De Broglie-våglängd

Kurs: F0005T Förkunskaper: Fotonen, Bohrs modell för väteatomen

---

Om ljus med våglängden $\lambda$ bär rörelsemängden $p=h/\lambda$, föreslog de Broglie år 1924 att sambandet kan vändas: varje partikel med rörelsemängden $p$ har en våglängd. För en elektron accelererad genom en spänning blir våglängden av storleksordningen $10^{-10}$ m, alltså jämförbar med atomavstånd, medan den $1836$ gånger tyngre protonen får en motsvarande kortare. Antagandet förklarar också Bohrs kvantiseringsvillkor: en bana måste rymma ett helt antal våglängder, $2\pi r_n=n\lambda$, vilket ger kvantiseringen av $L_n$ utan postulat.

$$\boxed{\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2mK}}}$$

Fysika: Fd3

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{partikelns}\\ \text{va˚gla¨ngd}\end{array}}{\underbrace{\lambda }}=\frac{h}{\underset{\begin{array}{c}\text{ro¨relse-}\\ \text{ma¨ngd}\end{array}}{\underbrace{p}}}=\frac{h}{\sqrt{2m\underset{\begin{array}{c}\text{ro¨relse-}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{K}}}}$$

Samma samband som för fotonen, $p=h/\lambda$, men läst baklänges: större rörelsemängd ger kortare våglängd. För en partikel med massa växer $p$ bara som $\sqrt{K}$, så fyra gånger rörelseenergin halverar våglängden.

---

1. Våglängd och frekvens för en partikel

De Broglie gav partikeln samma två samband som fotonen har: våglängden bestäms av rörelsemängden som i rutan ovan, och frekvensen av energin,

$$f=\frac{E}{h}$$

Men de övriga fotonsambanden gäller inte för en partikel med massa. Den rör sig inte med ljusfarten, så $f=c/\lambda$ och $E=pc$ är fel. För en icke-relativistisk partikel kopplas rörelsemängden i stället till den kinetiska energin:

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{p^2}{2m}$$

$$p=\sqrt{2mK}$$

vilket ger den sista formen i rutan, $\lambda =h/\sqrt{2mK}$. Våglängden är alltså omvänt proportionell mot $\sqrt{K}$ för en partikel men mot $E$ för en foton.

---

2. Elektron accelererad genom en spänning

En elektron som startar från vila och accelereras genom spänningen $V$ får den kinetiska energin $K=eV$. Insatt i $\lambda =h/\sqrt{2mK}$:

$$\boxed{\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}}$$

Med konstanterna insatta blir det en praktisk tumregel, med $V$ i volt:

$$\lambda \approx \frac{1,226}{\sqrt{V}}\text{ nm}$$

Redan $150$ V ger $\lambda \approx 0,100$ nm, samma storlek som avståndet mellan atomerna i en kristall — därför kan elektroner visa diffraktion mot kristaller. Fyra gånger högre spänning halverar våglängden.

En elektronkanon: elektronerna faller genom spänningen $V$ och får $K=eV$, och deras våglängd blir $\lambda =h/\sqrt{2m_{e}eV}$. Fyra gånger högre spänning dubblar rörelsemängden och halverar våglängden.

Våglängd mot energi för foton, elektron och neutron. För att nå $\lambda =0,1$ nm (skuggat band) behöver fotonen $12$ keV, elektronen $150$ eV och neutronen bara $0,08$ eV. Fotonlinjen har lutningen $-1$ och partikellinjerna $-1/2$, tills elektronen blir relativistisk och böjer av mot fotonens lutning.

---

3. Relativistiska partiklar

När den kinetiska energin inte längre är liten jämfört med viloenergin $m{c}^2$ — för elektroner $511$ keV — måste rörelsemängden tas ur det relativistiska sambandet $E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ med $E=K+m{c}^2$:

$$(K+m{c}^2{)}^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

$$(pc{)}^2=K^2+2Km{c}^2$$

$$\boxed{\lambda =\frac{hc}{\sqrt{K^2+2Km{c}^2}}}$$

• $K\ll m{c}^2$: $K^2$ försummas, och vi får tillbaka $\lambda =h/\sqrt{2mK}$.
• $K\gg m{c}^2$: $\lambda \approx hc/K$, samma som för en foton med energin $K$.

Den klassiska formeln ger för lång våglängd, och felet är ungefär $K/(4m{c}^2)$. För elektroner blir det $1\%$ vid omkring $20$ keV; i elektronmikroskop, med $40$–$400$ kV, måste man räkna relativistiskt.

