konstant fart. Den kan ha vilken energi som helst, även noll, och den är lika sannolik att finnas överallt i lådan.

---

2. Lösningen

Inne i lådan är $U=0$, så ekvationen är densamma som för en fri partikel. Randvillkoren väljer ut vilka lösningar som är tillåtna.

Härledning av vågfunktioner och energinivåer

Ekvationen i lådan.

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=E\psi$$

Allmän lösning. Två motriktade vågor med $E={\hslash }^2{k}^2/2m$. Med Eulers formel:

$$\psi (x)=A_1{e}^{ikx}+A_2{e}^{-ikx}=\left(A_1+A_2\right)\cos kx+i\left(A_1-A_2\right)\sin kx$$

Vänster vägg. $\psi (0)=A_1+A_2=0$ ger $A_2=-A_1$. Då försvinner cosinustermen:

$$\psi (x)=2i{A}_1\sin kx=C\sin kx$$

Höger vägg. $\psi (L)=C\sin kL=0$ med $C\ne 0$ kräver

$$kL=n\pi n=1,2,3,\dots$$

$n=0$ ger $\psi \equiv 0$, alltså ingen partikel, och negativa $n$ ger samma tillstånd med omvänt tecken.

Våglängd och rörelsemängd.

$${\lambda }_n=\frac{2\pi }{k}=\frac{2L}{n}{p}_n=\frac{h}{{\lambda }_n}=\frac{nh}{2L}$$

Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden)

Energin. All energi är kinetisk:

$$E_n=\frac{p_n^2}{2m}=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$$

Lådan rymmer alltså ett helt antal halva våglängder, precis som en stående våg på en sträng som sitter fast i båda ändar:

$$\boxed{L=n\frac{{\lambda }_n}{2}}$$

Klassiskt kan partikeln studsa mellan väggarna med vilken fart som helst och är lika sannolik överallt. Kvantmekaniskt måste $\psi$ vara noll vid båda väggarna, så bara ett helt antal halva våglängder ryms — här $n=3$ — och därmed bara vissa energier.

---

3. Normering

Konstanten $C$ bestäms av normeringsvillkoret i Vågfunktion. Med ${\sin }^{2}u=(1-\cos 2u)/2$:

$${\int }_0^L{C}^2{\sin }^2\frac{n\pi x}{L}dx=C^2{\left[\frac{x}{2}-\frac{L}{4n\pi }\sin \frac{2n\pi x}{L}\right]}_0^L=C^2\frac{L}{2}$$

$$C^2\frac{L}{2}=1⟹C=\sqrt{\frac{2}{L}}$$

vilket är amplituden i rutan överst. Till skillnad från en sträng, där amplituden beror på hur man satte igång svängningen, är $C$ här helt bestämd.

---

4. Energinivåerna

Med grundnivån $E_1=h^2/(8m{L}^2)$ är $E_n=n^2{E}_1$. Nivåerna glesnar alltså uppåt:

$$E_{n+1}-E_n=\left(2n+1\right)E_1$$

• Energin är aldrig noll. Den lägsta energin är $E_1>0$. Partikeln är instängd på sträckan $L$, så $\Delta x\le L$, och då kan inte rörelsemängden vara exakt noll enligt Heisenbergs osäkerhetsprincip.
• Mindre låda ger högre energier. $E_n\propto 1/L^2$. Därför lyser små halvledarkristaller blåare än stora.
• Tyngre partikel ger tätare nivåer. $E_n\propto 1/m$. För makroskopiska föremål ligger nivåerna så tätt att kvantiseringen inte märks.
• Fotoner. Vid ett hopp från $n_i$ till $n_f$ sänds en foton ut med $hc/\lambda =E_{n_i}-E_{n_f}=(n_i^2-n_f^2)E_1$.

De fyra lägsta tillstånden, ritade på sina energinivåer. Vänster: ${\psi }_n$ har $n$ bukar och $n-1$ noder inne i lådan. Höger: sannolikhetstätheten $|{\psi }_n{|}^2$ är noll vid väggarna och i noderna.

