---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - atomfysik
  - modell
förkunskaper:
  - "[[Bohrs modell för väteatomen]]"
status: utkast
aliases:
  - Vätelika joner
  - Effektiv kärnladdning
  - Rydbergatom
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Bohrs modell för väteatomen]]

---

Bohrs modell fungerar för varje system med en enda elektron — $\mathrm{He^+}$, $\mathrm{Li^{2+}}$ och så vidare — om $e^2$ byts mot $Ze^2$. Den fungerar approximativt också för alkalimetallernas yttersta valenselektron, som ser en effektiv kärnladdning nära ett eftersom de inre elektronerna skärmar kärnan, och bäst av allt för Rydbergatomer i mycket höga $n$. Här slutar modellen: Bohr blandar partikel- och vågbeskrivning av elektronen, och atomer med fler än en elektron kräver kvantmekanik.

$$
\boxed{\;E_n=-\dfrac{1}{\varepsilon_0^{2}}\dfrac{mZ^{2}e^{4}}{8n^{2}h^{2}}\;}
$$
*Fysika: Fd3 (i formen E_n = −E_H Z²/n²)*

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{E_n}_{\text{nivå }n}
=-\underbrace{13{,}6\ \text{eV}}_{\substack{\text{vätets}\\\text{grundnivå}}}\cdot
\underbrace{\dfrac{Z^{2}}{n^{2}}}_{\substack{\text{kärnladdning}\\\text{och kvanttal}}}
$$

$$
\underbrace{r_n}_{\text{banradie}}
=\underbrace{a_0}_{\substack{\text{Bohr-}\\\text{radien}}}\,
\underbrace{\dfrac{n^{2}}{Z}}_{\substack{\text{större }Z\text{:}\\\text{mindre bana}}}
$$

Kärnladdningen $Ze$ gör attraktionen $Z$ gånger starkare. Banan dras in med en faktor $Z$ och bindningen blir $Z^2$ gånger starkare, medan resten av Bohrs modell är oförändrad.

---

## 1. En elektron kring $Z$ protoner

Ett väteliknande system har en enda elektron kring en kärna med laddningen $Ze$. Det enda som ändras i [[Bohrs modell för väteatomen]] är Coulombkraften, som blir $Z$ gånger starkare:

$$
\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Ze^2}{r_n^2}=\dfrac{mv_n^2}{r_n}
$$

Kvantiseringsvillkoret $mv_nr_n=nh/2\pi$ är oförändrat. Samma räkning som för väte, med $e^2$ utbytt mot $Ze^2$, ger

$$
v_n=\dfrac{Ze^2}{2\varepsilon_0nh}=Z\,\dfrac{v_1}{n}
$$

$$
\boxed{\;r_n=\dfrac{\varepsilon_0n^2h^2}{\pi mZe^2}=\dfrac{n^2}{Z}\,a_0\;}
$$
*Fysika: Fd3 (banradie r_n = a₀n²/Z)*

Energin i rutan överst innehåller $e^4=(e^2)^2$ och växer därför med $Z^2$. I elektronvolt:

$$
E_n=-13{,}6\text{ eV}\cdot\dfrac{Z^2}{n^2}
$$
*Fysika: Te (E_H)*

Den större kärnladdningen drar alltså in banan med en faktor $Z$ och gör bindningen $Z^2$ gånger starkare.

---

## 2. Spektrum och jämförelse med väte

Eftersom alla nivåer skalas med $Z^2$ gör även Rydbergkonstanten det, och [[Rydbergs formel]] blir

$$
\boxed{\;\dfrac{1}{\lambda}=Z^2R\left(\dfrac{1}{n_L^2}-\dfrac{1}{n_U^2}\right)\;}
$$

| $n$ | $\mathrm{H}$ $(Z=1)$ | $\mathrm{He^+}$ $(Z=2)$ | $\mathrm{Li^{2+}}$ $(Z=3)$ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $-13{,}6$ eV | $-54{,}4$ eV | $-122$ eV |
| $2$ | $-3{,}40$ eV | $-13{,}6$ eV | $-30{,}6$ eV |
| $3$ | $-1{,}51$ eV | $-6{,}04$ eV | $-13{,}6$ eV |
| $4$ | $-0{,}85$ eV | $-3{,}40$ eV | $-7{,}65$ eV |

