Tillståndstäthet

Kurs: F0005T Förkunskaper: Energiband

---

Tillståndstätheten $dn/dE$ anger hur många tillstånd $dn$ som ryms i energiintervallet $dE$. Den beskriver bandens form som funktion av energin och är den ena av de två faktorer som avgör hur många elektroner som faktiskt sitter var; den andra är Fermi-Dirac-fördelningen.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{tillsta˚nd}\\ \text{per energi}\end{array}}{\underbrace{g(E)}}=\underset{\begin{array}{c}\text{konstant fo¨r}\\ \text{en given bit}\end{array}}{\underbrace{\frac{(2m{)}^{3/2}V}{2{\pi }^2{\hslash }^3}}}\underset{\begin{array}{c}\text{va¨xer uppa˚t}\\ \text{i bandet}\end{array}}{\underbrace{E^{1/2}}}$$

Tillstånden är punkter i ett rum av kvanttal, och energin bestämmer radien. Ett tunt skal mellan $E$ och $E+dE$ rymmer fler punkter ju längre ut det ligger, och därför växer tätheten som $\sqrt{E}$.

---

1. Att räkna tillstånden

I frielektronmodellen sitter elektronerna i en kub med sidan $L$ och volymen $V=L^3$. Det är den tredimensionella partikeln i låda, med nivåerna

$$E=\frac{\left(n_X^2+n_Y^2+n_Z^2\right){\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2},n_X,n_Y,n_Z=1,2,3,\dots$$

Fysika: Fd3 (i formen för en endimensionell låda)

Varje tillstånd är en punkt med heltalskoordinater i ett rum med axlarna $n_X,n_Y,n_Z$. Alla tillstånd med energi upp till $E$ ligger innanför en sfär med radien $n_{rs}=\sqrt{n_X^2+n_Y^2+n_Z^2}$. I stället för att räkna punkterna en och en räknar vi volymen, eftersom varje punkt tar upp en enhetskub.

Tillstånden som gitterpunkter i ett snitt av $n$-rummet. Alla med energi under $E$ ligger innanför kvartscirkeln med radien $n_{rs}$, i tre dimensioner en åttondels sfär. Där växer volymen av skalet mellan $E$ och $E+dE$ med radien, som $\sqrt{E}$.

Härledning av antalet tillstånd upp till $E$

Bara positiva kvanttal räknas, alltså en åttondel av sfären. Två spinnriktningar per punkt ger faktorn $2$:

$$n=2\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{4}{3}\pi n_{rs}^3=\frac{\pi n_{rs}^3}{3}$$

Energin på sfärens yta ger radien:

$$E=\frac{n_{rs}^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$$

$$n_{rs}=\frac{{\left(2m{L}^{2}E\right)}^{1/2}}{\pi \hslash }$$

Insatt:

$$n=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{{\left(2m{L}^{2}E\right)}^{3/2}}{{\pi }^3{\hslash }^3}=\frac{(2m{)}^{3/2}{L}^3{E}^{3/2}}{3{\pi }^2{\hslash }^3}$$

Med $L^3=V$:

$$\boxed{n(E)=\frac{(2m{)}^{3/2}V{E}^{3/2}}{3{\pi }^2{\hslash }^3}}$$

Räkningen med volym i stället för punkter kräver att $n_{rs}$ är stort. För en centimeterstor metallbit är det vid $E_F$ i storleksordningen $10^7$, så approximationen är utmärkt.

---

2. Tillståndstätheten

Tillståndstätheten är derivatan av antalet tillstånd med avseende på energin:

$$g(E)=\frac{dn}{dE}=\frac{(2m{)}^{3/2}V}{3{\pi }^2{\hslash }^3}\cdot \frac{3}{2}{E}^{1/2}$$

$$\boxed{g(E)=\frac{(2m{)}^{3/2}V}{2{\pi }^2{\hslash }^3}{E}^{1/2}}$$

Tätheten växer som $\sqrt{E}$: högre upp i bandet finns fler tillstånd per energiintervall. Den är proportionell mot $V$, så en dubbelt så stor bit har dubbelt så många tillstånd i varje intervall.

