Vågfunktion

Kurs: F0005T Förkunskaper: Schrödingerekvationen

---

Vågfunktionen $\psi (x)$ beskriver partikelns fördelning i rummet, men är inte själv mätbar. Max Born gav år 1926 tolkningen att $|\psi (x){|}^{2}dx$ är sannolikheten att hitta partikeln nära $x$. Eftersom partikeln måste finnas någonstans ger det ett randvillkor utöver de rumsliga: integralen över hela området ska vara ett, vilket är det som bestämmer amplitudkonstanten. $\psi$ måste dessutom vara kontinuerlig och ändlig överallt.

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\psi (x)\right|}^{2}dx=1}$$

---

Formeln, symbol för symbol

$$\stackrel{\text{summera o¨verallt}}{\overbrace{{\int }_{-\infty }^{\infty }}}\underset{\begin{array}{c}\text{sannolikheten att}\\ \text{hitta den na¨ra }x\end{array}}{\underbrace{{\left|\psi (x)\right|}^{2}dx}}=\underset{\begin{array}{c}\text{partikeln finns}\\ \text{na˚gonstans}\end{array}}{\underbrace{1}}$$

$$\underset{\begin{array}{c}\text{sannolikhets-}\\ \text{ta¨thet, 1/m}\end{array}}{\underbrace{|\psi {|}^2}}=\underset{\begin{array}{c}\text{alltid reell}\\ \text{och }\ge 0\end{array}}{\underbrace{{\psi }^{\ast }\psi }}$$

Vågfunktionen själv mäts aldrig; det är $|\psi {|}^2$ som säger var partikeln brukar hittas. Upprepar man en lägesmätning många gånger hamnar resultaten tätt där $|\psi {|}^2$ är stor, och sannolikheterna över hela axeln måste summera till ett.

---

1. Komplex vågfunktion och sannolikhetstäthet

Lösningarna till Schrödingerekvationen är i allmänhet komplexa, så $\psi$ själv kan inte vara en mätbar storhet. Det som har en fysikalisk tolkning är absolutbeloppet i kvadrat,

$$|\psi {|}^2={\psi }^{\ast }\psi$$

som alltid är reellt och aldrig negativt. $|\psi (x){|}^2$ kallas sannolikhetstäthet. I en dimension har den enheten ${\mathrm{m}}^{-1}$, och det är först produkten $|\psi {|}^{2}dx$ som är en sannolikhet.

För en fri partikel med bestämd rörelsemängd, $\Psi =A{e}^{i(kx-\omega t)}$, blir

$$|\Psi {|}^2=A^{\ast }{e}^{-i(kx-\omega t)}A{e}^{i(kx-\omega t)}=|A{|}^2$$

Tätheten är densamma överallt, så partikeln kan finnas var som helst. Det stämmer med Heisenbergs osäkerhetsprincip: $\Delta p_x=0$ kräver $\Delta x=\infty$. En sådan våg kan inte normeras. En lokaliserad partikel beskrivs i stället av ett vågpaket, en överlagring av många vågor med olika $k$. Ju fler $k$-värden som ingår, desto smalare blir paketet.

---

2. Sannolikhet i ett intervall

Sannolikheten att hitta partikeln mellan $a$ och $b$ är arean under $|\psi {|}^2$ över intervallet:

$$\boxed{P(a\le x\le b)={\int }_a^b{\left|\psi (x)\right|}^{2}dx}$$

Normeringsvillkoret i rutan överst är specialfallet där intervallet är hela $x$-axeln, och sannolikheten då är $1$.

Borns tolkning i bild. Överst: många lägesmätningar på identiskt preparerade partiklar, en prick per mätning. Nederst: $|\psi {|}^2$ för $\psi \propto e^{-|x|}$. Prickarna ligger tätt där $|\psi {|}^2$ är stor, och andelen prickar mellan $a$ och $b$ närmar sig den skuggade arean.

---

3. Normering

Ofta är vågfunktionens form känd men inte konstanten framför, till exempel $\psi =C\sin (n\pi x/L)$ i Partikel i låda. Konstanten bestäms i tre steg:

1. Skriv $|\psi {|}^2$ med konstanten okänd.
2. Integrera över hela området där $\psi \ne 0$.
3. Sätt integralen lika med $1$ och lös ut konstanten.

