---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - atomfysik
  - modell
förkunskaper:
  - "[[Kvanttal]]"
status: utkast
aliases:
  - Orbitaler
  - s-orbital
  - p-orbital
  - d-orbital
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Kvanttal]]

---

Varje tillåten kombination av kvanttal svarar mot en orbital med egen rumslig form, och orbitalerna namnges efter $l$: s för $l=0$, p för $l=1$, d för $l=2$ och f för $l=3$. De tre p-orbitalerna $p_x$, $p_y$ och $p_z$ motsvarar de tre värdena på $m_l$, och de fem d-orbitalerna de fem. Formerna är det som bestämmer bindningsriktningarna i molekyler.

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{n-l-1}_{\substack{\text{radiella noder}\\\text{(sfärer)}}}
+\underbrace{l}_{\substack{\text{vinkelnoder}\\\text{(plan, koner)}}}
=\underbrace{n-1}_{\substack{\text{noder}\\\text{totalt}}}
$$

Huvudkvanttalet bestämmer hur många noder orbitalen har, och $l$ bestämmer hur de fördelas: ju större $l$, desto fler av noderna är plan eller koner genom kärnan och desto färre är sfärer runt den.

---

## 1. Beteckningar

Ett tillstånd skrivs som huvudkvanttalet följt av bokstaven för $l$: 1s, 2s, 2p, 3d. Bokstäverna s, p, d och f kommer från hur spektrallinjerna beskrevs innan teorin fanns. Eftersom $l\le n-1$ ger varje skal bara vissa underskal:

| Skal | $n$ | Underskal | Orbitaler |
|---|---|---|---|
| K | $1$ | 1s | $1$ |
| L | $2$ | 2s, 2p | $1+3=4$ |
| M | $3$ | 3s, 3p, 3d | $1+3+5=9$ |
| N | $4$ | 4s, 4p, 4d, 4f | $1+3+5+7=16$ |

En **orbital** är den rumsliga vågfunktionen $\psi_{nlm_l}$, eller i bilder det område där $|\psi|^2$ är stort. Det är ingen bana. Elektronen har ingen bestämd väg, bara en sannolikhetsfördelning.

---

## 2. Noder

En nod är en yta där $\psi=0$. Radialdelen och vinkeldelen ger var sin sorts nod:

- **Radiella noder:** $n-l-1$ sfärer där $R(r)=0$.
- **Vinkelnoder:** $l$ plan eller koner där vinkeldelen är noll.

Sammanlagt har en orbital $n-1$ noder. En 1s-orbital har inga, 2s har en radiell nod, och 2p har en vinkelnod men ingen radiell.

![[f05-orbital-noder.png|520]]

*Snitt genom fyra orbitaler i $xz$-planet, färgade efter tecknet på $\psi$. Radiella noder syns som streckade cirklar och vinkelnoder som streckade linjer: 2s och 3p har en radiell nod, 2p och 3p ett nodplan, och $3d_{xz}$ två nodplan men ingen radiell nod.*

Två symmetrier följer direkt ur vågfunktionen i [[Schrödingerekvationen för väteatomen]]:

- **s-orbitaler** ($l=0$) har ingen vinkelberoende del. $|\psi|^2$ beror bara på $r$ och är sfäriskt symmetrisk.
- **Alla orbitaler** har $|\psi|^2$ oberoende av $\phi$, eftersom $|e^{im_l\phi}|^2=1$. Tätheten är rotationssymmetrisk kring $z$-axeln.

