---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - fasta tillståndets fysik
  - storhet
förkunskaper:
  - "[[Energiband]]"
status: utkast
aliases:
  - Density of states
  - DOS
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Energiband]]

---

Tillståndstätheten $dn/dE$ anger hur många tillstånd $dn$ som ryms i energiintervallet $dE$. Den beskriver bandens form som funktion av energin och är den ena av de två faktorer som avgör hur många elektroner som faktiskt sitter var; den andra är Fermi-Dirac-fördelningen.

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{g(E)}_{\substack{\text{tillstånd}\\\text{per energi}}}
=\underbrace{\dfrac{(2m)^{3/2}\,V}{2\pi^{2}\hbar^{3}}}_{\substack{\text{konstant för}\\\text{en given bit}}}\,
\underbrace{E^{1/2}}_{\substack{\text{växer uppåt}\\\text{i bandet}}}
$$

Tillstånden är punkter i ett rum av kvanttal, och energin bestämmer radien. Ett tunt skal mellan $E$ och $E+dE$ rymmer fler punkter ju längre ut det ligger, och därför växer tätheten som $\sqrt E$.

---

## 1. Att räkna tillstånden

I frielektronmodellen sitter elektronerna i en kub med sidan $L$ och volymen $V=L^3$. Det är den tredimensionella [[Partikel i låda|partikeln i låda]], med nivåerna

$$
E=\dfrac{\left(n_X^{2}+n_Y^{2}+n_Z^{2}\right)\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\qquad n_X,n_Y,n_Z=1,2,3,\dots
$$
*Fysika: Fd3 (i formen för en endimensionell låda)*

Varje tillstånd är en punkt med heltalskoordinater i ett rum med axlarna $n_X,n_Y,n_Z$. Alla tillstånd med energi upp till $E$ ligger innanför en sfär med radien $n_{rs}=\sqrt{n_X^2+n_Y^2+n_Z^2}$. I stället för att räkna punkterna en och en räknar vi volymen, eftersom varje punkt tar upp en enhetskub.

![[f05-tillstand-nrum.png|520]]

*Tillstånden som gitterpunkter i ett snitt av $n$-rummet. Alla med energi under $E$ ligger innanför kvartscirkeln med radien $n_{rs}$, i tre dimensioner en åttondels sfär. Där växer volymen av skalet mellan $E$ och $E+dE$ med radien, som $\sqrt E$.*

> [!note]- Härledning av antalet tillstånd upp till $E$
> Bara positiva kvanttal räknas, alltså en åttondel av sfären. Två spinnriktningar per punkt ger faktorn $2$:
>
> $$
> n=2\cdot\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4}{3}\pi n_{rs}^{3}=\dfrac{\pi n_{rs}^{3}}{3}
> $$
>
> Energin på sfärens yta ger radien:
>
> $$
> E=\dfrac{n_{rs}^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}
> $$
>
> $$
> n_{rs}=\dfrac{\left(2mL^{2}E\right)^{1/2}}{\pi\hbar}
> $$
>
> Insatt:
>
> $$
> n=\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{\left(2mL^{2}E\right)^{3/2}}{\pi^{3}\hbar^{3}}=\dfrac{(2m)^{3/2}L^{3}E^{3/2}}{3\pi^{2}\hbar^{3}}
> $$

Med $L^3=V$:

$$
\boxed{n(E)=\dfrac{(2m)^{3/2}\,V\,E^{3/2}}{3\pi^{2}\hbar^{3}}}
$$

Räkningen med volym i stället för punkter kräver att $n_{rs}$ är stort. För en centimeterstor metallbit är det vid $E_F$ i storleksordningen $10^{7}$, så approximationen är utmärkt.

---

## 2. Tillståndstätheten

Tillståndstätheten är derivatan av antalet tillstånd med avseende på energin:

$$
g(E)=\dfrac{dn}{dE}=\dfrac{(2m)^{3/2}\,V}{3\pi^{2}\hbar^{3}}\cdot\dfrac{3}{2}E^{1/2}
$$

$$
\boxed{g(E)=\dfrac{(2m)^{3/2}\,V}{2\pi^{2}\hbar^{3}}\,E^{1/2}}
$$

Tätheten växer som $\sqrt E$: högre upp i bandet finns fler tillstånd per energiintervall. Den är proportionell mot $V$, så en dubbelt så stor bit har dubbelt så många tillstånd i varje intervall.

