Elektronmikroskop

Kurs: F0005T Förkunskaper: De Broglie-våglängd, Elektrondiffraktion

---

Upplösningen hos ett mikroskop begränsas av våglängden, och elektronens de Broglie-våglängd är omkring $10^{-10}$ m mot synligt ljus $5\cdot 10^{-7}$ m — tusentals gånger bättre. Transmissionselektronmikroskopet (TEM) skickar elektroner genom ett $10$–$100$ nm tunt prov och når $0,1$ nm upplösning. Svepelektronmikroskopet (SEM) slår i stället loss sekundärelektroner från ytan och mäter variationen i ström; det ger $10$ nm upplösning, ser bara ytan men ger en bra tredimensionell bild.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{elektronens}\\ \text{va˚gla¨ngd}\end{array}}{\underbrace{\lambda }}=\frac{h}{\underset{\begin{array}{c}\text{ro¨relsema¨ngden}\\ \text{efter spa¨nningen }V\end{array}}{\underbrace{\sqrt{2m_{e}eV}}}}$$

$$\underset{\text{i nm}}{\underbrace{\lambda }}\approx \frac{1,23}{\sqrt{\underset{\text{i volt}}{\underbrace{V}}}}$$

Spänningen ger elektronen rörelseenergi, rörelseenergin ger rörelsemängd, och större rörelsemängd betyder kortare våglängd — men bara som $1/\sqrt{V}$. Det är den korta våglängden, inte förstoringen, som gör elektronmikroskopet skarpare än ljusmikroskopet.

---

1. Upplösningen bestäms av våglängden

Ett mikroskop kan inte skilja åt detaljer som är mycket mindre än våglängden på det som belyser provet, eftersom diffraktionen suddar ut varje punkt till en fläck av ungefär den storleken. Med synligt ljus kring $500$ nm stannar gränsen därför på några hundra nanometer, hur bra linserna än är.

En elektronstråle kan avbildas på samma sätt som en ljusstråle: elektriska och magnetiska fält böjer elektronbanorna så som linser bryter ljus. Själva förstoringen kräver alltså inga vågegenskaper — banorna kan räknas ut klassiskt. Vågnaturen kommer in först i upplösningen, och där vinner elektronen stort eftersom dess de Broglie-våglängd är tusentals gånger kortare än ljusets.

---

2. Elektronens våglängd vid spänningen $V$

Elektronerna lämnar en glödkatod med försumbar fart och accelereras genom spänningen $V$. Fältet uträttar arbetet $eV$, så

$$K=eV$$

Klassiskt är $K=p^2/2m_e$, alltså

$$p=\sqrt{2m_{e}K}=\sqrt{2m_{e}eV}$$

och de Broglies samband $\lambda =h/p$ ger

$$\boxed{\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}}$$

Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden, i formen $\lambda =h/\sqrt{2mK}$ med $K=eV$)

Sätter vi in konstanterna blir $\lambda \approx 1,23\text{ nm}/\sqrt{V}$ med $V$ i volt: $100$ V ger $0,123$ nm, alltså ungefär ett atomavstånd, och $10$ kV ger $0,0123$ nm. Våglängden avtar bara som $1/\sqrt{V}$, så hundra gånger högre spänning ger tio gånger kortare våglängd.

---

3. Relativistisk korrektion

Ett transmissionselektronmikroskop arbetar med $40$–$400$ kV. Elektronens viloenergi är $m_e{c}^2=511$ keV, så vid några hundra kV är $K$ inte längre litet jämfört med $m_e{c}^2$ och den klassiska formeln ger för lång våglängd. Relativistiskt blir

$$\boxed{\lambda =\frac{hc}{\sqrt{K^2+2K{m}_e{c}^2}}}$$

Härledning av den relativistiska våglängden

Den totala energin är viloenergin plus den kinetiska energin, se Relativitetsteori:

$$E=K+m_e{c}^2$$

Energi och rörelsemängd hänger ihop via

$$E^2=(pc{)}^2+(m_e{c}^2{)}^2$$

Sätt in $E$ och utveckla kvadraten:

$$(pc{)}^2=(K+m_e{c}^2{)}^2-(m_e{c}^2{)}^2=K^2+2K{m}_e{c}^2$$

Med $\lambda =h/p=hc/(pc)$ följer formeln i rutan. För $K\ll m_e{c}^2$ kan $K^2$ strykas mot $2K{m}_e{c}^2$, och då blir $pc=\sqrt{2K{m}_e{c}^2}$ och $\lambda =h/\sqrt{2m_{e}K}$ — den klassiska formeln.

Räkna gärna med $hc=1240$ eV·nm och $m_e{c}^2=511$ keV; då behöver inga joule användas alls. Skillnaden är $0,5\%$ vid $10$ kV, $2\%$ vid $40$ kV och $5\%$ vid $100$ kV.

Elektronens de Broglie-våglängd mot accelerationsspänningen, i logaritmisk skala. Under ungefär $10$ kV sammanfaller den klassiska och den relativistiska kurvan; i det skuggade området där TEM arbetar ger den klassiska formeln några till knappt $20\%$ för lång våglängd.

---

4. TEM och SEM

I ett transmissionselektronmikroskop (TEM) går strålen rakt genom provet. En kondensorlins av magnetfält gör strålen parallell, en objektivlins ger en mellanbild och en projektionslins en slutlig reell bild på en fluorescerande skärm eller en detektor — samma roller som objektiv och okular i ett optiskt mikroskop. Allt sitter i vakuum, annars sprids elektronerna mot luftmolekylerna.

