--- kurs: - F0005T tags: - fysik - kvantfysik - modell förkunskaper: - "[[Schrödingerekvationen]]" - "[[Vågfunktion]]" - "[[Stående våg]]" status: utkast aliases: - Partikeln i lådan - Oändlig potentialbrunn - PIL --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Schrödingerekvationen]], [[Vågfunktion]], [[Stående våg]] --- Den enklaste bundna kvantmekaniska modellen: en partikel instängd mellan $0$ och $L$ med $U=0$ inuti och oändligt utanför, användbar som modell för en elektron i en linjär molekyl eller i en tunn metalltråd. Randvillkoren $\psi(0)=\psi(L)=0$ tvingar lösningen att bli en sinus med ett helt antal halva våglängder i lådan — precis som en stående våg på en sträng — och ur det följer kvantiserade energinivåer. Nivån $n=1$ har inte energin noll trots att $U=0$ i lådan, och antalet bukar i $\psi$ ger kvanttalet $n$ direkt. $$ \boxed{\;\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\dfrac{n\pi x}{L}\qquad E_n=\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}\;} $$ *Fysika: Fd3 (fri partikel i endimensionell låda, med $a$ för lådans storlek)* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \psi_n(x)=\underbrace{\sqrt{\dfrac{2}{L}}}_{\text{normering}}\, \sin\underbrace{\dfrac{n\pi x}{L}}_{\substack{n\text{ halva våg-}\\\text{längder i lådan}}} $$ $$ E_n=\underbrace{n^{2}}_{\substack{\text{kvanttalet}\\\text{i kvadrat}}}\cdot \underbrace{\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}}_{E_1\text{, grundnivån}} $$ Randvillkoren låter bara ett helt antal halva våglängder få plats, så $\lambda_n=2L/n$. Kortare våglängd betyder större rörelsemängd, och eftersom all energi är kinetisk växer den som $n^2$ — och blir större ju trängre lådan är. --- ## 1. Potentialen och randvillkoren Potentialen är $$ U(x)=\begin{cases}0 & 0 [!note]- Härledning av vågfunktioner och energinivåer > **Ekvationen i lådan.** > $$ > -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi > $$ > > **Allmän lösning.** Två motriktade vågor med $E=\hbar^{2}k^{2}/2m$. Med Eulers formel: > $$ > \psi(x)=A_1e^{ikx}+A_2e^{-ikx}=\left(A_1+A_2\right)\cos kx+i\left(A_1-A_2\right)\sin kx > $$ > > **Vänster vägg.** $\psi(0)=A_1+A_2=0$ ger $A_2=-A_1$. Då försvinner cosinustermen: > $$ > \psi(x)=2iA_1\sin kx=C\sin kx > $$ > > **Höger vägg.** $\psi(L)=C\sin kL=0$ med $C\neq0$ kräver > $$ > kL=n\pi\qquad n=1,2,3,\dots > $$ > $n=0$ ger $\psi\equiv0$, alltså ingen partikel, och negativa $n$ ger samma tillstånd med omvänt tecken. > > **Våglängd och rörelsemängd.** > $$ > \lambda_n=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2L}{n}\qquad p_n=\dfrac{h}{\lambda_n}=\dfrac{nh}{2L} > $$ > *Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden)* > > **Energin.** All energi är kinetisk: > $$ > E_n=\dfrac{p_n^{2}}{2m}=\dfrac{n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} > $$ Lådan rymmer alltså ett helt antal halva våglängder, precis som en [[Stående våg|stående våg]] på en sträng som sitter fast i båda ändar: $$ \boxed{L=n\,\dfrac{\lambda_n}{2}} $$ ![[f05-lada-halva-vaglangder.png|520]] *Klassiskt kan partikeln studsa mellan väggarna med vilken fart som helst och är lika sannolik överallt. Kvantmekaniskt måste $\psi$ vara noll vid båda väggarna, så bara ett helt antal halva våglängder ryms — här $n=3$ — och därmed bara vissa energier.* --- ## 3. Normering Konstanten $C$ bestäms av normeringsvillkoret i [[Vågfunktion]]. Med $\sin^{2}u=(1-\cos2u)/2$: $$ \int_0^{L}C^{2}\sin^{2}\dfrac{n\pi x}{L}\,dx=C^{2}\left[\dfrac{x}{2}-\dfrac{L}{4n\pi}\sin\dfrac{2n\pi x}{L}\right]_0^{L}=C^{2}\,\dfrac{L}{2} $$ $$ C^{2}\,\dfrac{L}{2}=1\qquad\Longrightarrow\qquad C=\sqrt{\dfrac{2}{L}} $$ vilket är amplituden i rutan överst. Till skillnad från en sträng, där amplituden beror på hur man satte igång svängningen, är $C$ här helt bestämd. --- ## 4. Energinivåerna Med grundnivån $E_1=h^{2}/(8mL^{2})$ är $E_n=n^{2}E_1$. Nivåerna glesnar alltså uppåt: $$ E_{n+1}-E_n=\left(2n+1\right)E_1 $$ - **Energin är aldrig noll.** Den lägsta energin är $E_1>0$. Partikeln är instängd på sträckan $L$, så $\Delta x\le L$, och då kan inte rörelsemängden vara exakt noll enligt [[Heisenbergs osäkerhetsprincip]]. - **Mindre låda ger högre energier.** $E_n\propto1/L^{2}$. Därför lyser små halvledarkristaller blåare än stora. - **Tyngre partikel ger tätare nivåer.