--- kurs: - F0005T tags: - fysik - kvantfysik - storhet förkunskaper: - "[[Schrödingerekvationen]]" status: utkast aliases: - Vågfunktionen - Borns tolkning - Normering - Sannolikhetstäthet --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Schrödingerekvationen]] --- Vågfunktionen $\psi(x)$ beskriver partikelns fördelning i rummet, men är inte själv mätbar. Max Born gav år 1926 tolkningen att $|\psi(x)|^2\,dx$ är sannolikheten att hitta partikeln nära $x$. Eftersom partikeln måste finnas någonstans ger det ett randvillkor utöver de rumsliga: integralen över hela området ska vara ett, vilket är det som bestämmer amplitudkonstanten. $\psi$ måste dessutom vara kontinuerlig och ändlig överallt. $$ \boxed{\;\int_{-\infty}^{\infty}\left|\psi(x)\right|^{2}dx=1\;} $$ --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \overbrace{\int_{-\infty}^{\infty}}^{\text{summera överallt}} \underbrace{\left|\psi(x)\right|^{2}dx}_{\substack{\text{sannolikheten att}\\\text{hitta den nära }x}} =\underbrace{1}_{\substack{\text{partikeln finns}\\\text{någonstans}}} $$ $$ \underbrace{|\psi|^{2}}_{\substack{\text{sannolikhets-}\\\text{täthet, 1/m}}} =\underbrace{\psi^{*}\psi}_{\substack{\text{alltid reell}\\\text{och }\ge0}} $$ Vågfunktionen själv mäts aldrig; det är $|\psi|^2$ som säger var partikeln brukar hittas. Upprepar man en lägesmätning många gånger hamnar resultaten tätt där $|\psi|^2$ är stor, och sannolikheterna över hela axeln måste summera till ett. --- ## 1. Komplex vågfunktion och sannolikhetstäthet Lösningarna till [[Schrödingerekvationen]] är i allmänhet komplexa, så $\psi$ själv kan inte vara en mätbar storhet. Det som har en fysikalisk tolkning är absolutbeloppet i kvadrat, $$ |\psi|^{2}=\psi^{*}\psi $$ som alltid är reellt och aldrig negativt. $|\psi(x)|^2$ kallas **sannolikhetstäthet**. I en dimension har den enheten $\mathrm{m^{-1}}$, och det är först produkten $|\psi|^2\,dx$ som är en sannolikhet. För en fri partikel med bestämd rörelsemängd, $\Psi=Ae^{i(kx-\omega t)}$, blir $$ |\Psi|^{2}=A^{*}e^{-i(kx-\omega t)}\,Ae^{i(kx-\omega t)}=|A|^{2} $$ Tätheten är densamma överallt, så partikeln kan finnas var som helst. Det stämmer med [[Heisenbergs osäkerhetsprincip]]: $\Delta p_x=0$ kräver $\Delta x=\infty$. En sådan våg kan inte normeras. En lokaliserad partikel beskrivs i stället av ett **vågpaket**, en överlagring av många vågor med olika $k$. Ju fler $k$-värden som ingår, desto smalare blir paketet. --- ## 2. Sannolikhet i ett intervall Sannolikheten att hitta partikeln mellan $a$ och $b$ är arean under $|\psi|^2$ över intervallet: $$ \boxed{P(a\le x\le b)=\int_a^b\left|\psi(x)\right|^{2}dx} $$ Normeringsvillkoret i rutan överst är specialfallet där intervallet är hela $x$-axeln, och sannolikheten då är $1$. ![[f05-psi-prickar.png|520]] *Borns tolkning i bild. Överst: många lägesmätningar på identiskt preparerade partiklar, en prick per mätning. Nederst: $|\psi|^2$ för $\psi\propto e^{-|x|}$. Prickarna ligger tätt där $|\psi|^2$ är stor, och andelen prickar mellan $a$ och $b$ närmar sig den skuggade arean.* --- ## 3. Normering Ofta är vågfunktionens form känd men inte konstanten framför, till exempel $\psi=C\sin(n\pi x/L)$ i [[Partikel i låda]]. Konstanten bestäms i tre steg: 1. Skriv $|\psi|^2$ med konstanten okänd. 2. Integrera över hela området där $\psi\neq0$. 