Linjespektrum

Kurs: F0005T Förkunskaper: Fotonen

---

Gaser sänder ut ljus bara vid bestämda våglängder i stället för ett kontinuerligt spektrum. Det är ett direkt tecken på att atomen har bestämda energinivåer, eftersom varje linje svarar mot en övergång mellan en övre och en undre nivå. Spektrumet är unikt för varje ämne och används därför för att identifiera atomer och molekyler.

$$\boxed{\Delta E=E_U-E_L=hf=\frac{hc}{\lambda }}$$

Fysika: Fd3 (fotonenergi)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{niva˚skillnaden}\\ \text{i atomen}\end{array}}{\underbrace{E_U-E_L}}=\underset{\begin{array}{c}\text{fotonens}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{hf}}=\underset{\begin{array}{c}\text{linjens}\\ \text{va˚gla¨ngd}\end{array}}{\underbrace{\frac{hc}{\lambda }}}$$

Varje linje är en övergång mellan två nivåer, och fotonen bär exakt skillnaden. Ett stort språng ger stor fotonenergi och kort våglängd, och absorption är samma sak baklänges.

---

1. Kontinuerligt spektrum och linjespektrum

Delas ljuset upp med ett prisma eller ett gitter framträder två typer av spektrum:

• En het fast kropp eller vätska, till exempel en glödtråd, ger ett kontinuerligt spektrum där alla våglängder finns med (se Svartkroppsstrålning).
• En het gas, till exempel neonet i en skylt, ger ett emissionslinjespektrum: några skarpa linjer, var och en med en bestämd våglängd.

Varje grundämne har sin egen uppsättning linjer. Väte har till exempel en röd linje vid $656,3$ nm som inget annat ämne har.

---

2. Emission och absorption

Skickas vitt ljus genom en kall gas saknas vissa våglängder i det ljus som kommer igenom. Det blir mörka linjer i ett annars kontinuerligt spektrum, ett absorptionslinjespektrum. Linjerna ligger på samma våglängder som gasen sänder ut när den är het. Formeln i rutan överst gäller åt båda håll:

• Emission. Atomen faller från $E_U$ till $E_L$ och sänder ut en foton med $hf=E_U-E_L$.
• Absorption. En foton med exakt energin $E_U-E_L$ lyfter atomen från $E_L$ till $E_U$. En foton med lite för mycket eller lite för lite energi passerar opåverkad, eftersom atomen inte kan ha någon energi mellan nivåerna.

Alla linjer kommer inte från samma atom. I en gas finns ett enormt antal atomer i olika exciterade tillstånd, och spektrumet visar summan av alla övergångar som sker.

Överst: en het gas i ett urladdningsrör sänder ut ljus bara vid vissa våglängder. Nederst: vitt ljus genom en kall gas av samma ämne. Just de våglängderna saknas, och det blir mörka linjer på samma ställen.

---

3. Hur många linjer?

En atom med $N$ nivåer kan i emission gå mellan varje par av nivåer. Antalet par ger det största möjliga antalet emissionslinjer:

$$\boxed{\text{antal emissionslinjer}\le \frac{N(N-1)}{2}}$$

Det är ett tak, eftersom urvalsregler kan förbjuda vissa övergångar. I en kall gas befinner sig nästan alla atomer i grundnivån, så absorption sker bara därifrån och ger högst $N-1$ linjer. Absorptionsspektrumet har därför oftast färre linjer än emissionsspektrumet. En varm gas har atomer även i exciterade nivåer och kan då absorbera också från dem.

Energinivåer för en tänkt atom med fyra nivåer. En varm gas kan sända ut sex linjer (nedåtpilar). En kall gas, där atomerna sitter i grundnivån, absorberar bara de tre som börjar i grundnivån (uppåtpilar). Det största energisprånget ger den kortaste våglängden.

---

4. Fluorescens

En atom som lyfts till en hög nivå behöver inte falla tillbaka i ett enda språng. Den kan gå via mellanliggande nivåer och sänder då ut flera fotoner, var och en med lägre energi och längre våglängd än den absorberade. Det kallas fluorescens: ämnet lyser med längre våglängd än det belyses med.