Ljusmikroskopet och TEM sida vid sida: samma roller för källa, kondensor, prov, objektiv och projektor, men glaslinserna är utbytta mot magnetspolar och ljuset mot elektroner i vakuum. Det som ändras är våglängden, och därmed upplösningen.

Upplösningen blir sällan bättre än $0,1$ nm, trots att våglängden kan vara en hundradel av det. En orsak är att den magnetiska linsens brännvidd beror på elektronens fart, och alla elektroner i strålen har inte exakt samma fart.

I ett svepelektronmikroskop (SEM) fokuseras strålen till en fin punkt som sveper över provet. Där strålen träffar slås sekundärelektroner loss, och en anod några hundra volt positiv relativt provet samlar upp dem. Strömmen varierar med ytans lutning, och den variationen blir bilden.

	TEM	SEM
Strålen	går genom provet	sveper över ytan
Provet	$10$–$100$ nm tunt	får vara tjockt
Det som mäts	transmitterade elektroner	sekundärelektroner från ytan
Upplösning	ca $0,1$ nm	ca $10$ nm
Bilden	tvärsnitt, inre struktur	ytan, tydligt tredimensionell

Vanliga fel

• Fotonformeln används för elektronen. $\lambda =hc/E$ gäller bara masslösa fotoner. För elektronen är $\lambda =h/p$ med $p=\sqrt{2m_{e}K}$, eller den relativistiska formeln.
• Spänning och energi blandas. En elektron accelererad genom $V$ volt får $K=eV$, alltså $V$ elektronvolt — men i SI-enheter ska $K$ i joule in, $eV$ med $e=1,602\cdot 10^{-19}$ C.
• Den klassiska formeln används vid hundratals kV. Jämför alltid $K$ med $m_e{c}^2=511$ keV. Redan vid $100$ kV är felet $5\%$.
• Upplösningen sätts lika med våglängden. Våglängden är en nedre gräns; linsfel gör att TEM i praktiken stannar vid ungefär $0,1$ nm.

---

5. Lösta exempel

Exempel — TEM vid 200 kV

Ett transmissionselektronmikroskop accelererar elektroner från vila genom $200$ kV. Bestäm elektronernas de Broglie-våglängd, dels med den klassiska formeln och dels relativistiskt. Hur stort blir felet med den klassiska formeln, och hur många gånger kortare är våglängden än grönt ljus med $550$ nm?

Lösning

Energierna. $K=eV=200$ keV och $m_e{c}^2=511$ keV. Kvoten $K/m_e{c}^2\approx 0,39$ är inte liten, så den relativistiska formeln behövs.

Klassiskt.

$$pc=\sqrt{2K{m}_e{c}^2}=\sqrt{2\cdot 200\cdot 511}\text{ keV}=452\text{ keV}$$

$${\lambda }_{\text{kl}}=\frac{hc}{pc}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{452\cdot 10^3\text{ eV}}=\boxed{2,74\text{ pm}}$$

Fysika: Te ($m_e{c}^2$, $hc$)

Relativistiskt.

$$pc=\sqrt{K^2+2K{m}_e{c}^2}=\sqrt{200^2+2\cdot 200\cdot 511}\text{ keV}=494\text{ keV}$$

$$\lambda =\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{494\cdot 10^3\text{ eV}}=\boxed{2,51\text{ pm}}$$

Felet. Den klassiska formeln ger

$$\frac{2,742-2,508}{2,508}\approx \boxed{9,3\%}$$

för lång våglängd.

Jämförelse med ljus.

$$\frac{550\text{ nm}}{2,51\cdot 10^{-3}\text{ nm}}\approx \boxed{2,19\cdot 10^5}$$

Att upplösningen ändå bara blir omkring $0,1$ nm beror på linsfelen, inte på våglängden.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Elektron eller proton

En elektron och en proton accelereras var för sig från vila genom $1,00$ kV. Bestäm de Broglie-våglängden för båda och kvoten mellan dem.

Lösning

Klassiskt räcker. Båda får $K=1,00$ keV, vilket är litet jämfört med både $511$ keV och protonens viloenergi $938$ MeV.

Elektronen.

$${\lambda }_e=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9,109\cdot 10^{-31}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\cdot 1,00\cdot 10^3}}=\boxed{3,88\cdot 10^{-11}\text{ m}}$$

Protonen. Samma formel med $m_p=1,673\cdot 10^{-27}$ kg:

$${\lambda }_p=\frac{6,626\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 1,673\cdot 10^{-27}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\cdot 1,00\cdot 10^3}}=\boxed{9,05\cdot 10^{-13}\text{ m}}$$

Kvoten. Laddning och spänning är desamma, så bara massan skiljer:

$$\frac{{\lambda }_e}{{\lambda }_p}=\sqrt{\frac{m_p}{m_e}}=\sqrt{1836}\approx \boxed{42,9}$$

Protonen ger alltså kortare våglängd vid samma spänning. Elektronerna används ändå, bland annat för att de är lätta att producera med en glödkatod och böjs lätt av magnetiska linser.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.1 Electron Waves

---

← Elektrondiffraktion · F0005T · Stimulerad emission →