---

## 3. En kompakt form

Vid $T=0$ är de $N$ lägsta tillstånden fyllda, upp till [[Ferminivån|ferminivån]], så $n(E_F)=N$. Eftersom $n\propto E^{3/2}$ kan vi skriva

$$
n(E)=N\left(\dfrac{E}{E_F}\right)^{3/2}
$$

$$
\boxed{g(E)=\dfrac{3N}{2}\cdot\dfrac{E^{1/2}}{E_F^{3/2}}},\qquad g(E_F)=\dfrac{3N}{2E_F}
$$

Den formen slipper $m$, $\hbar$ och $V$, och den säger direkt hur många tillstånd som finns nära $E_F$, där allt intressant händer.

---

## 4. Antalet elektroner i ett energiintervall

$g(E)\,dE$ är antalet **tillstånd** i intervallet. Hur många av dem som faktiskt är besatta ges av sannolikheten $f(E)$ från [[Fermi-Dirac-fördelningen]]:

$$
\boxed{dN=g(E)\,f(E)\,dE}
$$

Vid $T=0$ är $f=1$ under $E_F$ och $0$ över, och $g\cdot f$ blir en $\sqrt E$-kurva som klipps av vid $E_F$. Vid högre temperatur rundas kanten av inom några $kT$. Figuren finns i noten om Fermi-Dirac-fördelningen.

$\sqrt E$-formen gäller fria elektroner. I ett verkligt band är $g(E)$ mer komplicerad, och i ett bandgap är den noll: där finns inga tillstånd att besätta.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Åttondelen eller spinnfaktorn glöms.** Bara positiva $n_X,n_Y,n_Z$ räknas ($\tfrac18$ av sfären), och varje punkt rymmer två elektroner. Tillsammans ger de faktorn $\tfrac14$ framför sfärens volym.
> - **$g(E)$ tas för ett antal.** $g$ har enheten tillstånd per energi. Antalet i ett intervall är $g(E)\,\Delta E$, och bara om intervallet är litet.
> - **Tillstånd och elektroner blandas.** $g(E)$ räknar platser. Elektronerna i intervallet är $g(E)f(E)\,dE$.
> - **Fel enhet på energin.** I $g(E)=(2m)^{3/2}V\sqrt E/(2\pi^2\hbar^3)$ ska $E$ vara i joule, och svaret blir tillstånd per joule. Delas det med $6{,}24\cdot10^{18}$ fås tillstånd per eV.

---

## 5. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Tillstånden nära Ferminivån i natrium
> Natrium har elektronkoncentrationen $2{,}54\cdot10^{28}$ m⁻³ och ferminivån $3{,}15$ eV. Bestäm tillståndstätheten vid $E_F$ för en bit på $1{,}00$ cm³, i tillstånd per eV. Ungefär hur stor andel av elektronerna ligger inom $kT$ under $E_F$ vid $300$ K?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Antalet elektroner.**
> > $$
> > N=nV=2{,}54\cdot10^{28}\cdot1{,}00\cdot10^{-6}=2{,}54\cdot10^{22}
> > $$
> >
> > **Tillståndstätheten.** Med den kompakta formen:
> > $$
> > g(E_F)=\dfrac{3N}{2E_F}=\dfrac{3\cdot2{,}54\cdot10^{22}}{2\cdot3{,}15\text{ eV}}=\boxed{1{,}21\cdot10^{22}\text{ eV}^{-1}}
> > $$
> >
> > **Kontroll med den fullständiga formeln.** Med $E_F=5{,}05\cdot10^{-19}$ J:
> > $$
> > g(E_F)=\dfrac{(2\cdot9{,}109\cdot10^{-31})^{3/2}\cdot10^{-6}\cdot\sqrt{5{,}05\cdot10^{-19}}}{2\pi^{2}(1{,}0546\cdot10^{-34})^{3}}=7{,}55\cdot10^{40}\text{ J}^{-1}
> > $$
> > *Fysika: Te*
> > och $7{,}55\cdot10^{40}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}=1{,}21\cdot10^{22}$ eV⁻¹, samma svar.
> >
> > **Elektronerna inom $kT$.** $kT=0{,}0259$ eV är litet jämfört med $E_F$, så $g$ är nästan konstant i intervallet:
> > $$
> > \Delta N\approx g(E_F)\,kT=1{,}21\cdot10^{22}\cdot0{,}0259=3{,}13\cdot10^{20}
> > $$
> > $$
> > \dfrac{\Delta N}{N}=\dfrac{3{,}13\cdot10^{20}}{2{,}54\cdot10^{22}}=\boxed{1{,}23\ \%}
> > $$
> >
> > Bara drygt en procent av elektronerna ligger så nära $E_F$ att värmerörelsen kan flytta dem. Det är de som bestämmer metallens elektroniska värmekapacitet.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1451|42.5 Free-Electron Model of Metals]]

---

← [[Ferminivån]] · [[F0005T]] · [[Fermi-Dirac-fördelningen]] →