Väteliknande system

Kurs: F0005T Förkunskaper: Bohrs modell för väteatomen

---

Bohrs modell fungerar för varje system med en enda elektron — $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$, $\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$ och så vidare — om $e^2$ byts mot $Z{e}^2$. Den fungerar approximativt också för alkalimetallernas yttersta valenselektron, som ser en effektiv kärnladdning nära ett eftersom de inre elektronerna skärmar kärnan, och bäst av allt för Rydbergatomer i mycket höga $n$. Här slutar modellen: Bohr blandar partikel- och vågbeskrivning av elektronen, och atomer med fler än en elektron kräver kvantmekanik.

$$\boxed{E_n=-\frac{1}{{\epsilon }_0^2}\frac{m{Z}^2{e}^4}{8n^2{h}^2}}$$

Fysika: Fd3 (i formen E_n = −E_H Z²/n²)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\text{niva˚ }n}{\underbrace{E_n}}=-\underset{\begin{array}{c}\text{va¨tets}\\ \text{grundniva˚}\end{array}}{\underbrace{13,6\text{eV}}}\cdot \underset{\begin{array}{c}\text{ka¨rnladdning}\\ \text{och kvanttal}\end{array}}{\underbrace{\frac{Z^2}{n^2}}}$$

$$\underset{\text{banradie}}{\underbrace{r_n}}=\underset{\begin{array}{c}\text{Bohr-}\\ \text{radien}\end{array}}{\underbrace{a_0}}\underset{\begin{array}{c}\text{sto¨rre }Z\text{:}\\ \text{mindre bana}\end{array}}{\underbrace{\frac{n^2}{Z}}}$$

Kärnladdningen $Ze$ gör attraktionen $Z$ gånger starkare. Banan dras in med en faktor $Z$ och bindningen blir $Z^2$ gånger starkare, medan resten av Bohrs modell är oförändrad.

---

1. En elektron kring $Z$ protoner

Ett väteliknande system har en enda elektron kring en kärna med laddningen $Ze$. Det enda som ändras i Bohrs modell för väteatomen är Coulombkraften, som blir $Z$ gånger starkare:

$$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Z{e}^2}{r_n^2}=\frac{m{v}_n^2}{r_n}$$

Kvantiseringsvillkoret $m{v}_n{r}_n=nh/2\pi$ är oförändrat. Samma räkning som för väte, med $e^2$ utbytt mot $Z{e}^2$, ger

$$v_n=\frac{Z{e}^2}{2{\epsilon }_{0}nh}=Z\frac{v_1}{n}$$

$$\boxed{r_n=\frac{{\epsilon }_0{n}^2{h}^2}{\pi mZ{e}^2}=\frac{n^2}{Z}{a}_0}$$

Fysika: Fd3 (banradie r_n = a₀n²/Z)

Energin i rutan överst innehåller $e^4=(e^2{)}^2$ och växer därför med $Z^2$. I elektronvolt:

$$E_n=-13,6\text{ eV}\cdot \frac{Z^2}{n^2}$$

Fysika: Te (E_H)

Den större kärnladdningen drar alltså in banan med en faktor $Z$ och gör bindningen $Z^2$ gånger starkare.

---

2. Spektrum och jämförelse med väte

Eftersom alla nivåer skalas med $Z^2$ gör även Rydbergkonstanten det, och Rydbergs formel blir

$$\boxed{\frac{1}{\lambda }=Z^{2}R\left(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_U^2}\right)}$$

$n$	$\mathrm{H}$ $(Z=1)$	$\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ $(Z=2)$	$\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$ $(Z=3)$
$1$	$-13,6$ eV	$-54,4$ eV	$-122$ eV
$2$	$-3,40$ eV	$-13,6$ eV	$-30,6$ eV
$3$	$-1,51$ eV	$-6,04$ eV	$-13,6$ eV
$4$	$-0,85$ eV	$-3,40$ eV	$-7,65$ eV

I $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ har nivå $2n$ samma energi som vätets nivå $n$, eftersom $Z^2/(2n{)}^2=1/n^2$. Varje övergång mellan två jämna nivåer i $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ ger därför nästan samma linje som en vätelinje, medan övergångar som berör en udda nivå inte har någon motsvarighet i väte. Den lilla skillnaden, runt $0,05\%$, kommer av att kärnorna har olika reducerad massa.

---

3. Alkalimetaller och effektiv kärnladdning

En alkaliatom har en ensam valenselektron utanför en kärna omgiven av fyllda inre skal. Kärnan och de inre elektronerna har tillsammans laddningen $+e$, så långt ute ser valenselektronen nästan en vätekärna. Hur väl det stämmer beskrivs av en effektiv kärnladdning $Z_{\text{eff}}$, definierad så att den uppmätta energin följer vätets form:

$$E_n\approx -13,6\text{ eV}\cdot \frac{Z_{\text{eff}}^2}{n^2}$$

I högt exciterade nivåer, där elektronen håller sig långt utanför de inre skalen, är $Z_{\text{eff}}\approx 1$. I de lägsta nivåerna tränger elektronen delvis in genom skalen och känner mer av kärnan, så $Z_{\text{eff}}>1$. Natrium, med valenselektronen i $n=3$ och joniseringsenergin $5,14$ eV, har till exempel $Z_{\text{eff}}=3\sqrt{5,14/13,6}\approx 1,84$.