---

4. Varför vi inte ser materievågor i vardagen

Vågeffekter som diffraktion märks bara när våglängden är jämförbar med hindret eller öppningen. En tennisboll på $57$ g med farten $50$ m/s har

$$\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{0,057\cdot 50}=2,3\cdot 10^{-34}\text{ m}$$

Fysika: Te (h)

— långt under storleken av en atomkärna. Det är Plancks konstants litenhet som gör vardagsföremålens vågnatur omärkbar. För elektroner i atomer är däremot $\lambda$ lika stor som atomen själv, och där bestämmer vågnaturen allt: Bohrs kvantiseringsvillkor är just kravet att en stående elektronvåg ska få plats runt banan, se Bohrs modell för väteatomen.

Vanliga fel

• Fotonformler används för elektroner. $f=c/\lambda$ och $E=pc$ gäller bara för masslösa partiklar. För en elektron är $p=\sqrt{2mK}$.
• eV och J blandas. I $\lambda =h/\sqrt{2mK}$ med SI-enheter ska $K$ vara i joule: $K=eV$ med $e=1,602\cdot 10^{-19}$ C.
• Fel massa. En proton eller neutron med samma kinetiska energi som en elektron har ungefär $\sqrt{1836}\approx 43$ gånger kortare våglängd.
• Klassisk formel vid höga energier. Över ett tiotal keV för elektroner blir felet märkbart; använd $\lambda =hc/\sqrt{K^2+2Km{c}^2}$.
• Samma energi tros ge samma våglängd. En foton och en elektron med samma energi har mycket olika våglängder, eftersom de har olika samband mellan energi och rörelsemängd.

---

5. Lösta exempel

Exempel — Elektron och foton med samma energi

En elektron har den kinetiska energin $150$ eV, och en foton har energin $150$ eV. Bestäm båda våglängderna och kvoten mellan elektronens och fotonens rörelsemängd.

Lösning

Elektronen. $K=150\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\text{ J}=2,403\cdot 10^{-17}$ J, så

$$p_e=\sqrt{2m_{e}K}=\sqrt{2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}\cdot 2,403\cdot 10^{-17}}=6,62\cdot 10^{-24}\text{ kg}\cdot \text{m/s}$$

$${\lambda }_e=\frac{h}{p_e}=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{6,62\cdot 10^{-24}}=\boxed{0,100\text{ nm}}$$

Fotonen.

$${\lambda }_f=\frac{hc}{E}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{150\text{ eV}}=\boxed{8,27\text{ nm}}$$

Kvoten. Fotonen har $p_f=E/c$, så med $m_e{c}^2=511$ keV:

$$\frac{p_e}{p_f}=\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{K/c}=\sqrt{\frac{2m_e{c}^2}{K}}=\sqrt{\frac{2\cdot 511000}{150}}=\boxed{82,5}$$

Samma kvot fås som ${\lambda }_f/{\lambda }_e$, eftersom $p=h/\lambda$ för båda. Vid samma energi har elektronen alltså mycket större rörelsemängd och mycket kortare våglängd.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Elektroner i ett elektronmikroskop

I ett transmissionselektronmikroskop accelereras elektroner från vila genom spänningen $100$ kV. Bestäm de Broglie-våglängden, dels med den klassiska formeln och dels relativistiskt. Hur stort blir det relativa felet om man räknar klassiskt?

Lösning

Klassiskt. Tumregeln ger

$${\lambda }_{\text{kl}}=\frac{1,226}{\sqrt{1,00\cdot 10^5}}\text{ nm}=3,88\cdot 10^{-3}\text{ nm}=\boxed{3,88\text{ pm}}$$

Relativistiskt. Med $K=100$ keV, $m{c}^2=511$ keV och $hc=1,240$ keV·nm:

$$\sqrt{K^2+2Km{c}^2}=\sqrt{100^2+2\cdot 100\cdot 511}=\sqrt{112200}=335\text{ keV}$$

$$\lambda =\frac{1,240\text{ keV}\cdot \text{nm}}{335\text{ keV}}=3,70\cdot 10^{-3}\text{ nm}=\boxed{3,70\text{ pm}}$$

Felet.

$$\frac{3,88-3,70}{3,70}\approx \boxed{4,8\%}$$

Det stämmer med uppskattningen $K/(4m{c}^2)=100/2044\approx 4,9\%$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.1 Electron Waves

---

← Reducerad massa · F0005T · Elektrondiffraktion →