---

5. Sannolikhetsfördelningen

Sannolikhetstätheten $|{\psi }_n{|}^2=(2/L){\sin }^2(n\pi x/L)$ är inte jämn som i det klassiska fallet. I grundtillståndet är partikeln oftast nära mitten. I $n=2$ är tätheten noll just i mitten. Sannolikheten för ett intervall får vi genom att integrera som i avsnitt 3:

$$\boxed{P(a\le x\le b)={\left[\frac{x}{L}-\frac{1}{2n\pi }\sin \frac{2n\pi x}{L}\right]}_a^b}$$

För stora $n$ svänger tätheten så snabbt att medelvärdet över ett intervall går mot det klassiska $1/L$. Så övergår kvantmekaniken i klassisk mekanik.

Den fullständiga tidsberoende vågfunktionen är ${\Psi }_n(x,t)={\psi }_n(x)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$. Tidsfaktorn försvinner i $|{\Psi }_n{|}^2$, så tillstånden är stationära.

Vanliga fel

• $n=0$ tas med. Den lägsta nivån är $n=1$. $n=0$ ger $\psi \equiv 0$ och ingen partikel alls.
• Nivåerna tros ligga på jämnt avstånd. $E_n\propto n^2$, så $E_2=4E_1$, inte $2E_1$.
• Fel antal noder. ${\psi }_n$ har $n$ bukar och $n-1$ noder inne i lådan, plus noderna vid väggarna.
• $h$ och $\hslash$ blandas. $E_n=n^2{h}^2/(8m{L}^2)=n^2{\pi }^2{\hslash }^2/(2m{L}^2)$. En blandning ger fel med en faktor $4{\pi }^2$.
• Energi i joule jämförs med eV. Räkna om med $1\text{ eV}=1,602\cdot 10^{-19}$ J innan fotonvåglängden beräknas med $hc=1240$ eV·nm.

---

6. Lösta exempel

Exempel — Elektron i en 1,00 nm lång molekyl

En elektron kan röra sig fritt längs en rak molekyl med längden $1,00$ nm och modelleras som en partikel i en låda. a) Beräkna de tre lägsta energinivåerna i eV. b) Beräkna våglängden hos fotonen som sänds ut vid övergången $n=3\to 1$ och vid $n=2\to 1$.

Lösning

a) Grundnivån:

$$E_1=\frac{h^2}{8m{L}^2}=\frac{{\left(6,626\cdot 10^{-34}\right)}^2}{8\cdot 9,109\cdot 10^{-31}\cdot {\left(1,00\cdot 10^{-9}\right)}^2}=6,02\cdot 10^{-20}\text{ J}=\boxed{0,376\text{ eV}}$$

Fysika: Te ($h$, $m_e$)

$$E_2=4E_1=\boxed{1,50\text{ eV}}{E}_3=9E_1=\boxed{3,38\text{ eV}}$$

b) Övergången $3\to 1$ har $\Delta E=8E_1=3,008$ eV:

$${\lambda }_{31}=\frac{hc}{\Delta E}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{3,008\text{ eV}}\approx \boxed{412\text{ nm}}$$

Övergången $2\to 1$ har $\Delta E=3E_1=1,128$ eV:

$${\lambda }_{21}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{1,128\text{ eV}}\approx \boxed{1,10\text{ μm}}$$

Den första ligger i det violetta, den andra i det infraröda.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Mittersta tredjedelen av lådan

En partikel i en låda med bredden $L$ är i tillståndet $n=1$ respektive $n=2$. Beräkna i båda fallen sannolikheten att hitta partikeln i den mittersta tredjedelen, $L/3\le x\le 2L/3$, och jämför med det klassiska värdet.

Lösning

Formeln. Med $P={\left[x/L-\sin (2n\pi x/L)/(2n\pi )\right]}_{L/3}^{2L/3}$ blir första termen alltid $1/3$.

$n=1$. $\sin (4\pi /3)=-\sqrt{3}/2$ och $\sin (2\pi /3)=\sqrt{3}/2$:

$$P_1=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\pi }\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2\pi }\approx \boxed{0,609}$$

$n=2$. $\sin (8\pi /3)=\sqrt{3}/2$ och $\sin (4\pi /3)=-\sqrt{3}/2$:

$$P_2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4\pi }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi }\approx \boxed{0,196}$$

Jämförelse. Klassiskt är sannolikheten $1/3\approx 0,333$. Grundtillståndet samlar partikeln i mitten, medan $n=2$ har en nod där och trycker ut partikeln mot sidorna.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 40.2 Particle in a Box

---

← Vågfunktion · F0005T · Partikel i tvådimensionell låda →