Vänster: grundtillståndet i $\mathrm{H}$, $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ och $\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$ i skala. Banan krymper som $1/Z$ och bindningen växer som $Z^2$. Höger: natriums valenselektron ser kärnans $+11e$ skärmad av tio inre elektroner, alltså nästan en vätekärna.

---

4. Rydbergatomer

En atom vars yttersta elektron är exciterad till ett mycket högt $n$ kallas Rydbergatom. Elektronen är då så långt ute att den nästan bara ser en punktladdning $+e$, och Bohrs modell fungerar mycket bra. För $n=1000$:

$$r=n^2{a}_0=10^6\cdot 5,29\cdot 10^{-11}\text{ m}=5,29\cdot 10^{-5}\text{ m}$$

Fysika: Te (a₀)

— en atom ungefär lika stor som ett sandkorn. Nivåerna ligger mycket tätt. För stora $n$ är avståndet mellan två grannivåer

$$E_n-E_{n-1}=13,6\text{ eV}\left(\frac{1}{(n-1{)}^2}-\frac{1}{n^2}\right)\approx \frac{2\cdot 13,6\text{ eV}}{n^3}$$

vilket för $n=1000$ blir $2,72\cdot 10^{-8}$ eV. Motsvarande foton har våglängden $hc/\Delta E\approx 45$ m, alltså radiovågor.

---

5. Var modellen tar slut

Trots träffsäkerheten för väte och väteliknande system lämnar Bohrs modell mycket obesvarat:

• Blandade principer. Klassiska cirkelbanor kombineras med kvantiseringspostulat som strider mot klassisk elektrodynamik, där en accelererad laddning alltid strålar.
• Ingenting om själva övergången. Modellen säger inte vad som händer medan elektronen byter bana, och elektronens omloppsfrekvens är i allmänhet inte frekvensen hos det utsända ljuset.
• Fler elektroner. Försök att utvidga modellen till atomer med två eller fler elektroner misslyckades.
• Magnetiskt moment. En kretsande elektron är en strömslinga och borde ge ett magnetiskt dipolmoment, men väte i grundtillståndet har inget sådant moment från banrörelsen.

Svaren kräver kvantmekaniken, se Schrödingerekvationen för väteatomen och Atomorbitaler.

Vanliga fel

• Fel potens av $Z$. Energin skalar som $Z^2$, radien som $1/Z$ och farten som $Z$.
• Formeln används för atomer med flera elektroner. Neutralt helium har två elektroner och är inte väteliknande; $-54,4$ eV gäller bara $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$.
• $Z^2$ glöms i Rydbergs formel. För en jon med $Z=3$ blir alla våglängder nio gånger kortare än motsvarande vätelinjer.
• $Z_{\text{eff}}$ blandas ihop med $Z$. För natriums valenselektron är $Z=11$ men $Z_{\text{eff}}\approx 1,8$.

---

6. Lösta exempel

Exempel — Dubbeljoniserat litium

För jonen $\mathrm{L}{\mathrm{i}}^{2+}$ ($Z=3$): bestäm joniseringsenergin från grundtillståndet, radien för banan $n=1$ och våglängden för fotonen vid övergången $n=2\to n=1$. I vilket område av spektrumet ligger fotonen?

Lösning

Joniseringsenergin.

$$E_{\text{jon}}=13,6\text{ eV}\cdot \frac{3^2}{1^2}=\boxed{122\text{ eV}}$$

Radien.

$$r_1=\frac{a_0}{Z}=\frac{5,29\cdot 10^{-11}}{3}=\boxed{1,76\cdot 10^{-11}\text{ m}}$$

Fotonenergin.

$$E_2-E_1=122,4\text{ eV}\left(1-\frac{1}{4}\right)=91,8\text{ eV}$$

Våglängden.

$$\lambda =\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{91,8\text{ eV}}=\boxed{13,5\text{ nm}}$$

Det är extremt ultraviolett ljus, på gränsen mot mjuk röntgen — nio gånger kortare än vätets Lyman-$\alpha$ vid $122$ nm.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Heliumjonen som härmar väte

Vätets linje $H_{\beta }$ uppstår vid övergången $4\to 2$. Vilken övergång i $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ ger (nästan) samma våglängd? Beräkna våglängden. Bestäm också våglängden för övergången $3\to 2$ i $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ och förklara varför den saknar motsvarighet i vätets spektrum.

Lösning

Motsvarande övergång. Nivå $2n$ i $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ har samma energi som nivå $n$ i väte, så $4\to 2$ i väte motsvaras av $\boxed{8\to 4}$ i $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$.

Våglängden.

$$\frac{1}{\lambda }=2^2\cdot 1,097\cdot 10^7\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{64}\right)=1,097\cdot 10^7\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)=2,057\cdot 10^6{\text{ m}}^{-1}$$

$$\lambda =\boxed{486\text{ nm}}$$

Övergången $3\to 2$.

$$E_3-E_2=54,4\text{ eV}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=7,56\text{ eV}\lambda =\frac{1240}{7,56}=\boxed{164\text{ nm}}$$

Nivån $n=3$ i $\mathrm{H}{\mathrm{e}}^{+}$ ligger på $-6,04$ eV, och väte har ingen nivå där. Därför finns ingen vätelinje vid $164$ nm.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.3 Energy Levels and the Bohr Model of the Atom

---

← Rydbergs formel · F0005T · Reducerad massa →