Rydbergs formel

Kurs: F0005T Förkunskaper: Bohrs modell för väteatomen

---

Skillnaden mellan två av väteatomens energinivåer ger en våglängd som bara beror på de två kvanttalen. Formeln hittades empiriskt år 1888 och föll sedan ut ur Bohrs modell med en Rydbergkonstant uttryckt i fundamentala konstanter; överensstämmelsen är bättre än $0,1\%$. Serierna namnges efter den undre nivån: Lyman $(n_L=1)$, Balmer $(2)$, Paschen $(3)$, Brackett $(4)$ och Pfund $(5)$.

$$\boxed{\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_U^2}\right)}$$

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\text{va˚gtal}}{\underbrace{\frac{1}{\lambda }}}=\underset{\begin{array}{c}\text{Rydberg-}\\ \text{konstanten}\end{array}}{\underbrace{R}}(\underset{\begin{array}{c}\text{undre niva˚}\\ \text{(serien)}\end{array}}{\underbrace{\frac{1}{n_L^2}}}-\underset{\begin{array}{c}\text{o¨vre}\\ \text{niva˚}\end{array}}{\underbrace{\frac{1}{n_U^2}}})$$

Parentesen är energiskillnaden mellan nivåerna i enheter av $hcR=13,6$ eV. Den undre nivån bestämmer serien, och låter vi $n_U\to \infty$ får vi seriegränsen.

---

1. Från energinivåer till våglängder

När atomen går från en övre nivå $n_U$ till en undre $n_L$ bär fotonen bort energiskillnaden, $hc/\lambda =E_{n_U}-E_{n_L}$ (se Linjespektrum). Energierna i Bohrs modell för väteatomen skrivs först om så att en konstant med dimensionen invers längd bryts ut:

$$E_n=-\frac{hcR}{n^2}R=\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^{3}c}$$

Fysika: Fd3 (i formen E_n = −E_H Z²/n² med E_H = hcR)

Sätt in i energivillkoret:

$$\frac{hc}{\lambda }=E_{n_U}-E_{n_L}$$

Fysika: Fd3 (fotonenergi)

$$\frac{hc}{\lambda }=\left(-\frac{hcR}{n_U^2}\right)-\left(-\frac{hcR}{n_L^2}\right)$$

$$\frac{hc}{\lambda }=hcR\left(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_U^2}\right)$$

Division med $hc$ ger formeln i rutan överst. Rydbergkonstanten är alltså inte längre en anpassad parameter utan byggd av $m$, $e$, ${\epsilon }_0$, $h$ och $c$:

$$\boxed{R=\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^{3}c}=1,097\cdot 10^7{\text{ m}}^{-1}hcR=13,6\text{ eV}}$$

Fysika: Te (R∞ och R_H)

Samma formel gäller för absorption: en foton med just den våglängden kan lyfta atomen från $n_L$ till $n_U$.

Så mäts linjerna: ljuset från en vätelampa går genom spalt och lins till ett gitter, och varje Balmerlinje hamnar vid sin egen vinkel där $d\sin \theta =\lambda$. Med $\lambda$ känd ger Rydbergs formel den övre nivån $n_U$.

---

2. Spektralserierna

Håller vi $n_L$ fast och låter $n_U=n_L+1,n_L+2,\dots$ får vi en serie. Den längsta våglängden kommer från det minsta hoppet, $n_U=n_L+1$. När $n_U\to \infty$ går $1/n_U^2\to 0$, och linjerna hopar sig mot seriegränsen, seriens kortaste våglängd:

$$\boxed{{\lambda }_{\text{gra¨ns}}=\frac{n_L^2}{R}}$$

Serie	$n_L$	Längsta $\lambda$ ($n_U=n_L+1$)	Seriegräns	Område
Lyman	$1$	$122$ nm	$91,2$ nm	ultraviolett
Balmer	$2$	$656$ nm	$365$ nm	synligt och UV
Paschen	$3$	$1,88$ μm	$820$ nm	infrarött
Brackett	$4$	$4,05$ μm	$1,46$ μm	infrarött
Pfund	$5$	$7,46$ μm	$2,28$ μm	infrarött

Bara Balmerserien har linjer i det synliga: $H_{\alpha }=656$ nm, $H_{\beta }=486$ nm, $H_{\gamma }=434$ nm och $H_{\delta }=410$ nm. Resten av serien ligger i ultraviolett. Övergångarna finns utritade i energinivådiagrammet i Bohrs modell för väteatomen.