Energin bevaras över hela kaskaden. För två steg gäller

$$E_{\text{abs}}=E_1+E_2$$

$$\frac{hc}{{\lambda }_{\text{abs}}}=\frac{hc}{{\lambda }_1}+\frac{hc}{{\lambda }_2}$$

$$\boxed{\frac{1}{{\lambda }_{\text{abs}}}=\frac{1}{{\lambda }_1}+\frac{1}{{\lambda }_2}}$$

Lysrör bygger på detta. Kvicksilverångan i röret sänder ut ultraviolett ljus, som absorberas i beläggningen på rörets insida och sänds ut igen som synligt ljus.

---

5. Spektroskopi

Eftersom linjerna är unika för varje ämne fungerar de som fingeravtryck. Solens absorptionslinjer, som uppstår i den svalare atmosfären utanför de hetare lagren, visar vilka ämnen som finns där, och astronomer identifierar molekyler i gasmoln långt ute i rymden. Molekyler har egna spektrum (se Molekylspektra). För väte går linjernas våglängder att räkna fram med Rydbergs formel, och nivåerna bakom dem förklaras av Bohrs atommodell.

Vanliga fel

• Nivåns energi i stället för skillnaden. Våglängden bestäms av $\Delta E=E_U-E_L$, inte av en enskild nivås energi.
• Stort energisprång tros ge lång våglängd. Det är tvärtom: $\lambda =hc/\Delta E$, så det största språnget ger den kortaste våglängden.
• Absorption från vilken nivå som helst. I en kall gas sitter atomerna i grundnivån, och absorptionslinjerna utgår därifrån.
• Fotonen absorberas delvis. En foton absorberas bara om dess energi exakt matchar en nivåskillnad. Den kan inte lämna ifrån sig en del och fortsätta.
• Fluorescens med kortare våglängd. Det utsända ljuset har längre våglängd än det absorberade, eftersom energin delas på flera fotoner.

---

6. Lösta exempel

Exempel — Emissions- och absorptionslinjer för en tänkt atom

En tänkt atom har energinivåerna $0$ (grundnivå), $1,50$ eV, $2,80$ eV och $4,20$ eV. (a) Vilka våglängder kan gasen sända ut när den är het, och vilka av dem är synliga ($380$–$750$ nm)? (b) Vilka våglängder absorberar gasen när den är kall?

Lösning

a) Med fyra nivåer finns $4\cdot 3/2=6$ par. Varje par ger $\lambda =hc/\Delta E$ med $hc=1240$ eV·nm:

Övergång (eV)	$\Delta E$ (eV)	$\lambda$ (nm)
$1,50\to 0$	$1,50$	$827$
$2,80\to 0$	$2,80$	$443$
$4,20\to 0$	$4,20$	$295$
$2,80\to 1,50$	$1,30$	$954$
$4,20\to 1,50$	$2,70$	$459$
$4,20\to 2,80$	$1,40$	$886$

Emissionslinjerna är alltså $\boxed{295,443,459,827,886\text{ och }954\text{ nm}}$. Synliga är bara $\boxed{443\text{ och }459\text{ nm}}$ (blått). Linjen på $295$ nm är ultraviolett, de övriga infraröda.

b) I kall gas utgår all absorption från grundnivån, så bara de tre övergångarna som börjar där syns:

$$\boxed{295,443\text{ och }827\text{ nm}}$$

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Fluorescens i två steg

Ett fluorescerande ämne absorberar ultraviolett ljus med våglängden $254$ nm. Varje exciterad atom återvänder till grundnivån i två steg, och det första steget ger en foton med våglängden $436$ nm. Bestäm energin i varje steg och våglängden hos den andra fotonen.

Lösning

Energierna. Med $hc=1240$ eV·nm:

$$E_{\text{abs}}=\frac{1240}{254}=4,88\text{ eV}{E}_1=\frac{1240}{436}=\boxed{2,84\text{ eV}}$$

Fysika: Te (hc)

$$E_2=E_{\text{abs}}-E_1=4,88-2,84=\boxed{2,04\text{ eV}}$$

Våglängden. Direkt med fluorescensformeln:

$$\frac{1}{{\lambda }_2}=\frac{1}{254\text{ nm}}-\frac{1}{436\text{ nm}}$$

$${\lambda }_2=\boxed{608\text{ nm}}$$

Det är orange ljus. Båda de utsända fotonerna har längre våglängd än den absorberade, som det ska vara.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.2 The Nuclear Atom and Atomic Spectra

---

← Heisenbergs osäkerhetsprincip · F0005T · Bohrs atommodell →