Atomorbitaler

Kurs: F0005T Förkunskaper: Kvanttal

---

Varje tillåten kombination av kvanttal svarar mot en orbital med egen rumslig form, och orbitalerna namnges efter $l$: s för $l=0$, p för $l=1$, d för $l=2$ och f för $l=3$. De tre p-orbitalerna $p_x$, $p_y$ och $p_z$ motsvarar de tre värdena på $m_l$, och de fem d-orbitalerna de fem. Formerna är det som bestämmer bindningsriktningarna i molekyler.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{radiella noder}\\ \text{(sfa¨rer)}\end{array}}{\underbrace{n-l-1}}+\underset{\begin{array}{c}\text{vinkelnoder}\\ \text{(plan, koner)}\end{array}}{\underbrace{l}}=\underset{\begin{array}{c}\text{noder}\\ \text{totalt}\end{array}}{\underbrace{n-1}}$$

Huvudkvanttalet bestämmer hur många noder orbitalen har, och $l$ bestämmer hur de fördelas: ju större $l$, desto fler av noderna är plan eller koner genom kärnan och desto färre är sfärer runt den.

---

1. Beteckningar

Ett tillstånd skrivs som huvudkvanttalet följt av bokstaven för $l$: 1s, 2s, 2p, 3d. Bokstäverna s, p, d och f kommer från hur spektrallinjerna beskrevs innan teorin fanns. Eftersom $l\le n-1$ ger varje skal bara vissa underskal:

Skal	$n$	Underskal	Orbitaler
K	$1$	1s	$1$
L	$2$	2s, 2p	$1+3=4$
M	$3$	3s, 3p, 3d	$1+3+5=9$
N	$4$	4s, 4p, 4d, 4f	$1+3+5+7=16$

En orbital är den rumsliga vågfunktionen ${\psi }_{nl{m}_l}$, eller i bilder det område där $|\psi {|}^2$ är stort. Det är ingen bana. Elektronen har ingen bestämd väg, bara en sannolikhetsfördelning.

---

2. Noder

En nod är en yta där $\psi =0$. Radialdelen och vinkeldelen ger var sin sorts nod:

• Radiella noder: $n-l-1$ sfärer där $R(r)=0$.
• Vinkelnoder: $l$ plan eller koner där vinkeldelen är noll.

Sammanlagt har en orbital $n-1$ noder. En 1s-orbital har inga, 2s har en radiell nod, och 2p har en vinkelnod men ingen radiell.

Snitt genom fyra orbitaler i $xz$-planet, färgade efter tecknet på $\psi$. Radiella noder syns som streckade cirklar och vinkelnoder som streckade linjer: 2s och 3p har en radiell nod, 2p och 3p ett nodplan, och $3d_{xz}$ två nodplan men ingen radiell nod.

Två symmetrier följer direkt ur vågfunktionen i Schrödingerekvationen för väteatomen:

• s-orbitaler ($l=0$) har ingen vinkelberoende del. $|\psi {|}^2$ beror bara på $r$ och är sfäriskt symmetrisk.
• Alla orbitaler har $|\psi {|}^2$ oberoende av $\varphi$, eftersom $|e^{i{m}_l\varphi }{|}^2=1$. Tätheten är rotationssymmetrisk kring $z$-axeln.

---

3. Formerna

• s: sfärer. 2s och 3s har inre skal som skiljs från det yttre av radiella noder, se figuren i Schrödingerekvationen för väteatomen.
• $p_z$ ($m_l=0$): vinkeldelen är proportionell mot $\cos \theta$. Det ger två lober längs $z$-axeln med $xy$-planet som nodplan.
• $m_l=\pm 1$: vinkeldelen är proportionell mot $\sin \theta$, och $|\psi {|}^2$ bildar en ring kring $z$-axeln.
• $p_x$ och $p_y$: summan och skillnaden av tillstånden med $m_l=+1$ och $m_l=-1$. De är proportionella mot $\sin \theta \cos \varphi =x/r$ respektive $\sin \theta \sin \varphi =y/r$ och har lober längs $x$- och $y$-axeln. Eftersom de två tillstånden har samma energi är också kombinationerna tillåtna tillstånd, men de har inget bestämt $L_z$.
• d: fem orbitaler, fyra med fyra lober och en ($d_{z^2}$) med två lober längs $z$ och en ring runt midjan.

Sambandet mellan $p_x$, $p_y$, $p_z$ och de tre värdena på $m_l$ går alltså via linjärkombinationer. Kemin använder de reella orbitalerna, eftersom deras lober pekar i bestämda riktningar. Riktningarna förklarar bindningsvinklarna, se Kovalent bindning.

Vinkelformen $|Y_{lm}(\theta ,\varphi )|$ för s, $p_z$ och $d_{z^2}$, färgad efter vinkeldelens tecken. Avståndet från origo i varje riktning är vinkeldelens belopp. $p_z$ har $xy$-planet som nodplan, och $d_{z^2}$ har två nodkoner mellan loberna och ringen. Dra i figuren för att vrida den.

Vanliga fel

• Orbitalen tas för en bana. En orbital beskriver var elektronen sannolikt finns. Den har ingen rörelse längs en kurva.
• $p_x$ tas för $m_l=+1$. $p_x$ och $p_y$ är kombinationer av $m_l=+1$ och $m_l=-1$. Bara $p_z$ har ett bestämt $m_l$, nämligen $0$.
• Noderna räknas fel. Det finns $n-l-1$ radiella noder och $l$ vinkelnoder. 2p har ingen radiell nod.
• Formen tros bero på $n$. Vinkelformen bestäms av $l$ och $m_l$. $n$ bestämmer storleken och antalet radiella noder.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Noder i 2s, 3p och 3d

a) Hur många radiella noder och hur många vinkelnoder har en 3p-orbital och en 3d-orbital? b) Radialfunktionen för 2s i väte är proportionell mot $\left(2-\frac{r}{a}\right)e^{-r/2a}$. På vilket avstånd från kärnan ligger den radiella noden? c) Varför beror sannolikhetstätheten för ett tillstånd med $m_l=1$ inte på $\varphi$?

Lösning

a) 3p. $n=3$ och $l=1$ ger $n-l-1=\boxed{1}$ radiell nod och $l=\boxed{1}$ vinkelnod.

3d. $n=3$ och $l=2$ ger $n-l-1=\boxed{0}$ radiella noder och $l=\boxed{2}$ vinkelnoder.

I båda fallen blir summan $n-1=2$.

b) Noden. Exponentialfaktorn blir aldrig noll, så noden ligger där parentesen är noll:

$$2-\frac{r}{a}=0⟹r=2a=2\cdot 5,29\cdot 10^{-11}\text{ m}=\boxed{1,06\cdot 10^{-10}\text{ m}}$$

Fysika: Te ($a_0$)

c) Symmetrin. $\varphi$ finns bara i faktorn $e^{i\varphi }$, och

$${\left|e^{i\varphi }\right|}^2=e^{i\varphi }{e}^{-i\varphi }=1$$

Tätheten är därför densamma i alla riktningar runt $z$-axeln. Det gäller för varje $m_l$, inte bara för $m_l=1$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 41.3 The Hydrogen Atom

---

← Kvanttal · F0005T · Elektronspin →