---

## 3. Formerna

- **s:** sfärer. 2s och 3s har inre skal som skiljs från det yttre av radiella noder, se figuren i [[Schrödingerekvationen för väteatomen]].
- **$p_z$** ($m_l=0$): vinkeldelen är proportionell mot $\cos\theta$. Det ger två lober längs $z$-axeln med $xy$-planet som nodplan.
- **$m_l=\pm1$:** vinkeldelen är proportionell mot $\sin\theta$, och $|\psi|^2$ bildar en ring kring $z$-axeln.
- **$p_x$ och $p_y$:** summan och skillnaden av tillstånden med $m_l=+1$ och $m_l=-1$. De är proportionella mot $\sin\theta\cos\phi=x/r$ respektive $\sin\theta\sin\phi=y/r$ och har lober längs $x$- och $y$-axeln. Eftersom de två tillstånden har samma energi är också kombinationerna tillåtna tillstånd, men de har inget bestämt $L_z$.
- **d:** fem orbitaler, fyra med fyra lober och en ($d_{z^2}$) med två lober längs $z$ och en ring runt midjan.

Sambandet mellan $p_x$, $p_y$, $p_z$ och de tre värdena på $m_l$ går alltså via linjärkombinationer. Kemin använder de reella orbitalerna, eftersom deras lober pekar i bestämda riktningar. Riktningarna förklarar bindningsvinklarna, se [[Kovalent bindning]].

![[f05-orbitaler-3d.png|520]]

*Vinkelformen $|Y_{lm}(\theta,\phi)|$ för s, $p_z$ och $d_{z^2}$, färgad efter vinkeldelens tecken. Avståndet från origo i varje riktning är vinkeldelens belopp. $p_z$ har $xy$-planet som nodplan, och $d_{z^2}$ har två nodkoner mellan loberna och ringen. Dra i figuren för att vrida den.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **Orbitalen tas för en bana.** En orbital beskriver var elektronen sannolikt finns. Den har ingen rörelse längs en kurva.
> - **$p_x$ tas för $m_l=+1$.** $p_x$ och $p_y$ är kombinationer av $m_l=+1$ och $m_l=-1$. Bara $p_z$ har ett bestämt $m_l$, nämligen $0$.
> - **Noderna räknas fel.** Det finns $n-l-1$ radiella noder och $l$ vinkelnoder. 2p har ingen radiell nod.
> - **Formen tros bero på $n$.** Vinkelformen bestäms av $l$ och $m_l$. $n$ bestämmer storleken och antalet radiella noder.

---

## 4. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Noder i 2s, 3p och 3d
> a) Hur många radiella noder och hur många vinkelnoder har en 3p-orbital och en 3d-orbital?
> b) Radialfunktionen för 2s i väte är proportionell mot $\left(2-\dfrac{r}{a}\right)e^{-r/2a}$. På vilket avstånd från kärnan ligger den radiella noden?
> c) Varför beror sannolikhetstätheten för ett tillstånd med $m_l=1$ inte på $\phi$?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a) 3p.** $n=3$ och $l=1$ ger $n-l-1=\boxed{1}$ radiell nod och $l=\boxed{1}$ vinkelnod.
> >
> > **3d.** $n=3$ och $l=2$ ger $n-l-1=\boxed{0}$ radiella noder och $l=\boxed{2}$ vinkelnoder.
> >
> > I båda fallen blir summan $n-1=2$.
> >
> > **b) Noden.** Exponentialfaktorn blir aldrig noll, så noden ligger där parentesen är noll:
> > $$
> > 2-\dfrac{r}{a}=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=2a=2\cdot5{,}29\cdot10^{-11}\text{ m}=\boxed{1{,}06\cdot10^{-10}\text{ m}}
> > $$
> > *Fysika: Te ($a_0$)*
> >
> > **c) Symmetrin.** $\phi$ finns bara i faktorn $e^{i\phi}$, och
> > $$
> > \left|e^{i\phi}\right|^{2}=e^{i\phi}e^{-i\phi}=1
> > $$
> > Tätheten är därför densamma i alla riktningar runt $z$-axeln. Det gäller för varje $m_l$, inte bara för $m_l=1$.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1397|41.3 The Hydrogen Atom]]

---

← [[Kvanttal]] · [[F0005T]] · [[Elektronspin]] →