I $\mathrm{He^+}$ har nivå $2n$ samma energi som vätets nivå $n$, eftersom $Z^2/(2n)^2=1/n^2$. Varje övergång mellan två jämna nivåer i $\mathrm{He^+}$ ger därför nästan samma linje som en vätelinje, medan övergångar som berör en udda nivå inte har någon motsvarighet i väte. Den lilla skillnaden, runt $0{,}05\ \%$, kommer av att kärnorna har olika [[Reducerad massa|reducerad massa]].

---

## 3. Alkalimetaller och effektiv kärnladdning

En alkaliatom har en ensam valenselektron utanför en kärna omgiven av fyllda inre skal. Kärnan och de inre elektronerna har tillsammans laddningen $+e$, så långt ute ser valenselektronen nästan en vätekärna. Hur väl det stämmer beskrivs av en **effektiv kärnladdning** $Z_{\text{eff}}$, definierad så att den uppmätta energin följer vätets form:

$$
E_n\approx-13{,}6\text{ eV}\cdot\dfrac{Z_{\text{eff}}^2}{n^2}
$$

I högt exciterade nivåer, där elektronen håller sig långt utanför de inre skalen, är $Z_{\text{eff}}\approx1$. I de lägsta nivåerna tränger elektronen delvis in genom skalen och känner mer av kärnan, så $Z_{\text{eff}}>1$. Natrium, med valenselektronen i $n=3$ och joniseringsenergin $5{,}14$ eV, har till exempel $Z_{\text{eff}}=3\sqrt{5{,}14/13{,}6}\approx1{,}84$.

![[f05-vatelik-skarmning.png|520]]

*Vänster: grundtillståndet i $\mathrm{H}$, $\mathrm{He^+}$ och $\mathrm{Li^{2+}}$ i skala. Banan krymper som $1/Z$ och bindningen växer som $Z^2$. Höger: natriums valenselektron ser kärnans $+11e$ skärmad av tio inre elektroner, alltså nästan en vätekärna.*

---

## 4. Rydbergatomer

En atom vars yttersta elektron är exciterad till ett mycket högt $n$ kallas **Rydbergatom**. Elektronen är då så långt ute att den nästan bara ser en punktladdning $+e$, och Bohrs modell fungerar mycket bra. För $n=1000$:

$$
r=n^2a_0=10^{6}\cdot5{,}29\cdot10^{-11}\text{ m}=5{,}29\cdot10^{-5}\text{ m}
$$
*Fysika: Te (a₀)*

— en atom ungefär lika stor som ett sandkorn. Nivåerna ligger mycket tätt. För stora $n$ är avståndet mellan två grannivåer

$$
E_n-E_{n-1}=13{,}6\text{ eV}\left(\dfrac{1}{(n-1)^2}-\dfrac{1}{n^2}\right)\approx\dfrac{2\cdot13{,}6\text{ eV}}{n^3}
$$

vilket för $n=1000$ blir $2{,}72\cdot10^{-8}$ eV. Motsvarande foton har våglängden $hc/\Delta E\approx45$ m, alltså radiovågor.

---

## 5. Var modellen tar slut

Trots träffsäkerheten för väte och väteliknande system lämnar Bohrs modell mycket obesvarat:

- **Blandade principer.** Klassiska cirkelbanor kombineras med kvantiseringspostulat som strider mot klassisk elektrodynamik, där en accelererad laddning alltid strålar.
- **Ingenting om själva övergången.** Modellen säger inte vad som händer medan elektronen byter bana, och elektronens omloppsfrekvens är i allmänhet inte frekvensen hos det utsända ljuset.
- **Fler elektroner.** Försök att utvidga modellen till atomer med två eller fler elektroner misslyckades.
- **Magnetiskt moment.** En kretsande elektron är en strömslinga och borde ge ett magnetiskt dipolmoment, men väte i grundtillståndet har inget sådant moment från banrörelsen.