** $E_n\propto1/m$. För makroskopiska föremål ligger nivåerna så tätt att kvantiseringen inte märks. - **Fotoner.** Vid ett hopp från $n_i$ till $n_f$ sänds en [[Fotonen|foton]] ut med $hc/\lambda=E_{n_i}-E_{n_f}=(n_i^{2}-n_f^{2})E_1$. ![[f05-lada-psi.png|520]] *De fyra lägsta tillstånden, ritade på sina energinivåer. Vänster: $\psi_n$ har $n$ bukar och $n-1$ noder inne i lådan. Höger: sannolikhetstätheten $|\psi_n|^2$ är noll vid väggarna och i noderna.* --- ## 5. Sannolikhetsfördelningen Sannolikhetstätheten $|\psi_n|^2=(2/L)\sin^{2}(n\pi x/L)$ är inte jämn som i det klassiska fallet. I grundtillståndet är partikeln oftast nära mitten. I $n=2$ är tätheten noll just i mitten. Sannolikheten för ett intervall får vi genom att integrera som i avsnitt 3: $$ \boxed{P(a\le x\le b)=\left[\dfrac{x}{L}-\dfrac{1}{2n\pi}\sin\dfrac{2n\pi x}{L}\right]_a^b} $$ För stora $n$ svänger tätheten så snabbt att medelvärdet över ett intervall går mot det klassiska $1/L$. Så övergår kvantmekaniken i klassisk mekanik. Den fullständiga tidsberoende vågfunktionen är $\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\,e^{-iE_nt/\hbar}$. Tidsfaktorn försvinner i $|\Psi_n|^2$, så tillstånden är stationära. > [!warning] Vanliga fel > - **$n=0$ tas med.** Den lägsta nivån är $n=1$. $n=0$ ger $\psi\equiv0$ och ingen partikel alls. > - **Nivåerna tros ligga på jämnt avstånd.** $E_n\propto n^2$, så $E_2=4E_1$, inte $2E_1$. > - **Fel antal noder.** $\psi_n$ har $n$ bukar och $n-1$ noder *inne i* lådan, plus noderna vid väggarna. > - **$h$ och $\hbar$ blandas.** $E_n=n^{2}h^{2}/(8mL^{2})=n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}/(2mL^{2})$. En blandning ger fel med en faktor $4\pi^{2}$. > - **Energi i joule jämförs med eV.** Räkna om med $1\text{ eV}=1{,}602\cdot10^{-19}$ J innan fotonvåglängden beräknas med $hc=1240$ eV·nm. --- ## 6. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Elektron i en 1,00 nm lång molekyl > En elektron kan röra sig fritt längs en rak molekyl med längden $1{,}00$ nm och modelleras som en partikel i en låda. > a) Beräkna de tre lägsta energinivåerna i eV. > b) Beräkna våglängden hos fotonen som sänds ut vid övergången $n=3\to1$ och vid $n=2\to1$. > > > [!note]- Lösning > > **a)** Grundnivån: > > $$ > > E_1=\dfrac{h^{2}}{8mL^{2}}=\dfrac{\left(6{,}626\cdot10^{-34}\right)^{2}}{8\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot\left(1{,}00\cdot10^{-9}\right)^{2}}=6{,}02\cdot10^{-20}\text{ J}=\boxed{0{,}376\text{ eV}} > > $$ > > *Fysika: Te ($h$, $m_e$)* > > $$ > > E_2=4E_1=\boxed{1{,}50\text{ eV}}\qquad E_3=9E_1=\boxed{3{,}38\text{ eV}} > > $$ > > > > **b)** Övergången $3\to1$ har $\Delta E=8E_1=3{,}008$ eV: > > $$ > > \lambda_{31}=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{3{,}008\text{ eV}}\approx\boxed{412\text{ nm}} > > $$ > > Övergången $2\to1$ har $\Delta E=3E_1=1{,}128$ eV: > > $$ > > \lambda_{21}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{1{,}128\text{ eV}}\approx\boxed{1{,}10\text{ μm}} > > $$ > > Den första ligger i det violetta, den andra i det infraröda. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Mittersta tredjedelen av lådan > En partikel i en låda med bredden $L$ är i tillståndet $n=1$ respektive $n=2$. Beräkna i båda fallen sannolikheten att hitta partikeln i den mittersta tredjedelen, $L/3\le x\le2L/3$, och jämför med det klassiska värdet. > > > [!note]- Lösning > > **Formeln.** Med $P=\left[x/L-\sin(2n\pi x/L)/(2n\pi)\right]_{L/3}^{2L/3}$ blir första termen alltid $1/3$. > > > > **$n=1$.** $\sin(4\pi/3)=-\sqrt3/2$ och $\sin(2\pi/3)=\sqrt3/2$: > > $$ > > P_1=\dfrac13-\dfrac{1}{2\pi}\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac13+\dfrac{\sqrt3}{2\pi}\approx\boxed{0{,}609} > > $$ > > > > **$n=2$.** $\sin(8\pi/3)=\sqrt3/2$ och $\sin(4\pi/3)=-\sqrt3/2$: > > $$ > > P_2=\dfrac13-\dfrac{1}{4\pi}\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac13-\dfrac{\sqrt3}{4\pi}\approx\boxed{0{,}196} > > $$ > > > > **Jämförelse.** Klassiskt är sannolikheten $1/3\approx0{,}333$. Grundtillståndet samlar partikeln i mitten, medan $n=2$ har en nod där och trycker ut partikeln mot sidorna. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1361|40.2 Particle in a Box]] --- ← [[Vågfunktion]] · [[F0005T]] · [[Partikel i tvådimensionell låda]] →