---

3. En kompakt form

Vid $T=0$ är de $N$ lägsta tillstånden fyllda, upp till ferminivån, så $n(E_F)=N$. Eftersom $n\propto E^{3/2}$ kan vi skriva

$$n(E)=N{\left(\frac{E}{E_F}\right)}^{3/2}$$

$$\boxed{g(E)=\frac{3N}{2}\cdot \frac{E^{1/2}}{E_F^{3/2}}},g(E_F)=\frac{3N}{2E_F}$$

Den formen slipper $m$, $\hslash$ och $V$, och den säger direkt hur många tillstånd som finns nära $E_F$, där allt intressant händer.

---

4. Antalet elektroner i ett energiintervall

$g(E)dE$ är antalet tillstånd i intervallet. Hur många av dem som faktiskt är besatta ges av sannolikheten $f(E)$ från Fermi-Dirac-fördelningen:

$$\boxed{dN=g(E)f(E)dE}$$

Vid $T=0$ är $f=1$ under $E_F$ och $0$ över, och $g\cdot f$ blir en $\sqrt{E}$-kurva som klipps av vid $E_F$. Vid högre temperatur rundas kanten av inom några $kT$. Figuren finns i noten om Fermi-Dirac-fördelningen.

$\sqrt{E}$-formen gäller fria elektroner. I ett verkligt band är $g(E)$ mer komplicerad, och i ett bandgap är den noll: där finns inga tillstånd att besätta.

Vanliga fel

• Åttondelen eller spinnfaktorn glöms. Bara positiva $n_X,n_Y,n_Z$ räknas ($\frac{1}{8}$ av sfären), och varje punkt rymmer två elektroner. Tillsammans ger de faktorn $\frac{1}{4}$ framför sfärens volym.
• $g(E)$ tas för ett antal. $g$ har enheten tillstånd per energi. Antalet i ett intervall är $g(E)\Delta E$, och bara om intervallet är litet.
• Tillstånd och elektroner blandas. $g(E)$ räknar platser. Elektronerna i intervallet är $g(E)f(E)dE$.
• Fel enhet på energin. I $g(E)=(2m{)}^{3/2}V\sqrt{E}/(2{\pi }^2{\hslash }^3)$ ska $E$ vara i joule, och svaret blir tillstånd per joule. Delas det med $6,24\cdot 10^{18}$ fås tillstånd per eV.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Tillstånden nära Ferminivån i natrium

Natrium har elektronkoncentrationen $2,54\cdot 10^{28}$ m⁻³ och ferminivån $3,15$ eV. Bestäm tillståndstätheten vid $E_F$ för en bit på $1,00$ cm³, i tillstånd per eV. Ungefär hur stor andel av elektronerna ligger inom $kT$ under $E_F$ vid $300$ K?

Lösning

Antalet elektroner.

$$N=nV=2,54\cdot 10^{28}\cdot 1,00\cdot 10^{-6}=2,54\cdot 10^{22}$$

Tillståndstätheten. Med den kompakta formen:

$$g(E_F)=\frac{3N}{2E_F}=\frac{3\cdot 2,54\cdot 10^{22}}{2\cdot 3,15\text{ eV}}=\boxed{1,21\cdot 10^{22}{\text{ eV}}^{-1}}$$

Kontroll med den fullständiga formeln. Med $E_F=5,05\cdot 10^{-19}$ J:

$$g(E_F)=\frac{(2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}{)}^{3/2}\cdot 10^{-6}\cdot \sqrt{5,05\cdot 10^{-19}}}{2{\pi }^2(1,0546\cdot 10^{-34}{)}^3}=7,55\cdot 10^{40}{\text{ J}}^{-1}$$

Fysika: Te och $7,55\cdot 10^{40}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}=1,21\cdot 10^{22}$ eV⁻¹, samma svar.

Elektronerna inom $kT$. $kT=0,0259$ eV är litet jämfört med $E_F$, så $g$ är nästan konstant i intervallet:

$$\Delta N\approx g(E_F)kT=1,21\cdot 10^{22}\cdot 0,0259=3,13\cdot 10^{20}$$

$$\frac{\Delta N}{N}=\frac{3,13\cdot 10^{20}}{2,54\cdot 10^{22}}=\boxed{1,23\%}$$

Bara drygt en procent av elektronerna ligger så nära $E_F$ att värmerörelsen kan flytta dem. Det är de som bestämmer metallens elektroniska värmekapacitet.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 42.5 Free-Electron Model of Metals

---

← Ferminivån · F0005T · Fermi-Dirac-fördelningen →