Svaren kräver kvantmekaniken, se [[Schrödingerekvationen för väteatomen]] och [[Atomorbitaler]].

> [!warning] Vanliga fel
> - **Fel potens av $Z$.** Energin skalar som $Z^2$, radien som $1/Z$ och farten som $Z$.
> - **Formeln används för atomer med flera elektroner.** Neutralt helium har två elektroner och är *inte* väteliknande; $-54{,}4$ eV gäller bara $\mathrm{He^+}$.
> - **$Z^2$ glöms i Rydbergs formel.** För en jon med $Z=3$ blir alla våglängder nio gånger kortare än motsvarande vätelinjer.
> - **$Z_{\text{eff}}$ blandas ihop med $Z$.** För natriums valenselektron är $Z=11$ men $Z_{\text{eff}}\approx1{,}8$.

---

## 6. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Dubbeljoniserat litium
> För jonen $\mathrm{Li^{2+}}$ ($Z=3$): bestäm joniseringsenergin från grundtillståndet, radien för banan $n=1$ och våglängden för fotonen vid övergången $n=2\to n=1$. I vilket område av spektrumet ligger fotonen?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Joniseringsenergin.**
> > $$
> > E_{\text{jon}}=13{,}6\text{ eV}\cdot\dfrac{3^2}{1^2}=\boxed{122\text{ eV}}
> > $$
> >
> > **Radien.**
> > $$
> > r_1=\dfrac{a_0}{Z}=\dfrac{5{,}29\cdot10^{-11}}{3}=\boxed{1{,}76\cdot10^{-11}\text{ m}}
> > $$
> >
> > **Fotonenergin.**
> > $$
> > E_2-E_1=122{,}4\text{ eV}\left(1-\dfrac14\right)=91{,}8\text{ eV}
> > $$
> >
> > **Våglängden.**
> > $$
> > \lambda=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{91{,}8\text{ eV}}=\boxed{13{,}5\text{ nm}}
> > $$
> > Det är extremt ultraviolett ljus, på gränsen mot mjuk röntgen — nio gånger kortare än vätets Lyman-$\alpha$ vid $122$ nm.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Heliumjonen som härmar väte
> Vätets linje $H_\beta$ uppstår vid övergången $4\to2$. Vilken övergång i $\mathrm{He^+}$ ger (nästan) samma våglängd? Beräkna våglängden. Bestäm också våglängden för övergången $3\to2$ i $\mathrm{He^+}$ och förklara varför den saknar motsvarighet i vätets spektrum.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Motsvarande övergång.** Nivå $2n$ i $\mathrm{He^+}$ har samma energi som nivå $n$ i väte, så $4\to2$ i väte motsvaras av $\boxed{8\to4}$ i $\mathrm{He^+}$.
> >
> > **Våglängden.**
> > $$
> > \dfrac{1}{\lambda}=2^2\cdot1{,}097\cdot10^{7}\left(\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{64}\right)=1{,}097\cdot10^{7}\left(\dfrac14-\dfrac1{16}\right)=2{,}057\cdot10^{6}\text{ m}^{-1}
> > $$
> > $$
> > \lambda=\boxed{486\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Övergången $3\to2$.**
> > $$
> > E_3-E_2=54{,}4\text{ eV}\left(\dfrac14-\dfrac19\right)=7{,}56\text{ eV}\qquad\lambda=\dfrac{1240}{7{,}56}=\boxed{164\text{ nm}}
> > $$
> > Nivån $n=3$ i $\mathrm{He^+}$ ligger på $-6{,}04$ eV, och väte har ingen nivå där. Därför finns ingen vätelinje vid $164$ nm.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1320|39.3 Energy Levels and the Bohr Model of the Atom]]

---

← [[Rydbergs formel]] · [[F0005T]] · [[Reducerad massa]] →