Vätets Lyman-, Balmer- och Paschenserie på en logaritmisk våglängdsaxel: i varje serie ligger den längsta linjen vid $n_U=n_L+1$, och linjerna tätnar mot den streckade seriegränsen $\infty \to n_L$; bara Balmerserien når in i det synliga.

---

3. Antal linjer och absorption

En atom i nivå $n$ kan falla tillbaka i ett enda hopp eller i flera steg, och varje par av nivåer ger en egen linje. Ett helt prov av atomer exciterade till nivå $n$ ger därför

$$N=\frac{n(n-1)}{2}$$

olika linjer i emission. I absorption är det annorlunda: i en kall gas sitter nästan alla atomer i grundtillståndet, så bara Lymanlinjerna syns som mörka linjer. Balmerlinjer i absorption kräver att många atomer redan är i $n=2$, alltså en het gas.

Vanliga fel

• $n_L$ och $n_U$ byts. Då blir $1/\lambda$ negativt. $n_L$ är alltid den undre nivån, både i emission och i absorption.
• Serien namnges efter fel nivå. Det är den undre nivån som bestämmer serien: $4\to 2$ är Balmer, inte Brackett.
• Seriegränsen tas för den längsta våglängden. Gränsen $n_L^2/R$ är den kortaste; den längsta kommer från $n_U=n_L+1$.
• Enheterna. $R$ har enheten ${\text{m}}^{-1}$, så $1/\lambda$ kommer ut i ${\text{m}}^{-1}$. Alternativt räknar vi i eV med $hcR=13,6$ eV och $hc=1240$ eV·nm.
• Atomen tros bara kunna hoppa en nivå i taget. $4\to 1$ ger en enda foton; nivåer får hoppas över.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Vilken övergång ger 434 nm?

I vätets emissionsspektrum syns en violett linje vid $434$ nm. Visa att den tillhör Balmerserien och bestäm från vilken nivå övergången sker. Vilken energi har fotonen?

Lösning

Vilken serie? Lymanserien ligger helt under $122$ nm och Paschenserien helt över $820$ nm, så en linje vid $434$ nm måste vara en Balmerlinje, $n_L=2$.

Övre nivån. Lös ut $1/n_U^2$ ur Rydbergs formel:

$$\frac{1}{n_U^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{\lambda R}=0,25-\frac{1}{434\cdot 10^{-9}\cdot 1,097\cdot 10^7}=0,25-0,2100=0,0400$$

$$n_U=\frac{1}{\sqrt{0,0400}}=\boxed{5}$$

Linjen är $H_{\gamma }$, övergången $5\to 2$.

Fotonenergin.

$$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{434\text{ nm}}=\boxed{2,86\text{ eV}}$$

Rimlighetskoll. $E_5-E_2=13,6(1/4-1/25)=2,86$ eV.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Vätgas exciterad till n = 4

Vätgas bombarderas med elektroner så att atomerna exciteras till som högst nivå $n=4$. Hur många olika spektrallinjer kan gasen sända ut? Bestäm den kortaste och den längsta våglängden, och ange vilka linjer som ligger i det synliga området, $400$–$700$ nm.

Lösning

Antal linjer. Varje par av nivåerna $1$–$4$ ger en linje:

$$N=\frac{4\cdot 3}{2}=\boxed{6}$$

Kortaste våglängden. Största hoppet, $4\to 1$:

$$\frac{1}{\lambda }=1,097\cdot 10^7\left(1-\frac{1}{16}\right)=1,028\cdot 10^7{\text{ m}}^{-1}\Rightarrow \lambda =\boxed{97,2\text{ nm}}$$

Längsta våglängden. Minsta hoppet, $4\to 3$:

$$\frac{1}{\lambda }=1,097\cdot 10^7\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right)=5,333\cdot 10^5{\text{ m}}^{-1}\Rightarrow \lambda =\boxed{1,88\text{ μm}}$$

Synliga linjer. Bara övergångar ned till $n_L=2$ kan vara synliga: $3\to 2$ ger $\boxed{656\text{ nm}}$ och $4\to 2$ ger $\boxed{486\text{ nm}}$. Övriga linjer är $122$ nm och $103$ nm (Lyman, UV) samt $1,88$ μm (Paschen, IR).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.2 The Nuclear Atom and Atomic Spectra
• 39.3 Energy Levels and the Bohr Model of the Atom

---

← Bohrs modell för väteatomen · F0005T · Väteliknande system →