För ett stationärt tillstånd är $|\Psi (x,t){|}^2=|\psi (x){|}^2$, så en normerad vågfunktion förblir normerad vid alla tider. Konstanten kan väljas reell och positiv. En gemensam fasfaktor $e^{i\alpha }$ ändrar inte $|\psi {|}^2$ och har ingen fysikalisk betydelse.

---

4. Krav på en godtagbar vågfunktion

• Normerbar: $\int |\psi {|}^{2}dx$ är ändlig, alltså $\psi \to 0$ när $x\to \pm \infty$.
• Kontinuerlig: annars vore andraderivatan i Schrödingerekvationen oändlig.
• Kontinuerlig derivata överallt där potentialen är ändlig.
• Noll där $U=\infty$: partikeln kan inte finnas där.

Funktioner som löser ekvationen men bryter mot något krav stryks. Det är så de tillåtna energierna väljs ut.

Vanliga fel

• $|\psi {|}^2$ tas för en sannolikhet. Det är en täthet med enheten ${\mathrm{m}}^{-1}$, och den kan vara större än $1$. Sannolikheten fås först efter integration över ett intervall.
• ${\psi }^2$ i stället för $|\psi {|}^2$. För en komplex vågfunktion är $|\psi {|}^2={\psi }^{\ast }\psi$. Kvadraten ${\psi }^2$ är i allmänhet komplex och saknar tolkning.
• Man integrerar $\psi$ i stället för $|\psi {|}^2$. Både normering och sannolikhet bygger på kvadraten.
• Fel integrationsområde. Är $\psi =0$ utanför ett område räcker det att integrera över området. Är $\psi$ symmetrisk kan man integrera över halva och multiplicera med två.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Normering av en exponentiell vågfunktion

En partikel beskrivs av $\psi (x)=A{e}^{-|x|/a}$, där $a>0$. Normera vågfunktionen och beräkna sannolikheten att partikeln finns i intervallet $-a\le x\le a$.

Lösning

Normering. Funktionen är jämn, så vi integrerar över $x\ge 0$ och multiplicerar med två:

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{A}^2{e}^{-2|x|/a}dx=2A^2{\int }_0^{\infty }{e}^{-2x/a}dx=2A^2\cdot \frac{a}{2}=A^{2}a$$

$$A^{2}a=1⟹\boxed{A=\frac{1}{\sqrt{a}}}$$

Sannolikheten.

$$P=2{\int }_0^a\frac{1}{a}{e}^{-2x/a}dx=2\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{a}{2}\left[1-e^{-2}\right]=1-e^{-2}\approx \boxed{0,865}$$

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Parabel som vågfunktion i en låda

I en låda $0\le x\le L$ approximeras grundtillståndet med $\psi (x)=Ax(L-x)$, och $\psi =0$ utanför lådan. Normera funktionen och beräkna sannolikheten att partikeln finns i $0\le x\le L/4$. Jämför med den exakta sinusfunktionen, som ger $1/4-1/(2\pi )\approx 0,0908$.

Lösning

Normering. Med $u=x/L$ är $x^2(L-x{)}^2=L^4{u}^2(1-u{)}^2$ och $dx=Ldu$:

$$A^2{L}^5{\int }_0^1{u}^2(1-u{)}^{2}du=A^2{L}^5{\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{2}+\frac{u^5}{5}\right]}_0^1=\frac{A^2{L}^5}{30}$$

$$\boxed{A=\sqrt{\frac{30}{L^5}}}$$

Sannolikheten. Samma primitiva funktion, nu till $u=1/4$:

$$P=30{\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{2}+\frac{u^5}{5}\right]}_0^{1/4}=30\left(\frac{1}{192}-\frac{1}{512}+\frac{1}{5120}\right)=\frac{53}{512}\approx \boxed{0,104}$$

Parabeln ger $0,104$ mot sinusfunktionens $0,0908$. Den lägger lite för mycket sannolikhet nära väggarna men fångar huvuddragen: partikeln finns oftast i mitten.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 40.1 Wave Functions and the One-Dimensional Schrödinger Equation

---

← Schrödingerekvationen · F0005T · Partikel i låda →