3. Sätt integralen lika med $1$ och lös ut konstanten. För ett stationärt tillstånd är $|\Psi(x,t)|^2=|\psi(x)|^2$, så en normerad vågfunktion förblir normerad vid alla tider. Konstanten kan väljas reell och positiv. En gemensam fasfaktor $e^{i\alpha}$ ändrar inte $|\psi|^2$ och har ingen fysikalisk betydelse. --- ## 4. Krav på en godtagbar vågfunktion - **Normerbar:** $\displaystyle\int|\psi|^2\,dx$ är ändlig, alltså $\psi\to0$ när $x\to\pm\infty$. - **Kontinuerlig:** annars vore andraderivatan i Schrödingerekvationen oändlig. - **Kontinuerlig derivata** överallt där potentialen är ändlig. - **Noll där $U=\infty$:** partikeln kan inte finnas där. Funktioner som löser ekvationen men bryter mot något krav stryks. Det är så de tillåtna energierna väljs ut. > [!warning] Vanliga fel > - **$|\psi|^2$ tas för en sannolikhet.** Det är en täthet med enheten $\mathrm{m^{-1}}$, och den kan vara större än $1$. Sannolikheten fås först efter integration över ett intervall. > - **$\psi^2$ i stället för $|\psi|^2$.** För en komplex vågfunktion är $|\psi|^2=\psi^*\psi$. Kvadraten $\psi^2$ är i allmänhet komplex och saknar tolkning. > - **Man integrerar $\psi$ i stället för $|\psi|^2$.** Både normering och sannolikhet bygger på kvadraten. > - **Fel integrationsområde.** Är $\psi=0$ utanför ett område räcker det att integrera över området. Är $\psi$ symmetrisk kan man integrera över halva och multiplicera med två. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Normering av en exponentiell vågfunktion > En partikel beskrivs av $\psi(x)=Ae^{-|x|/a}$, där $a>0$. Normera vågfunktionen och beräkna sannolikheten att partikeln finns i intervallet $-a\le x\le a$. > > > [!note]- Lösning > > **Normering.** Funktionen är jämn, så vi integrerar över $x\ge0$ och multiplicerar med två: > > $$ > > \int_{-\infty}^{\infty}A^{2}e^{-2|x|/a}\,dx=2A^{2}\int_0^{\infty}e^{-2x/a}\,dx=2A^{2}\cdot\dfrac{a}{2}=A^{2}a > > $$ > > $$ > > A^{2}a=1\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{A=\dfrac{1}{\sqrt{a}}} > > $$ > > > > **Sannolikheten.** > > $$ > > P=2\int_0^{a}\dfrac{1}{a}e^{-2x/a}\,dx=2\cdot\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{a}{2}\left[1-e^{-2}\right]=1-e^{-2}\approx\boxed{0{,}865} > > $$ > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Parabel som vågfunktion i en låda > I en låda $0\le x\le L$ approximeras grundtillståndet med $\psi(x)=Ax(L-x)$, och $\psi=0$ utanför lådan. Normera funktionen och beräkna sannolikheten att partikeln finns i $0\le x\le L/4$. Jämför med den exakta sinusfunktionen, som ger $1/4-1/(2\pi)\approx0{,}0908$. > > > [!note]- Lösning > > **Normering.** Med $u=x/L$ är $x^{2}(L-x)^{2}=L^{4}u^{2}(1-u)^{2}$ och $dx=L\,du$: > > $$ > > A^{2}L^{5}\int_0^{1}u^{2}(1-u)^{2}\,du=A^{2}L^{5}\left[\dfrac{u^{3}}{3}-\dfrac{u^{4}}{2}+\dfrac{u^{5}}{5}\right]_0^{1}=\dfrac{A^{2}L^{5}}{30} > > $$ > > $$ > > \boxed{A=\sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}}} > > $$ > > > > **Sannolikheten.** Samma primitiva funktion, nu till $u=1/4$: > > $$ > > P=30\left[\dfrac{u^{3}}{3}-\dfrac{u^{4}}{2}+\dfrac{u^{5}}{5}\right]_0^{1/4}=30\left(\dfrac{1}{192}-\dfrac{1}{512}+\dfrac{1}{5120}\right)=\dfrac{53}{512}\approx\boxed{0{,}104} > > $$ > > > > Parabeln ger $0{,}104$ mot sinusfunktionens $0{,}0908$. Den lägger lite för mycket sannolikhet nära väggarna men fångar huvuddragen: partikeln finns oftast i mitten. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1351|40.1 Wave Functions and the One-Dimensional Schrödinger Equation]] --- ← [[Schrödingerekvationen]] · [[F0005T]] · [[Partikel i låda]] →